连续时间傅里叶变换

1、第二章连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析傅里叶级数FS狄义赫利条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数数集可以以是三角角函数集集或复指指数函数数集，函函数周期期为T1，角频频率为。任何满足足狄义赫赫利条件件周期函函数都可可展成傅傅里叶级级数。三角形式式的FSS：展开式：系数计算算公式：直流分量量：n次谐波波余弦分分量：n次谐波波的正弦弦分量：(iiii) 系系数和统称为为三角形形式的傅傅里叶级级数系数数，简称称傅里叶叶系数。称为信号号的基波波、基频频；为信信号的nn次谐波波。合并同频频率的正正余弦项项得：和分别

2、对对应合并并后n次谐波波的余弦弦项和正正弦项的的初相位位。傅里叶系系数之间间的关系系：复指数形形式的FFS：展开式：系数计算算：系数之间间的关系系：关于n是是共扼对对称的，即它们们关于原原点互为为共轭。正负n (n非零)处的的幅幅度和等等于或的幅度度。奇偶信号号的FSS：(i) 偶信号号的FSS：；(实，偶对称称)；(iii) 偶的周周期信号号的FSS系数只只有直流流项和余余弦项。(iiii)奇信号号的FSS：；(纯虚虚，奇对对称)；(iv) 奇的的周期信信号的FFS系数数只有正正弦项。周期信号号的傅里里叶频谱谱：(i) 称为信号号的傅里里叶复数数频谱，简称傅傅里叶级级数谱或或FS谱。(ii)

3、称为信号号的傅里里叶复数数幅度频频谱，简简称FSS幅度谱谱。(iiii)称为傅里里叶复数数相位频频谱，简简称FSS相位谱谱。(iv)周期信信号的FFS频谱谱仅在一一些离散散点角频频率(或频率率)上有值值。(v)FFS也被被称为傅傅里叶离离散谱，离散间间隔为。(vi)FS谱谱、FSS幅度谱谱和相位位谱图中中表示相相应频谱谱、频谱谱幅度和和频谱相相位的离离散线段段被称为为谱线、幅度谱谱线和相相位谱线线，分别别表示FFS频谱谱的值、幅度和和相位(viii)连接接谱线顶顶点的虚虚曲线称称为包络络线，反反映了各各谐波处处FS频谱谱、幅度度谱和相相位谱随随分量的的变化情情况。(viiii)称称为单边边谱，

4、表表示了信信号在谐谐波处的的实际分分量大小小。(ix)称为双边边谱，其其负频率率项在实实际中是是不存在在的。正正负频率率的频谱谱幅度相相加，才才是实际际幅度。周期矩形形脉冲序序列的FFS谱的的特点：(i) 谱线线包络线线为Saa函数；谱线包络络线过零零点：(其中为谱谱线间隔隔)：，或，即当时，。在频域，能量集集中在第第一个过过零点之之内。带宽或只只与矩形形脉冲的的脉宽有有关，而而与脉高高和周期期均无关关。(定义为周周期矩形形脉冲信信号的频频带宽度度，简称称带宽)(9) 周期信信号的功功率：(10) 帕斯斯瓦尔方方程：2 非周周期信号号的频谱谱分析傅里叶叶变换(FT)信号f (t)的傅里里叶变换

5、换：是信号的的频谱密密度函数数或FTT频谱，简称为为频谱(函数)。频谱密度度函数的的逆傅里里叶变换换为：称为FTT的变换换核函数数，为IFTT的变换换核函数数。FT与IIFT具具有唯一一性。如如果两个个函数的的FT或IFTT相等，则这两两个函数数必然相相等。FT具有有可逆性性。如果果，则必必有；反反之亦然然。信号的傅傅里叶变变换一般般为复值值函数，可写成成称为幅度度频谱密密度函数数，简称称幅度谱谱，表示示信号的的幅度密密度随频频率变化化的幅频频特性；称为相位位频谱密密度函数数，简称称相位谱谱函数，表示信信号的相相位随频频率变化化的相频频特性。(7)FT频谱谱可分解解为实部部和虚部部：(8)FT

6、存在在的充分分条件：时域信信号绝对对可积，即。注意：这这不必要要条件。有一些些并非绝绝对可积积的信号号也有FFT。FT及IIFT在在赫兹域域的定义义：；比较FSS和FT：FSFT分析对象象周期信号号非周期信信号频率定义义域离散频率率，谐波波频率处处连续频率率，整个个频率轴轴函数值意意义频率分量量的数值值频率分量量的密度度值3 典型型非周期期信号的的FT频谱谱单边指数数信号：幅度谱：相位谱：单边指数数信号及及其幅度度谱、相相位谱如如图1所示。图1 (a)单单边指数数信号 (b)幅度谱谱 (cc)相位位谱(2) 偶双双边指数数信号：，为实偶偶函数。幅度谱：相位谱：偶双边指指数信号号及其频频谱如图图

