【含高考模拟卷18套】首都师范大学附属中学2020-2021学年高考数学模拟试卷含解析

1、注意事项首都师范大学附属中学 2020-2021学年高考数学模拟试卷考生要认真填写考场号和座位序号。试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的离心率，点 是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）ABCD若函数 fx图象上存在两个点A ， B 关于原点对称，则点对A,B称为函数 fx

2、 的“友好点对 ”且点对 A,B与B,A可看作同一个 “友好点对 ”.若函数 fxx22exm1,x e20( 其中 e 为自然对数的底数，e2.718) 恰好x, x0 x有两个 “友好点对 ”则实数 m 的取值范围为 ()Am(e1)2m(e1)2m(e1)2m(e1)2CDB记 m 表示不超过 m 的最大整数 .若在 x1 1logx2A 3B12C113D 4(,) 上随机取 1 个实数，则使得28 2为偶数的概率为（）x2y2已知方程221 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是mn3mnA (1,3)B (1,3 )C (0,3) D (0,3 )已知f (

3、x)x1 ，g( x)ln x ，若f ( x1)g( x2) ，则 x2x1 的最小值为（）A 1B 2C 2ln 2D 2ln 2已知ABC 中， AB3, BC1,sin C3cosC ，则 ABC 的面积为（）A 2 3B 3C332D 4已知四面体中，平面平面，为边长 2 的等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD若 m ， n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是若 m， n / /，/ /，则 mn若m / /， n，则 mn若m / /， n / /，/ /，则m / n若 m， n，则m / n将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为和 ，

4、则方程没有实数解的概率为（）ABCD在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 P 是边 AB 上一点，且 BP2 PA ，则 CP CB（）1A 3B12C23D 1x2y2设A1，A2 分别为双曲线C : a2b21 （ a0 ， b0 ）的左、右顶点，过左顶点A1 的直线 l 交双曲线右支于点P ，连接A2P ，设直线 l 与直线A2P 的斜率分别为k1 ， k2 ，若k1 ， k2 互为倒数，则双曲线C 的离心率为（）1A 2B2C 3 D 2 2设四边形 ABCD 为平行四边形，ABA 20B 15C 9D 66 ， AD4 .若点 M ， N 满足 BM3MC ，则 AMNM（ ）

5、二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。P 为等腰直角三角形ABO 内一点， O 为直角顶点，AO222PAPBPO，则的最小值为已知数列an满足a12 ， nan 1n1 ann2n ，若 bn2an2，则bn的前 n 项和Sn2xy22xy10P( x, y) 满足x2 y4 ，则 x2y的最小值为162cos55 ocos5osin 5o的值为三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（ 12 分）如图：在三棱锥PABC 中， PB平面 ABC， ABC 是直角三角形，B90， ABBC2 ，PAB45，点 D、E、F分别为 AC、AB、 B

6、C的中点 .求证： EFPD ；求直线 PF 与平面 PBD 所成角的大小；求二面角EPFB 的正切值 .18（ 12 分）在公差不为 0 的等差数列 an 中，a1 ， a3 ， a9 成公比为a3 的等比数列，又数列 bn 满足2a n , nbn2n, n2k 2k ,1,*(kN )求数列 an的通项公式；求数列bn的前 2n 项和 T2n 19（ 12 分）已知函数fxax22ax2b ， a0 ，若 fx 在 区间2,3 上有最大值 5，最小值 21 求 a， b 的值；2 若 b1， g xfxmx 在 2,4 上为单调函数，求实数m 的取值范围20（ 12 分）在直角坐标系中，

7、以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线 的参数方程为：( 为参数 )，点 的极坐标为，设直线 与曲线 相交于两点写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；求的值2fx21（12 分）已知函数a ln x ax0若函数yfx图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数 fx的极值点；若不等式fx2有解，求 a 的取值范围22（ 10 分）如图，等腰梯形 ABCD 中， AB CD , ADABBC1,CD2 ，E 为 CD 中点，以 AE 为折痕把ADE折起，使点 D 到达点 P 的位置（ P平面 ABCE ）时，求点 C 到平面 PAB 的距离证明： AEPB ；当

