随机变量及其概率分布

1、 第二章随机变量及其概率分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布考试要求理解随机变量及其概率分市的概念.理解分布函数F(x)=PXx(-cX十8)的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握01分布、二项分布、超儿何分彳j、泊松(Poisson)分布及其应用.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(u,即)、指数分布及其应用.会求随机变量函数的分布.一、主要内

2、容讲解1、分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aX5b)=F(b)_F)可以得到X落入区间(,切的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具有如下性质：10F(x)1,svxv+oo；2F(x)是单调不减的函数，即XKX2时，有F(x0y).解：Xx表示事件“所投点落在半径为x的圆内”，(儿何概率)0,x0;故尸(x)=P(Xx)=,0 xr.从而P(Xy)=l-P(X0,/9=1.与分布函数的关系：尸二工门.；xx例2.2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(3

3、)为“取白球的数”,求X的分布律和分布函数.解：畑012P424214665654例2.3：给出随机变量X的取值及其对应的概率如下:X.1,2,人R1,.,.3,3“，3点，判断它是否为随机变量X的分布律。(不是)例2.4：设离散随机变量X的分布列为X-L0J.27iiii99T8842133求X的分布函数，并求P(X-),P(1X-),P(1X-)o例2.5掷两颗骰子，观察其点数，则G二(x,y):x,)=l,2,6。记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数，求X、Y、Z的分布。注：可利用古典方法求其概率。问题：如何由分布函数求分布列？0,x-1;例2.6：设X尸斗八乙1求X的分布列.0

4、.0 x1.注意：离散型随机变量分布函数的特征一一右连续阶梯状(左闭右开)3、连续型随机变量的分布设尸(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数/(%),对任意实数有则称X为连续型随机变量。/(切称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有性质:2f(x)dx=1与分布函数的关系：F(x)=|f(x)dx-X注：在F(x)的可导点处有Flx)=f(x).与尸(Q对应的密度函数f(x)不唯一.P(aXk)=jf则k的取值范围是1,3解：利用分布函数,0,x0-x.0 xl3lx33x，3xk)=P(Xk)=nP(Xlk分布函数？)当lvxv3时，F(x)=/(x)dx=J；+f=

5、|;当3K6时，F(x)=+J；.另解：利用密度函数的图形与概率的关系较容易解决。/1/301364、离散与连续型随机变量的关系P(X=X)aP(xXx+dx)afx)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=xk)=pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。例28(难)：设随机变量X的绝对值不大于1,即|X|W1,且P(X=_1)=1,P(X=1)=1,在事件-1X1出现的条件下，X在(-1,1)内的84任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求X的分布函数F(x)及P(X0)(即X取负值的概率)。解：取(-1,1)的任意子区间(-l,x,-lxb则有而P(

6、-1X1)=1-P(Xl)=l-|-i=|.所以P(-1Xx)=-(x+l),-lxl.80,x-l;从而F(A-)=P(X-1)+P(-lXx)=-+-k(x+l),-lxl;88又P(X=x)=P(Xx)-P(X扌=1一討(1+1)一=k=*或者,P(X=x)=P(Xx)=P(-lXx)+P(X=-1)=X仝+丄,(-1x1)几何概率288roX-1X-+X0,R=0丄2，k则称随机变量X服从参数为几的泊松分布，记为X龙(刃或者P(2)o泊松分布为二项分布的极限分布(np二入，n-*)例2.9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001,若独立地射击5000次,试求射中的次数不少于两次的

7、概率，用泊松分布來近似计算。(Xb(5000,0.001)近似P(5),5000P(XN2)=工k=2=1P(X=0)-P(X=1)=16厂)例2.10：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，己知该时段内没有汽车通过的概率为0.05,则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？解：P(X=k)=,P(X2)=l-P(X=0)-P(X=1)p（x=0）=0.05=/l=3=P（X2）=0.8超几何分布从一个有限总体（N个产品，其中M个是不合格的）中进行不放回抽样（任取n个），取到的不合格产品的个数X的分布称为超儿何分布，其分布列为：p（x=k）=m广初，R=0,l,1-,其中r=nnn

