2018年高考统计与概率专题

1、2018 年高考统计与概率专题全国卷 1文） 2为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田 .这 n块地的亩产量（单位： kg）分别为 x1， x2， ，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是Ax1，x2，xn 的平均数Bx1，x2，xn 的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn 的中位数答案】 B解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选 B部分关于正方形的中心成中心对称全国卷 1 理）2如图， 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1A4 B8

2、考点 】：几何概型思路 】：几何概型的面积问题，CD4P=基本事件所包含的面积总面积解析 】：12S1 2 r P= 1 2 2S 2r 2，故而选 B 。8全国卷 2理） 6.安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A 12 种B18 种C 24 种D 36 种1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一（全国卷 2 文）6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90 B.63 C.42 D.36答案】 B解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4

3、的圆柱，故其体积为 V 1 32 632 4 63 ，故选 B.2（天津卷）文 （3）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 .从这 5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为4321（A） （B） （C） （ D） 5555（全国卷 2文） 11.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5张卡片中随机抽取 1张，放回后再随机抽取 1张，则抽得的第 一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为1A.101B.53C.102D.5答案】 D解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有 25 种情况，满

4、足条件的有 10 种10 2 所以所求概率为 10 2 。2014 年 125 5（全国卷 3 文 理 ）3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【考点】折线图名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有1.频率分布直方图 ,（特点 :频率分布直方图中各小长方形的面积等于对

5、应区间概率,所有小长方形的面积之和为 1）; 2. 频率分布折线图： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点， 就得到频率分布折线图 3. 茎叶图 .对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据 （山东卷）文 （8）如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5 名工人某日的产量数据（单位：件） 。若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为A 3,5 B 5， 5 C 3 ，7 D 5 ，7答案】 A【解析】由题意 ,甲组数据为 56，62，65，70 x，74，乙组数据为 59，61，67， 60 y ，78.要使两组数 据中位数相等，有 65 60

6、y ，所以 y 5 ，又平均数相同，则56 62 65 （70 x） 74 59 61 67 65 78，解得 x 3. 故选 A. 55（山东卷）理 （5）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随 机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为1010y? b?x a?已知xi 225， yi 1600 ，b? 4 该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为i 1i 1（A）160（B） 163（C）166（D）170【答案】 C【解析】 x 22.5, y 160, a 160 4 22.5

7、 70,y 4 24 70 166 ,选 C.（天津卷）理 （14 ）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的 四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】 A54 C41C53A44 1080（江苏卷） 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件 .（山东卷）文 （ 16）（本小题满分 12 分）某旅游爱好者计划从 3个亚洲国家 A1,A 2,A 3和3

8、个欧洲国家 B1,B 2,B3 中选择 2个国家去旅游。 （）若从这6个国家中任选 2 个，求这 2个国家都是亚洲国家的概率；（）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1的概率。12【答案】 （1）1 ； （2） 2.592C 3 1解析】 (1)p 32C6 15 5C11C21(2)PC1C1C3C3天津卷）理16. （本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111 234X 的分布列和数学期望；）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到 1 个红灯的概率）设X

9、 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量13 11答案】 (1) (2)12 48解析】（）随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(XP(X114 4 ，1) 1 (1 1) (1 1) (1 1) 12 3 4 2 30) (1 1) (1 1) (1 1) 12 3 4 4P(X111 1(1 ) (1 ) (1 )423 4 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 11 1 1111 1112) (1 ) (1 ) (1 ) ，23 4 2342 3441124P(X3) 1 1 12 3 4 24随机变量 X 的分布列为X

10、012311111P424424所以，11111 13随机变量 X 的数学期望 E(X) 0 1 2 3424424 12）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y Z 1) P(Y 0,Z 1) P(Y 1,Z 0) P(Y 0)P(Z 1) P(Y 1)P(Z 0)1 11 11 1 114 24 24 4 48所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148（全国卷 2 文） 19 （12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 水产品的产量（单位： kg） , 其频率分布直方图如下：2 n(a

11、d bc) K(a b)(c d)(a c)(b d)100 个网箱，测量各箱1）记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”，估计 A 的概率；2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：2（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 .（3）箱产量的频率分布直方图平均值 （或中位数 ）在 45kg到 50k

12、g之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较 旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此 ,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.（全国卷 2 理） 18. （12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱 水产品的产量（单位： kg）某频率直方图如下：1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养

13、殖法3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01 ）P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K 2 n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)18.解：（1）记 B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”， C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg ” 由题意知 P A P BC P B P C旧养殖法的箱产量低于 50kg 的频率为0.040 0.034 0.024 0.014 0.012） 5=0.62故P B 的估计值为 0.62新养殖法的箱产量不低于 50kg 的频率为（0.068 0.046 0

14、.010 0.008） 5=0.66故 P C 的估计值为 0.66因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 0.66 0.4092200 62 66 34 38100 100 96 10415.7052）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法6238新养殖法346622由于 15.705 6.635故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关50kg 的直方图面积为（ 3 ）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5 ，箱产量低于 55kg 的直方图面积为0.004 0.020 0.044+0.