8、四棱锥 PABCE 体积最大参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B2、C3、A4、A5、B6、C7、A8、A9、C10、C11、B12、C二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。413、 34n 1414、3415、 516、1三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（ 1）证明见解析； （ 2） arcsin10 ；（ 3） 5 .102【解析】试题分析：以BA, BC , BP 分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（ 1）计算EF

9、PD0，可得两直线垂直；（ 2）计算直线 PF 的方向向量和平面PBD 的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函数表示出这个角的大小；（ 3）分别求出平面 EPF ，平面 BPF 的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余弦值，然后转化为正切值.试题解析：解法一（ 1）连接 BD 。在ABC 中，B90 .ABBC ，点 D 为 AC 的中点， BDAC .又PB平面ABC，即 BD 为 PD 在平面 ABC 内的射影，PDAC .E、F 分别为 AB、 BC 的中点， EF / AC ， EFPD .（ 2）PD平面 ABC， PBEF .连结 BD 交 EF 于点 O ， EFPB, EF

10、PD ， EF平面PBD ，FPO 为直线与 PF 平面 PBD 所成的角， EFPO .PB面ABC ，PBAB, PBBC ，又PAB45 ， PBAB2 .OF1 AC2 ，2PFPBBF 25 ，42在 RtEPO 中，sinOFFPOPF10 ，10FPOarcsin10 ，10即直线 PF 与平面 PBD 所成角的大小为arcsin10 .10（ 3）过点 B 作 BMPF 于点 M ，连结 EM ，ABPB, ABBC ， AB平面 PBC ，即 BM 为 EM 在平面 PBC 内的射影，EMPF ，EMB 为二面角 EPFB 的平面角 . RtPBF 中， BMPBBF2，PF

11、5 tan EMBEB BM5 ，即二面角 EPFB 的正切值为5 .22解法二 建立空间直角坐标系Bxyz ，如图则 B 0,0,0 , A2,0,0 , C0,2,0 , D1,1,0 , E1,0,0 , F0,1,0 , P0,0, 2 .（ 1） EF1,1,0 , PD1,1, 2 ， EF PD1 10 ， EFPD .（ 2）由已知可得EF1,1,0，为平面的法向量， cosPF , EFPF EF110，PF EF1010直线 PF 与面 PBD 所成角的正弦值为10 .10直线 PF 与面 PBD 所成角的为10arcsin.10（ 3）设平面 PEF 的一个法向量为ax,

12、 y, z ， EF1,1,0 , PF0,1, 2 ， aEFxy0, a?PFy2z0 ，令 z1 ， a2,2,1 .由已知可得，向量BA2,0,0为平面 PBF 的一个法向量， cosa, BAaBA a BA42323 ， tana, BA5 .2二面角 EPFB 的正切值为5 .2考点：空间线面关系的证明，求面面角.18、（ 1） an【解析】n ；（ 2） T2n2(4n1)32n(n1)（ 1）根据条件列方程组解得公差与首项，即得数列 an的通项公式； （ 2）根据分组求和法得结果.【详解】（ 1）公差 d 不为 0 的等差数列 an 中，a1， a3 ， a9 成公比为a3

13、的等比数列，可得 a 2a aaa a(a2 d )2a (a8d)a1ad131 9 ， 31 3 ，可得111， 1，化简可得1，即有 ann；（ 2）由（ 1）可得 bn2n, n 2n, n2k1 2k， kN * ；前 2n项和T2 n(28322)(48124n)2n12(14n)12(4n1)n(44n)2n( n1423【点睛】1) 本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 19、（ 1）见解析；（ 2） ( ， 2 6 ， )【解析】解： (1)f(x) a(x 1) 2 2 b a.当 a0 时， f(x) 在2,3 上为增函数，f35故