8、M,no【注】当nN时，可近似看作是有放回抽样，可以用二项分布近似。随机变量X服从参数为n,N,M的超儿何分布，记为H（n,N,M）。（背景1概率模型：M个白球，N-M个黑球。从中取出n个球，有k个白球的概率。例2.11（1）：袋中装有&个白球及0个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中厂a厂b含d个白球，b个黑球的概率（oa,b0）。（亠存）例2.11（2）：从袋中先后取a+b个球（不放回），试求其中含。个白球，b个abab黑球的概率（八仔Pa+pCa+b注意：先后不放回与任取是一样的。几何分布在Bernoulli试验中，记p为事件4在一次试验中出现的概率，X为首次出现A时的试验次数，则X的可

9、能取值为1,2,，称X的分布为儿何分布，记为XG认p）,其分布列为：P（X=k）=Q_p）Zp,k=l,2,例2.12：袋中装有个白球及0个黑球，从袋中先后取a+b个球（放回），试求直到第a+b次时才取到白球的概率（am+nXm)=P(Xn).均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数/（X）在a,b上为常数丄b-ci、一!一、axbx即p(x)=b-a0.其他.则称随机变量X在a,b上服从均匀分布，记为XU（a,b）o尸0,xa;x-ci.axbxxx2bf9X落在区间（几兀）内的概率为P（“vX0=P(X2-40)=-.指数分布o,其他.其中几0,则称随机变量X服从参数为2的指数分

10、布。-exx0F(x)=久0为参数.0,x5)=p(x5+r|xr)例215：设非负随机变量X的密度函数为f(x)=Ax1e,x0,则TOC o 1-5 h zA=oJx*22分析：2dx=8Aj()3e21/()=8A|tle(dt=8Ax3!=48Aoo22o正态分布设随机变量X的密度函数为一8VXV+S,其中、b0为常数，则称随机变量X服从参数为、b的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XW(“,k)。/(x)具有如下性质：1(X)的图形是关于x=p对称的；2当兀=时，/(/)=为最大值；若XNiT,则x的分布函数为一COX+OD参数=、b=l时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0

11、)，其密度函数记为-sVXv+s.分布函数为(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-X)=1-0(X)且(0)=丄。2标准化公式及其应用:(正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布)如果X、Ng),则口、N(0,l)。TPgX|匕二兀一b例2.16：设X求p(|x|v3b)。(20(3)-1)例2.17：XN(2,o:)且P(2X4)=03，则P(X0)=?(0.2)分析：方法一：利用标准化公式TOC o 1-5 h z222P(2vXv4)=P(0vU(一)=0.8(7CC222P(X0)=P(U-)=1(一)=027(7(7方法二:P(0X2)=P(2X4)例2.18：若有

12、彼此独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率为O.Olo现配备三个修理工人，每人分块包修30台，求设备发生故障而无人修理的概率。若三人共同负责维修90台，这时设备发生故障而无人修理的概率是多少？解：(1)记&一第i个人的设备发生故障而无人修理，i=l,2,3.X,一一第i个人的设备发生故障的台数。p(4+九+&)=i-p(AAA)=i-P(A)p(A)p(A)=0.1067.其中，P(4)=P(X,4)=0.0135,X3(90,0.01).例2.19：设随机变量X服从a,b(a0)的均匀分布，且P(0X4)4=丄，求：2(1)X的概率密度(2)P(1X4)=t#=丄=2,b=6.b-a4

13、b-a2例2.20：X,Y独立，均服从Ul,3,4二XWa,二YWo,已知P(AUB)二？，9求。二？解：卩(4)=戸(3)=口,且人3独立.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=|=-.例2.21：设顾客到某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从指数发布，其密度函数为1-伽=寸100,x10)p=P(X10)=f(x)=e2例2.22：X3N(1,72),则P(1X2)=?1_1X_1Q_1解:P(1X2)=P(1X38)=P()=0(1)-0(0)=0(1)-0.5注：若要计算P(1X2/2X-l)+P(lX/2)=P(-/8X3-l)+P(lX5/8)6、分位数定义：设X

14、的分布函数为F(x),密度函数为p(x)对V/?g(0,1),称:满足F(x；)=p(x)dx=p的xp为此分布的p分位数(或下侧p分位数)；满足1尸(嘉)=厂p(x)dx=的为此分布的上侧p分位数。如下图所示:Jxp注：嘉=心；卩=心”Xpxp(下侧)分位数上侧分位数设X2(0,1),X的p分位数记为知，则卩=T(u),即是分布函数的反函数,如：”095=196.且易知：当p0;当刃伐时，知=u=X=“+mi.G(7(04)：设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a(Ovavl),数-满足PXua=at若P|x|x=a,则x等于(C)(A)ua.(B)11a.(C).(D)uY_a.

