(积分法)欧拉积分,余元公式

1、欧拉积分的运用及余元公式的证明王国俊 01211071徐州师范大学 数学系 徐州 221116摘要 欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用 ,并给出了余元公式 的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形.关键词 欧拉积分；Gamma函数；Beta函数；余元公式现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多 不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径 .所谓欧拉积分正是如此 .下面先 介绍点预备知识：在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下：r(a) = J +8 xa-ie-xdx(a 0)0B( p, q) =

2、 J o i x p -i (i - x) q-i dx( p 0, q 0)两者分别称为Gamma函数和Beta函数，简称为厂函数和B函数.欧拉积分的几个基本变形：(i)r函数令x = y2,就有r(a) = J +8 xa-ie-xdx = 2 J +8 y 2a-ie-y2dy(a 0)00令x = py,则有r(a) = J +8 xa-ie-xdx = pa J +8 ya-ie- py dy (a 0, p 0) 00特别地当a = 2时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有r(2)=、汇并且有 r(a +1) =ar(a)(2)B函数令x = COS2申就有B(p, q

3、) = 2 Jsin 2q-i 申 cos2P-i 申d申02y令x = ，则有1 + yB( p, q) = J +8 y dy0 (1 + y ) p + q欧拉积分间的联系：(p 0, q 0)以上介绍了欧拉积分的定义及相关变形，那么如何利用欧拉积分解决数学中某些积分运 算呢?一 欧拉积分在求解积分中的运用1通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积 分的值.例1求积分 J oX X 2 dX33丄3 3r(-)r(-)解原式=fX 2(1 X)2 dx = B(亍)=2 21 (3)8x2例2求积分Jo1 dxf丄4XJ +80(1 + X)253 r

4、(5)r(i) =44厂41兀兀1 4 兀2迈 sin TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark68 o Current Document f 11解原式讥灵3(X4)2(1一X4)2dX4f 1311=J 1(X4)4 (X4)2 (1 X4)2 dx4o4=丄 B(-,-)44 22.利用换元法将未知积分化为欧拉积分，然后再进行计算.例3求积分f +8X dXo(1 + X)2Xt解令丄=则有X =匚7从而有dX=占dt带入原式有丄 15 3dx = J 114 (1 t) 4 dt = B(,)例4求Jo:sin p x cosq xdxo 4 4解 原式二

5、J ：(sin2 x)2 (1 - sin 2 x)2 dx = J ：(sin2 xft (1 - sin 2 x)罗 d (sin 2 x) 0 2 2 0 2令 u = sin 2 x 得，0 u 0)则上式=J20+8 亡 e-tdt =丄 r (丝土1)2 2(2n-1)! 一=兀2 ndx例6求J K 0 j3-cos xdx解原式=J兀0 芒 + 2(1)dx:1 + sin2t上式=丄 J 1(1 + u)- 2(1 - u) J2 0_丄1 f- _丄2 du = J 1(1 u 2) 2 u 2 du 迈013-1丄J 114 1(1 -1)2 1 dt 2f21 r_1

6、_3上式=是 J 01(1-1 )-2 厂 4 dt =占 b(4,2)注 在利用欧拉积分进行积分计算时一定要注意欧拉积分的上下限及等价变形.二 余元公式的相关证明 在几乎所有的数学分析教材中都对余元公式进行了介绍，但没有给出相应的证明，笔者 查了很多资料，同时也有了自己对其证明的一种新的证明想法. 下面先介绍一种我所查到的余元公式的一种简单证明.我们知道余元公式的表达式是B(a,l- a)=兀sin( a 兀)对 0 a 1, r(a)r(1 - a) = B(a,1 - a) = J 11-a (1 -1)a-1 dt0令t =，贝y1 + xJ 1 t-a (1 - t)a-1 dt =

7、 -J 0(丄)081 + X-a(产)a-11+xdx = J 8 (1 + x)20Xa-11 + X=J 1 dx + J 80 1+x 1xa-1dx1+x当0 x 1时，由幕级数理论可得二=艺(-Jxa+k-11+xk=0 此级数在k其中0 t 1上一致收敛，故可在kt上逐项积分，从而(-1)k x a+k-1dx =t (-1)k x a+k-1dxk=0k=0- a+k=艺(-J 丄(a+ka+kk=0丄(-1)k=01t a+ka+k(-1)k=01 a+ka+k1)因级数 艺(-1)k- 厶ta+k的收敛半径为1,且t = 0,1时级数均收敛，由阿贝尔定理知:a+kk=0D-