14、， ?f229a6a2b4 a4a2b5a1? 2b0当 a0 时， f(x) 在2,3 上为减函数，f32故?f259a6a2b4a4a2b2a1? 5b3(2) b1 ， a 1， b 0， 即 f(x) x2 2x 2.g(x) x2 2x 2 mx x2 (2 m)x 2， g(x) 在2,4 上单调，22或 4.2 m2或 m6.故 m 的取值范围为 ( ， 2 6 ， )20、（ 1），（ 2） 1【解析】（） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C 的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l 的普通方程；（） 点 A 的直角坐标为 （ 3， ），设点 P，Q 对应的参数分别为t1，t

15、 2，点 P，Q 的极坐标分别为 （），（ t 为参数）与（x 2） 2+y 2=3 联立，得：t1t 2=1， |AP|AQ|=1 ，转化求解 |AP|?|AQ|?|OP|?|OQ| 的值【详解】 曲线 C 的直角坐标方程为：，即，直线 l 的普通方程为2mm2）将 点 A 的直角坐标为，设点 P，Q 对应的参数分别为， ，点 P，Q 的极坐标分别为，将为参数 与联立得：， 由韦达定理得：，将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：，由韦达定理得：，即所以，【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力21、fx 的极小值点为x【解析】1，无极大值点；2a0

16、且 a2 .I求导后可知当 1xa时， fx 取最大值，从而求得 a ，得到 fx ，根据函数单调性求得极值点；IIfx24有解，可知fx min2 ，通过导数可得到aaln 2 a2 ，设函数 g xlnx1x ，只需 g x0 ，求得g x maxg 10 ，可知 2a0 且 2a1即可，从而得到 a 的取值范围 .【详解】fx2x2a x0 xa0当 1a 时， fx 取最大值 a2x482a2a0a48此时 fx244x2x2xx2在 0, 12上， fx0 ， fx 单调递减；在1 ,2上， fx0 ， fx 单调递增fx的极小值点为x12 ，无极大值点fxax2x2x0 且 a0在

17、 0, 2a上， fx0 ， fx 单调递减2在,上， fxa0 ， fx 单调递增fxf2aaln 2aa关于 x 不等式 fx2 有解aaln 22aa0ln 2120 aa令 g xlnx1xgx111xxx在 0,1 上 ， gx0 ， g x 单调递增；在1,上， gx0， g x 单调递减g xg 10ln 2120aa2可知：a0 且 21aa 的取值范围是a0 且 a2【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，重点考查了利用导数解决能成立问题，关键在于能将能成立的不等式转变为最值与定值的关系，再利用导数求得函数最值，从而求解得到结果.22、证明见解析；15 .5

18、【解析】通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得BDAE ，可知翻折后 OPAE ， OBAE ，从而可得 AE 平面POB ，进而证得结论；求解出三棱锥PABC 体积后，利用VP ABCVC PAB求出结果 .【详解】证明：在等腰梯形ABCD 中，连接 BD ，交 AE 于点 OAB / /CE , ABCE四边形 ABCE 为平行四边形AEBCADDEADE 为等边三角形在等腰梯形 ABCD 中，CADE3 , BDBCBDAE翻折后可得：OPAE, OBAE又OP平面 POB ， OB平面 POB ， OPOBOAE平面 POBPB平面 POBAEPB当四棱锥 PABCE 的体积最大时平面P

19、AE平面 ABCE又平面 PAE平面 ABCEAE ， PO平面 PAE , POAE OP平面 ABCE3OPOB2APAB1PBcos62113PAB21sin15PAB424115S PABPA AB sinPAB28OP S又1VP ABCABC133133248设点 C 到平面 PAB 的距离为 dd3VC PABS PAB38151558【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解 .在立体几何问题中， 证明线线垂直通常采用先证线面垂直， 再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利用体积桥的方式建立方程.注意事项 :2020-2021高考数学模拟试卷