15、068 5 0.68 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+52.3（5 kg）0.068全国卷 1 文） 19（ 12分）30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔测量其尺寸（单位： cm）下面是检验员在一天内依次抽取的抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516 个零件的尺寸：1616经计算得 x 1xi 9.97， s1 (xi x

16、)216 i 116 i 11 16116(i 1 xi2 16x2) 0.212，(i 8.5)2i118.439，16(xii1x）（i 8.5） 2.78 ，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸， i 1,2, ,161)求 (xi,)i (i 1,2,16)的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 |r | 0.25 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变 小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（x 3s,x 3s） 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行

17、检查（ ）从这一天抽检的结果看，学 .科网是否需对当天的生产过程进行检查？（）在 （x 3s,x 3s） 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01）(xi x)(yi y) i1， 0.008 0.09 2附：样本 (xi,yi) (i 1,2, , n)的相关系数 r n i 1 ni 1 (xi x)2 i 1(yi y)ii ） 剔除 9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为 16x 9.22 16 9.97 9.22 10.02 ，标准 15 1516 2 2 差为 s 1 (xi 10.02)2 9.22 10.2 2

18、0.008 0.09 16s 10.02 9.22 0.011516 i 1（全国卷 1 理）19（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N（ , 2） （1）假设生产状态正常， 记 X表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 （ 3 , 3 ） 之外的零件数，求 P（X 1）及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ 3 , 3 ） 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生

19、产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；1 16 1 16 2 1 16 2 2 2 经计算得 xxi9.97， s（xix）2（xi216x2）20.212，其中xi 为抽取16 i 1 16 i 1 16 i 1的第 i 个零件的尺寸， i 1,2, ,16用样本平均数 x 作为 的估计值 ? ，用样本标准差 s 作为 的估计

20、值 ?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 （ ? 3?, ? 3?） 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）附：若随机变量 Z服从正态分布 N（ , 2），则 P（ 3 Z 3 ） 0.997 4，0.997 416 0.959 2 ， 0.008 0.09【 考点 】：统计与概率。【思路 】：（1）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。（ 2）考察正态分布，代入运算即可。【 解析 】：161) P X 1 1 P X 0 1 0.997416 1 0.9592 0.0408由题意可得， X 满足二项分布 X B 16,0.0016 ，因此可得 EX

21、 16,0.0016 16 0.0016 0.0256 （2）1 由（ 1）可得 P X 1 0.0408 5% ，属于小概率事件，故而如果出现 （ 3 , 3 ） 的零件，需要 进行检查。2 由题意可得9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606 ，故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时：9.97 16 9.221510.02 ，1 15x x 0.09 。15 i 118（ 12 分）（全国卷 3理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天

22、全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高 气温（单位：）有关如果最高气温不低于25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ， 25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月 份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？1

23、8. 解：（ 1）由题意知， X 所有的可能取值为 200,300,500 ，由表格数据知2 16P X 200 0.290P X 300 36 0.49025 7 4 P X 500 0.4.90因此 X 的分布列为X200300500P0.20.40.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为 200，因此只需考虑 200 n 500当 300 n 500时，若最高气温不低于 25，则 Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间 20，,25 ，则Y=6300+2（n-300 ） -4n=1200-2n;若最高气温低于 20 ，则Y=6 200+2（ n-200 ）-4n=800-2

24、n;因此 EY=2n 0.4+ （1200-2n ） 0.4+（800-2n） 0.2=640-0.4n当 200 n 300 时，若最高气温不低于 20，则 Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20 ，则Y=6 200+2（ n-200 ）-4n=800-2n;因此 EY=2n （0.4+0.4）+（800-2n） 0.2=160+1.2n所以 n=300时， Y的数学期望达到最大值，最大值为 520元。（全国卷 3 文） 18 （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶 降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据

25、往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温 （单位： ） 有关如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25），需求量为 300 瓶；如 果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温 数据，得下面的频数分布表：最高气温10 ， 15)15，20)20 ， 25 )25 ，30)30，35)35 ，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；（ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元） ，当六

26、月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率31【答案】（1） 3；（2） 155（2） Y 的可能值列表如下：最高气温10 ， 15)15，20)20 ， 25 )25 ，30)30，35)35 ，40)Y100100300900900900低于 20 C ： y 200 6 250 2 450 4 100 ； 20,25） ： y 300 6 150 2 450 4 300； 不低于 25 C ： y 450 （6 4） 90036 25 7 4Y 大于 0 的概率为0.8.90【考点】古典概型概率【名师点睛】点睛：古典概型中基本事件数的探求方

27、法（1）列举法 .（2）树状图法： 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法 .（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化数学理 北京卷） （ 17 ）（本小题 13分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药 .一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和 y的数据，并制成下图，其中“ * ”表示服药者，“ +”表示为服.药 者（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A，B，C，D 四

28、人中随机 KS5U. 选出两人，记 为选出的两人中指标 x的值大于 1.7 的人数， 求 的分布列和数学期望 E（ ）；（）试判断这 100 名患者中服药者指标 y数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 .（只需写出结论）由图知， A,B,C,D 四人中，指标 x的值大于 1.7 的有 2人：A和 C.所以 的所有可能取值为 0,1,2.P( 0) CC422 61,P( 1) CC2C42 2 32,P( 2) CC224所以 的分布列为012P121636 TOC o 1-5 h z 121 HYPERLINK l bookmark123 o Current Document 故

29、的期望 E（ ） 0 1 21.636（）在这 100 名患者中，服药者指标 y数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差 .（数学文 北京卷） （17 ）（本小题 13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30 ），30,40 ），80,90 ，并整理得到如下 频率分布直方图： ）从总体的 ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 40,50 ）内的人数； ）已知样本中有一半男生的分数 KS5U 不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女

30、生人数相等试估 计总体中男生和女生人数的比例3答案】（）0.4 ；（）5 人；（） 2 .）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 （0.02 0.04） 10 100 60 ，1 所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60 1 30.2所以样本中的男生人数为 30 2 60 ，女生人数为 100 60 40 ，男生和女生人数的比例为 60: 40 3:2. 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 3: 2.（山东卷）理 （18 ）（本小题满分 12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组

31、，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中 心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名 B1， B2，B3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示。（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含 B 3的频率。（ II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望 EX。5【答案】（I） . （II）X 的分布列为18X01234P1510514221212142X 的数学期望是 EX 2.解析】解：I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含 B3的事件为 M，则 P（M