8、 1)k=0厶ta+k在b,1上一致收敛，故有a+klim 无(-1)=(-1)19 k=0k=0同理有lim为(-1) a+k = 05+k=0a + k在（1）式中，令t T 1, T 0+便有:巴 dx =(- J丄a+kJ 01! + xk=0 xa-1对J +8 dx 11 + xxa-1+8 dx = J 111+ x 0 1+tt (1a)-1dt =C 1)-一k +1 - ak=0综上可得：r(a)r(1 - a) = Jx a-1dx = Jxa-1+8 dx = J 1 dx + J0 1 + x0 1+ xx a-1+8 dx11 + x丄（-1口k=0+(- J1a+

9、kk=0k +1 - a (-1) k ( 1k=02)再由cos（ax）在一兀,兀的Fourier级数展式有sin ax 1cos(ax) = +a(- J (1),a+k a-kk=1令 x = 0 可得为C1/（+）a+k a-kk=1从而由（2），（3）知余元公式成立. 在查资料的过程中，我还发现了余元公式的另两种证明方法：一种是利用复变函数中的 留数定理来证明；另一种是利用r函数的另一种定义来证明，下面是我利用二重积分对该问 题的加以的讨论.1=+ sin( a 兀)a(3)B(p,1 - p) = r(p)r(1 - p) = J +8 xp-1e-xdxJ +8 y-pe-ydy

10、00= JJ x p-1e-x y - pe- y dxdyD其中 d=(x, y)|X x R, y G,先考虑 JJ xp-1e-xy-pe-ydxdy , D := (x, y) X x2 + y2 0, y 0D1从此出发有两条路径：一种是利用格林公式的逆运用把此二重积分化为第一型曲线积分，再进行计算，最后令 九T 0,R fg即可，其理由是因为有人已经使用留数定理证明过了，而复变函数的留数定 理与数学分析中的第一型曲线积分相通.所以该方法有很大可行性.但是这个过程需要偏微分 方程的知识，以我现在的知识储备解决不了. 另一种方法是换元，我进行的过程如下：令 x = r cos0, y

11、= r sin0， 则有则积分变为xp-ie-xy-pe-ydxdy= J ；(JR (rcos0) p -1 e -r cos 0 (rsin0)-pe-rsin0rdr)d004九D1=J ：(J _ R (cos 0) p-1 e -r cos0 (sin0 )-p e-rsin0 dr)d0o2=J 2 (sin0+cos0)(cos0 )p-1 (sin0 )-p e- R(sin0 + cos0) e- h(sin0 + cos0) d0有 e 一 R (sin 0+ cos 0) e - h (sin 0+ cos 0) _ _ 从而J;02.(cos0) p-i (sin 0)

12、 - p e -R (sin0 +cos0) e - h (sin0 +cos0) drd0(sin 0 + cos0)=J瓦o2 sin0 + cos01(cos 0) p-1 (sin 0) - p d0兀令t = sin0 ,有0 = arcsint (00)2上式=J1=0 1 +J1 一 12(：1 12 ) p -11 -Pf 1 ,=J 1( 1 12 ) p - 2 t - pdt0 1 + J1 12=J 1 (1 ；1 12)(、；1 t2) p-21- p-2 dt0=J 11 12 ) p-2 t - p-2 dt J 1 1 12 ) p-11 - p-2 dt0 0令 t = sin w ,贝U w = arcsin t上式=J ：(cos w) p-2 (sin w)-p-2 cos wdw-f ：(cos w) p-1 (sin w)-p-2 cos wdw 0 2 02=f ：(cos w) p-i (sin w) -p-2 dw-f ：(cos w) p (sin w) -p-2 dw 0 20 2=扣(斗，彳)-B(斗，呼)2 2 2 2 2即有 B( p,1 - p) = 2 B(二1,2) - B(二|21,与!)证明进行到此，发现用换元这条路行不通了，但意外得到了欧拉积分关于余元公式的 一种新的变形，在查了很多资料后没发