20、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。答题时请按要求用笔。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1以下四个数中，最大的是（）ln3A3B1eCln D 15ln15 30近年来 .随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利 ”

21、在逐渐消退，在当前形势下， 很多二线城市开始了 “抢人大战 ”，自 2018 年起， 像西安、 南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至 2019 年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16 个。某二线城市与2018 年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策， 以下简称新政） ：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户， 专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户。高中及以下学历人员在当地工作10 年以上可以落户。 新政执行一年， 2018 年全年新增落户人口较2017 年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统

22、计了该市新政执行前一年（即2017 年）与新政执行一年（即2018 年）新增落户人口学历构成比例，得到如下饼图：则下面结论中错误的是（） A新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D新政对专科生在该市落实起到了积极的影响已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于A, B 两点， AB12, P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为（）A 18B 24C 36D 48已知函数 fxax 4x34x2019 ， f x 是 fx 的导函数，若f x 存在

23、有唯一的零点x0 ，且x00,，则实数 a 的取值范围是（）A,2B ,11,2,CD在 ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a, b, c ，若 ABC 为锐角三角形，且满足，sin 2Ctan A(2sin 2 CcosC2) ，则等式成立的是（）A b2aB a2bC A2BD B2 A已知等差数列an ， 若 a210, a51 ，则an的前 7 项的和是（）A 112B 51C 28D 18已知，均为锐角，且sin22sin2，则（）A tan()3tan()B tan()2tan()C 3tan()tan()D 3tan()2tan()已知三棱锥DABC 四个顶点均在半径为R

24、的球面上，且ABBC2, AC，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为500A81B 4C259D1009已知ABC是边长为 a的正三角形，且AMAB, ANAC (,R,1) .设函数f ()BN CM ，当函数f () 的最大值为2 时， a（）A 4 2B42433C 4 3D 3一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2 的正方形，该几何体的表面积为（）A 2 3 B 4C 22 3 D 6已知A, B 是圆O : x2y 216的两个动点，AB4, OC5 OA2 OB ，若 M 分别是线段 AB 的中点，则33OCOM（）A 843

25、 B 84 3C 12D 4已 知 a4 ， e为单位向量，当 a ， e的夹角为 120 时， ae在 ae上的投影为（）A 5B154C151313D5217二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。如果P1 ， P2 ，P10 是抛物线 C ：2y4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2 ， x10 ，是抛物线C 的焦点，若 x1x2x1010 ，则P1FP2FP10 F已知f ( x)是定义在区间 1,1 上的奇函数，当 x0 时，f (x)x( x1) 则关于 m 的不等式f (1m)f (12m )0的解集为在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a

26、，b ，c .若c2b ，cosBcosC ，a，则 S ABC.a设向量1,3 , bm,3，且 a,b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（ 12 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数） .以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；若射线与曲线 有两个不同的交点， ，求的取值范围.a3 , 2 Sn1 a1 n218（ 12 分）已知数列an的前 n 项和为Sn ， 12nn 求 an的通项公式；设b1n2an1nN*，数列 bnTn的前 n 项和为 Tn ，证明：7nN *1

27、0an119（ 12 分）在数列an中， a14 ，nan 1(n1)an2n22n 求证：数列n是等差数列；求数列an的前 n项和Sn C4cos6sin12x220（ 12 分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为x21 t2y13 t2( t 为参数） .写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；将曲线C 向左平移 2 个单位长度，向上平移3 个单位长度，得到曲线D ，设曲线 D 经过伸缩变换xx,1y2 y,得到曲线E ，设曲线E 上任一点为Mx, y ，求3xy2的取值范围 .21（ 12 分）

28、在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为4t cos3tsin（ t 为参数， 0），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C的极坐标方程为：cos2cos24cos0 .求曲线 C 的直角坐标方程；设直线 l 与曲线 C相交于 A ， B 两点，当M (1,0) 到直线 l 的距离最大时，求AB .xy22（ 10 分）已知直线 l 的参数方程为13 t231 t2（ t 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为4sin6求圆 C 的直角坐标方程；若P x, y 是直线 l 与圆面4sin6的公共点，求 u3xy 的取值