7、2所示。图2 (a)偶偶双边指指数信号号 (bb)频谱谱(3) 矩形形脉冲信信号： (脉宽宽为、脉脉高为EE)，为实函函数。幅度谱：相位谱：矩形脉冲冲信号及及其频谱谱如图33所示。图3 (a)矩矩形脉冲冲信号 (b)频谱矩形脉冲冲FT的特特点：(i) FTT为Sa函数数，原点点处函数数值等于于矩形脉脉冲的面面积；(ii) FTT的过零零点位置置为；(iiii)频域域的能量量集中在在第一个个过零点点区间之之内(iv) 带宽宽为或，只与与脉宽有有关，与与脉高EE无关。信号等效效脉宽：信号等效效带宽：图4 (a)信信号的等等效脉宽宽 (bb)等效效带宽(4) 符号号函数：不满足足绝对可可积条件件，但

8、存存在FTT。幅度谱：相位谱：符号函数数及其频频谱如图图5所示。图5 (a)符符号函数数 (bb)频谱谱(5) 冲激激信号：均匀谱/白色谱谱：频谱谱在任何何频率处处的密度度都是均均匀的。强度为EE的冲激激函数的的频谱是是均匀谱谱，密度度就是冲冲激的强强度。单位冲激激信号及及直流信信号的频频谱函数数总结：FT定义义FT可逆逆性FT可逆逆性IFT定定义(6) 阶跃跃信号：不满足足绝对可可积条件件，但存存在FTT在处有一一个冲激激，该冲冲激来自自中的直直流分量量。单位阶跃跃信号及及其幅度度谱如图图6所示。图6 单单位阶跃跃函数及及其幅度度谱4 FTT的性质质线性性：线性性包包括：齐齐次性；叠加性性。

9、奇偶虚实实性：偶偶奇奇实偶实偶偶 (FFT可变变为余弦弦变换)实奇虚奇奇 (FFT可变变为正弦弦变换)实信号的的FT：(实信号号可分解解为：实实偶+实奇)实部是偶偶函数，虚部是是奇函数数：实实实偶+jj实奇偶共扼对对称：幅度谱为为偶函数数，相位位谱为奇奇函数：实实偶EXXP(实实奇)虚信号的的FT具有有奇共扼扼对称性性：偶共轭对对称或奇奇共轭对对称的函函数满足足幅度对对称：。实信号或或虚信号号的FTT幅度谱谱偶对称称，幅度度谱函数数是偶函函数。反褶和共共轭性：时域频域原信号f(t)F()反褶f(-tt)F(-)共扼f *(t)F*(-)反褶+共共扼f *(-t)F*()对偶性：傅里叶正正逆变换

10、换的变换换核函数数是共轭轭对称的的：；表示按自自变量进进行傅里里叶变换换，结果果是t的函数数。IFT可可以通过过FT来实实现。FT的对对偶特性性：若为偶函函数，则则；若为奇函函数，则则。尺度变换换特性：此性质表表明：时时域压缩缩对应频频域扩展展、时域域扩展对对应频域域压缩。时移特性性：时移不影影响幅度度谱，只只在相位位谱上叠叠加一个个线性相相位。与尺度变变换特性性综合：(7) 频移移特性：与尺度变变换特性性综合：频谱搬移移：时域域信号乘乘以一个个复指数数信号后后，频谱谱被搬移移到复指指数信号号的频率率位置处处。利用用欧拉公公式，通通过乘以以正弦或或余弦信信号达到到频谱搬搬移目的的。(8) 微分

11、分特性：时域微分分：频域微分分：如果连续续运用微微分特性性，则(9) 积分分特性：时域积分分：如果在处处有界(或)，则频域积分分：(100)卷积积定理：时域卷积积定理：频域卷积积定理：(111)时域域相关性性定理：若是实偶偶函数，则。此此时，相相关性定定理与卷卷积定理理一致。自相关的的傅里叶叶变换：。即函函数的自自相关函函数与其其幅度谱谱的平方方是一对对傅里叶叶变换对对）。(12) 帕斯斯瓦尔定定理：5 周期期信号的的FT(1) 正余弦弦信号的的FT：余弦信号号和正弦弦信号的的频谱如如图7所示：图7 余余弦信号号和正弦弦信号的的FT(2) 一般般周期信信号的FFT：(i)设设周期为为的周期期信

12、号在在第一个个周期内内的函数数为，则(iii) 周期单单位冲激激序列的的FT：FT的对对偶性() 冲激串FFS为：FT的线线性性一般周期期信号的的FT：(iv)(v) 关系图图：图8非周周期信号号FT与周周期信号号FS/FT比比较6抽样信信号的FFT抽样信号号的FTT：理想抽样样前后信信号频谱谱的变化化如图99所示：结论1：按间隔隔进行冲冲激串抽抽样后信信号的傅傅里叶变变换，是是周期函函数，是是原函数数傅里叶叶变换的的分之一一按周期期所进行行的周期期延拓。结论2：时域离离散频域域周期图9理想想抽样信信号的FFT7 抽样样定理抽样定理理：要保保证从信信号抽样样后的离离散时间间信号无无失真地地恢复原原始时间间连续信信号（即即抽样不不会导致致任何信信息丢失失），必必须满足足：信号号是频带带受限的的(信号频频率区间间有限)；采样样率至少少是信号号最高频频率的两两倍。概念(名名词)：抽样周期期：进行行理想采采样的冲冲激串的的周期。抽样频率率：抽样角频频率：奈奎斯特特率：无无失真恢