2021-2022学年安徽省定远育才实验学校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A这20天中指数值的中位数略高于100B这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占C该市10月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好2复数满足，则复数等于（）ABC2D-23若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）A B C D4已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）AB64CD326函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调

3、递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）ABC2D7下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）；.A0B1C2D38已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C抛物线D圆9如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）ABCD10命题“”的否定为（ ）ABCD11若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减

4、半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）A6里B12里C24里D48里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，角，的对边分别为，.若；且，则周长的范围为_.14已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为_15已知函数在处的切线与直线平行，则为_.16 “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈”其白

5、话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺”则每天增加的数量为_尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，求的值18（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、

6、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311的为“长纤维”，其余为“短纤维”）纤维长度甲地（根数）34454乙地（根数）112116（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附：（1）；（2）临界值表；1111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的

7、根数为，求的分布列及数学期望.19（12分）设，函数.（1）当时，求在内的极值；（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.20（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明:平面（2）若，求二面角的余弦值.21（12分）已知的内角、的对边分别为、，满足.有三个条件：；.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.22（10分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.参考答案一、选择题：本题共12

8、小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.【详解】对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.故选：【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命

9、题进行判断，本题较为基础.2B【解析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数满足，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题3B【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.4C【解析】先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】，先解不等式.当时，由，得，解得，此时；当时，由，得.所以，不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时，则，此时；当时，此时.综上所述，函数的值域为，由于在定义域上恒成立，则不等式在

10、定义域上恒成立，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.5A【解析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，故.故选：A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.6C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，当时，解得，故选C.点睛：本题

11、主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.7C【解析】对于中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以不正确；对于中，设函数，则，当时，函

12、数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.8B【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：所以有，而是中点，连接，故，因此当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,故，因此，综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.故选：B【点睛】本题考

13、查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.9C【解析】利用建系，假设长度，表示向量与，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作轴/,建立空间直角坐标系如图设，所以则所以所以故选：C【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.10C【解析】套用命题的否定形式即可.【详解】命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.11A【解析】将 整理

14、成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.12C【解析】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里故选：C【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】先求角，再用

15、余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.【详解】解：所以三角形周长故答案为：【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.14【解析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.【详解】由已知，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，直三棱柱的棱长为x，则，故，即，解得，故三棱柱的侧面积为.故答案为：.【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.15【解析】根据题意得出，由此可得出实数的值.【详解】，直线的斜率为，由于函数在处的切线与直线平行，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的切线

16、与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.16 52 【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出.【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,则,解得,即每天增加的数量为，故答案为，52.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的

17、性质可得,进而求证；（2）以为原点,过作的平行线,分别以,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；（3）设,则,求得,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】（1）证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.（2）以为原点,过作的平行线,分别以,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.（3）设,则有,得,设,那么,

18、所以,所以.因为,所以.又因为,所以,设平面的法向量为,则,即,可得,即 因为在平面内,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.18（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（2）见解析【解析】试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望试题解析：（）根据已知数据得到如下列联表：甲地乙地总计长纤维91625短纤维11415总计212141根据列联表中

19、的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” （）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，的可能取值为：1,1,2,3， ， 的分布列为：1123 19（1）极大值是，无极小值；（2）【解析】（1）当时，可求得，令，利用导数可判断的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；（2）表示出，并求得，由题意，得方程有两个不同的实根，从而可得及，由，得则可化为对任意的恒成立，按照、三种情况分类讨论，分离参数后转化为求函数的最值可解决；【详解】（1）当时，.令，则，显然在上单调递减，又因为，故时，总有，所以在上单调递减.由于，所以当时，；当时，.当变化时，的变化情

20、况如下表：+-增极大减所以在上的极大值是，无极小值.（2）由于，则.由题意，方程有两个不等实根，则，解得，且，又，所以.由，可得又.将其代入上式得：.整理得，即当时，不等式恒成立，即.当时，恒成立，即，令，易证是上的减函数.因此，当时，故.当时，恒成立，即，因此，当时，所以.综上所述，.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高20（1）详见解析；（2）.【解析】（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量，最后求得二面角的余弦值为.【详解】解：（1）连结 ，且是的中点，平面平面，平面平面，平面. 平面，又为菱形，且为棱的中点，.又，平面平面.（2）由题意有，四边形为菱形，且 分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为由，得，令，得取平面的法向量为二面角为锐二面角，二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运