29、范围参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B2、B3、C4、A5、B6、C7、A8、D9、D10、C11、C12、D二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、2014、 0,1)15、2216、 m3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）（）【解析】( )将所给的参数方程消去参数即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；( )联立 ( )中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确定的取【详解】（）曲

30、线的直角坐标方程为，即，又，.曲线 的极坐标方程为.（）把代入得.值范围 .设所 以 又射线，与曲线，则有两个不同的交点， ，.，的取值范围为.【点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.318、（ 1） an, n12；（ 2）见解析n, n2【解析】（ 1）利用项和公式和累加法求1an的通项公式 .(2) 先求出 bn24 , n1251，再利用放缩法得当n2n2时， b1111an172 , n2n1n1n n1nn1 ，再证明 Tn10 .【详解】（ 1）当 n2 时，2S23a21 ，解

31、得a22 ；当 n3 时，2S34a3，解得a33 当 n3 时， 2Snn1 an1 ， 2Sn 1nan 11，以上两式相减，得2ann1 annan 1 ，anan 1，nn1anan 1an1 ，nn12 an3 , n12n,n21（ 2） bn2a14 ,n1251n2 , n2n1b1111当 n2 时，nn1 2n n1nn1 ， Tn41111113317252334nn150n110【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌b1111握水平和分析推理能力.(2) 解答本题的关键是放缩当19、 (1) 证明见解

32、析 .nn2 时，n1 2n n1nn1.Snn.2(n1)【解析】（ 1）根据数列an通项公式的特征，我们对nnan 1(n1)an2n 22n ，两边同时除以n( n1) ，得到an 1ann1n，利用等差数列的定义，就可以证明出数列an是等差数列；n（ 2）求出数列1的通项公式，利用裂项相消法，求出数列an1的前 n 项和anSn 【详解】（ 1） nan 1(n1)an2n 22n 的两边同除以n(n1) ，得an 1ann1n2 ，又 a14 ，1所以数列an是首项为 4，公差为 2 的等差数列nan由（ 1）得 na12(nan1) ，即n2 n2,an2n 22n ,11111n

33、故 a2n22n2nn1 ，所以 sn11111111 11n2223nn12n12(n1)【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n 和a1nbcb , ca已知nn ，nn 都是等差数列，那么数列n的前 n和就可以用裂项相消法来求解20、 (1)3xy2310 ； (x2)2( y3)21 ；直线 l 和曲线 C 相切.(2)2,2 .【解析】试题分析：（ I）极坐标方程两边乘以，利用 2x2y2,cosx,siny 转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t2 x1代入下式消去参数 t即可，最后利用圆心到直线的距离与半径比较即可判定位置关系； (II) 根

34、据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入3 x12y，根据三角函数的辅助角公式，求出其范围即可.试题解析：（ I）直线 l 的一般方程为3xy2 310 ，2曲线 C 的直角坐标方程为x22y31 .233231因为21 ，31所以直线 l 和曲线 C 相切 .（ II ）曲线 D 为 x2y21.x x,曲线 D 经过伸缩变换 y 2 y,得到曲线 E 的方程为y 22x1 ，4则点 M 的参数方程为xcos,（为参数），y2 sin所以3 x1 y3cossin2sin，23y3 x1所以2的取值范围为2,2 .221、（ 1）y4x ；（ 2） 16

35、.【解析】（ 1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C 的直角坐标方程； （ 2）设 P34,3，当 M1,0到直线 l 的距离最大时，得到 lMP ，故【详解】.再利用直线的参数方程的弦长公式求AB .42解：（ 1）曲线 C ：cos2cos24cos，22即：sin4 cos.曲线 C的标准方程为：y24x .3（ 2）设 P4,3，当 Mx41,0到直线 l 的距离最大时，lMP ，故.42 t l 的参数方程为2y32 t22（ t 为参数），将直线 l 的参数方程代入y4x 得：t2102t140 .t1t 2t1t2102，14 ABt1t22t1t24t1t216 .【点