15、1注意：这里是上侧分位数。解题要点：求分布函数或分布列即是计算概率；求分布函数的时候首先要确定随机变量的可能取值范围;理解各种分布的背景和主要特征；注意随机变量和随机事件的转化（等价性）。7、函数分布离散型：己知X的分布列为XXl,X2,Xn,P(X=Xi)儿Ph,P叫Y=g（X）的分布列（X=g（）互不相等）如下:g(h),若有某些g（Q相等，则应将对应的门相加作为g（Q的概率。例2.23：己知随机变量X的分布列为n71兀X22rp、pg.pq=，pq、其中p+q=lo求y=sillX的分布列。解：Y-101PPpqI4i-ql-q4连续型：先利用X的概率密度人(x)写出Y的分布函数，耳(y

16、)=P(Y刃=P(g(X)，),再利用变上下限积分的求导公式求出人(刃。即：心匚WFx(入XP(xs)”心(关键)P(Ypy(y)例2.24：己知随机变量X/二，求y=2X+3的密度函数/r(v)-x(1+jc)(-,)(注意Y的可能取值范围)2y_3fy-3Y2!_I2丿一2x例2.25、设随机变量X的密度函数为Px(x)=p?，*5,0,其他.求Y=sniX的密度函数,()解：Y=sinX的可能取值在区间(0,1)内，所以当yliHy0时，卩心)=0；当0yl时，使Yy的x的取值在两个互不相交的区间，如下图1(刃=0,兀=0,aicsiny,A2(y)=x2,龙=龙一aicsmy,龙于是y

17、=xw(y)Uxw(y)=0XaicsmyU兀一aicsuiyX,所以有巴(y)=P(Xy)=r%(x)dx+.px(x)dx=dx+j7竺dx，JO-arcsrnyJO兀J-arcsmy对戒导y)_2a孚m2(-管5巴刃_二_,0“丘Jl_：/7tJl_)&兀J1_F即得Y的概率密度函数为2IOvyvl;Py(.y)=0,故当ypr(y)=0；当y0时，Fy(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(“Xo；o,yo；=o,yo.对y求导、o,yo.【注】：y=x2的分布即是自由度为1的F分布，丫r(i).例2.27：设随机变量X具有连续的分布函数尸(x),求Y=F(X)的分布函数尸(刃(或证明：

18、设X的分布函数尸(Q是连续函数，证明随机变量Y=F(X)在区间(0,1)上服从均匀分布。)解：Y=F(X)的取值范围为0,1,当0vyv1时，有耳(刃=P(Yy)=P(F(X)y)=P(X/=|,Y=mm(X,2)的可能取值范围是0,2.当0vyv2时，FY(y)=P(Yy)=P(mm(X,2)y)=P(Xy)=l-ev.问：丫服从指数分布吗？(否，指数分布的可能取值范围是0,)解题要点：求函数分布的基本方法分布函数法。二、历年试题分析：(93,8分)设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数(广)服从参数为At的泊松分布。求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；求在设备已经无故障工作8小

19、时的情形下，再无故障运行8小时的概率0解：=、k=0丄2,0,t0;(1)T的分布函数为尸(f)=0.10;P(Tt),t0.其中，P(Tt)=P(W(f)=0)=注：关键在于理解P(Tt)=P(N(t)=0)(2)Q=P(T16TS)=P(T16)P(T8)或者直接利用指数分布的五记忆性:e=P(T16|T8)=P(T8)=产1（02年）1设随机变量X服从正态分布N（Ob0）,且二次方程TOC o 1-5 h zy2+4y+X=0无实根的概率为+，则“=o解：P（A=16-4X4）=0.5P（X4）=P=1一（J（）=0.5n“=4.a2.设X和X,是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为人伉）利;CO，分布函数分别为仟W和代（x）,则（D）（A）乞住）+厶（小必为某一随机变量的概率密度；（B）必为某一随机变量的概率密度；（