36、睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.22 、 （） x2y 22 x23 y0 （）2,2【解析】【试题分析】（ 1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程 .（ 2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得3 xy 的取值范围 .【试题解析】解：（ 1）圆 C 的极坐标方程为4cos2，3 24cos243 sin1 cos，322又2x2y2 ， xcos , ysin， x2y22 3 y2 x ，圆 C的普通方程为 x2y22 x2 3 y0（ 2）设

37、 z3xy ，故圆 C的方程 x2y 22x23 y02x1y234 ，圆 C的圆心是1,3 ，半径是 2，x13 t将2代入 z y31 t23xy得 zt ，又直线 l 过 C1,3，圆 C 的半径是 2， 2t2 ， 2t2 ，即3xy 的取值范围是2,2 .考生须知：2020-2021高考数学模拟试卷1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选

38、择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x2y2x2y2已知椭圆a 2b21 左右焦点分别为 F1, F2 ，双曲线 m2n21 的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足PF1PF2 ，已知椭圆的离心率为e134 ，则双曲线的离心率e2（）A2 B928C92324D 2已知，则的值为（）ABCD已知 a1 ，过P(a,0) 作O : x2y 21的两条切线PA, PB ，其中A, B 为切点，则经过P, A, B 三点的圆的半径为2aA21a1B 2aC aD 2在公比为整数的等比数列an中，a2a32 ， a1a310，则an的前

39、 4 项和为（）340A 3B44C23252D 2执行如图的程序框图，则输出的S 的值是 ()A 126B 126C 30D 62设 是一个正整数，在的展开式中，第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分面积为 ， 任取，则点恰好落在阴影区域内的概率是（）ABCD若复数 z 满足 (i1)z2i （ i 为虚数单位） ，则 zA 3iB 3i C3iD 3ix2y2已知双曲线C : a 2b21 a0, b0 的右焦点为 F，P 为双曲线 C 右支上一点，若三角形PFO 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为A31B132C 5D 2将函数 fxsin 2 x 的图象向左平移0个单位长度

40、，得到的函数为偶函数，则的值为（）2A 12B 6C 3D 4将 5 名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）A 60B 80C 150D 360我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同， 则积不容异 ”(幂“”是截面积， “势”是几何体的高 )，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等 .已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同 ”，则该不规则几何体的体积为()12A 12B 8C2D 122从 位女生， 位男生中选 人参加科技

41、比赛，则至多有位女生入选的方法种数为（）ABCD二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。已知关于 x 的不等式ax 2bxc0 ( a， b， cR ) 的解集为 x | 3 x 4 ，则c25ab 的最小值为 已知递减等差数列(an )中，a31,a4 为 a1,a6 等比中项， 若 Sn 为数列 ( an )的前 n 项和，则 S7 的值为如图， D 为 ABC 内一点，ACB900，BAC =30 0，BDC =900，ADC =1200 ，则tanACD观察下列等式 :照此规律 , 第 n 个等式可为.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

42、17（ 12 分）如图 ,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1 中,ACBC.AC1.BC2, AA14,M 为侧面AA1CC1 的对角线的交点 ,D、E分别为棱AB, BC 的中点 .求证 : 平面 MDE / 平面A1BC1 ；求二面角 CMED 的余弦值 .18（ 12 分）已知椭圆的右顶点为，左焦点为，离心率，过点 的直线与椭圆交于另一个点 ，且点 在 轴上的射影恰好为点，若求椭圆 的标准方程；过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于，两点，以为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由19（ 12 分）在ABC 中，已知内角 A， B ， C 所对的边分别为 a

43、 ， b ， c ，向量 m(3,2sin B) ，2n(2cosB21,cos 2B)，且m / / n ， B 为锐角 .求角 B 的大小；若 b22 ，求 ABC 的面积的最大值 .20（ 12 分）设函数 fx取值范围2x1x2 解不等式 fx0 ； 若 x0R ，使得fx02m4m，求实数 m 的21（ 12 分）已知抛物线 L ：y22 px( p0) 的焦点为 F ，过点M (5,0)的动直线 l 与抛物线 L 交于 A ， B 两点，直线 AF 交抛物线 L 于另一点 C ， AC 的最小值为 4.求抛物线 L 的方程；记ABC 、 AFM的面积分别为x2y 2S1 ， S2

44、，求 S1S2 的最小值 .22（ 10 分）椭圆C : a 2b 21 ab0F的两个焦点1c，0， F2c，0，设 P， Q 分别是椭圆C 的上、下顶点，且四边形PF1QF 2 的面积为 23 ，其内切圆周长为3.求椭圆 C 的方程；当 bc 时， A ， B 为椭圆 C上的动点，且 PAPB ，试问：直线 AB 是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B2、A3、D4、A5、D6、D7、A8、A9、D10、B11、A12、B二、填空题：本题共4 小

45、题，每小题 5 分，共 20 分。13、 4514、14315 、 216、，三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) 证明见解析； (2)85 .85【解析】（ 1）利用线线平行证明平面MDE / 平面A1BC ，（ 2）以 C 为坐标原点建系求解即可【详解】（ 1）证明 D、E分别为边AB, BC 的中点，可得 DE/ / AC,又由直三棱柱可知侧面A A 1 C1C 为矩形，可得A1C1/?/?A?C 故有A1C1/?/DE ，由直三棱柱可知侧面A A 1C1C 为矩形，可得 M 为 A1C 的中点，又由E 为 BC 的中点，可得A1B / /ME

46、 .由 DE ，ME平 面 MDE ，A1C1 ，A1B平面 MDE ，得A1C1/ / 平面 MDE ，A1B/ / 平面 MDE ，A1C1A1B=A1 ，可得平面 MDE/ / 平面A1BC1 .（ 2） CA、CB,?CC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 C 0,0,0， A 1,0,0, B0,2,0, C10,0,4, M1 ,0,2, D1 ,1,0，（E0,1,0），22111ME,1, 2 , CM,0,2, ED,0,0，22211设平面 CME 的一个法向量为 mx, y, z ,则xy2 zx2 z0 ，取z=-1 ，有 x4, y0, m(4,0

47、,1)22同样可求出平面 DME 的一个法向量 m(0,2,1) ，cos m, nmn185，m n17585结合图形二面角 CMED 的余弦值为85 .85【点睛】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式cosm, nmnm n 求解二面角18、 (1)；（ 2）以为直径的圆恒过坐标原点.【解析】（ 1）先根据离心率得，再根据点 B 在椭圆上得 B 点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得，即得，（ 2）先考虑直线 的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.【详解】设，代人椭圆方程得：，（ 1），椭圆 的标准方程为

48、.（ 2）当直线 的斜率不存在时，以为直径的圆的圆心为或以为直径的圆的标准方程为：或，因为两圆都过坐标原点，以为直径的圆过坐标原点，当直线 的斜率存在时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，由，半径为 2，化简得：，以为直径的圆过坐标原点，综上，以为直径的圆恒过坐标原点.【点睛】本题考查椭圆方程以及圆过定点，考查综合分析论证求解能力，属中档题.19、（ 1） 3 ；（ 2） 3 .【解析】2 B4（ 1）由 m / n 得3cos2B2sinB2cos10 ，再化简得到角 B 的大小；（ 2）先利用正弦定理得 a2sinA ，34csinC 且 AC 323 .再利用三角

49、函数的图像和性质求ABC 的面积的最大值 .【详解】2 B（ 1） m3,2sinB ， n2cos1,cos2 B，且2m / n .2 B 3cos2B2sinB2cos10 ，23cos2Bsin2 B0 . 2sin2 B0 . 因为 B 为锐角，所以2 B4,3所以 2 B,3333所以 B.3acb4（ 2）由（ 1）知B，在 ABC 中，由正弦定理得3sinAsinC.sinB3所以 a4 sinA ， c 34 sinC 且3AC2.3所以 S1 acsinB14sinA4 sin2A32 sin2 A1 .ABC223332363当且仅当 2 A62 即 A3 时面积有最大值

50、3 .【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 .20、（ 1）x | x1 或x153 ；（ 2）m322【解析】( 1 ) 把 fx 用分段函数来表示，令fx0 ，求得 x 的值，可得不等式fx0 的解集 ;( 2 ) 由 ( 1 ) 可得 fx 的最小值为 f1，再根据f214m2 m22，求得 m 的范围【详解】( 1 ) 函数 fx2x1x2x3, x3x1, 22x1 ，2x3, x12令 fx0 ，求得x1 ，或 x3 ， 3故不等式 fx0 的解集为 x | x13 ，或 x3 ；( 2 )

51、 若存在x0R ，使得fx02m24m ，即fx04m2m2有解，由(1)可得 fx 的最小值为 f13115 ，222故54m22m2 ，解得1m5 22【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用 “零点分段法 ”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想21、（）y24x （） 9632 5 .【解析】（）根据抛物线性质可得AC min2 p ，即得结果，（）设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求 S1S2 ，再利用基本不等式求最值.【详解】（）由已知及抛物线的几何性质

52、可得AC min2 p4 ， p2 ，抛物线 L 的方程为y24x.（）设直线 AB ：xty5 ， AC ：xmy1 ，A x1, y1， B x2 , y2， C x3, y3 ，xty5由y24xy24ty200y1y24t ，y1 y220，44同理可得y1y34 ，从而 C2 ,，yy1144t5点 C 到 AB 的距离y2y116，d11422y21t1t1AB1t 2 yy1t2 y20 ，y1211420242 S12 y21y1yyy21y120 .1111又 S14y2 y，221142280 S1 S24y21y1204y1224y4 852496325 .112当且仅当

53、y4 5 ， 即 A5,2 4 5时 S1S2 有最小值 9632 5 .【点睛】本题考查抛物线定义与性质以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.222、（ 1） xy1 或x22y1 ；（ 2）恒过定点0， 3.24347【解析】（ 1）根据条件，求出b， c 的值，从而求出椭圆的方程；（ 2）设直线 AB 方程为 ykxm ，联立直线和椭圆的方程， 利用韦达定理及AP PB0 ，求出 m，可得直线 AB 恒过定点【详解】（ 1）依题意，四边形1PF1QF 2 的面积为 2 3 ，则 4bc 23 ，即 bc3又四边形PF1QF 2 的内切圆周长为3，记内切圆半径为r ，由

54、2 r3，得 r3 ，2由 bcar得 a2 ，又 a 2b2c24 ，且 bc3 ，b3b1故或c1c322所以椭圆 C 的方程为 xy4321 或 xy21 .42（ 2）因为 bc ，所以椭圆 C 的方程为 xy21 ，则 P0， 343设 A x1， y1， B x2， y2，由题意知直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为 ykxm，22xy1222则由43得 4kykxm3 x8kmx4m120 ，则 xx8km。 x x24 m12124k 231 24 m2322 64 k m22k34m120 * ，由 PAPB ，可得AP PB0 ，即x10 x20y13y230即 x1x2

55、y1y23y1y230 ，又 y1kx1m， y2kx2m4m2所以124k2 m212k28k 2m28 3k 2mm223m304k 234k 234k 234 k 23整理得7m263m3024k3解得 m3 （舍去）或 m37又 m37满足 *式故直线 AB 方程为3ykx7所以直线 AB 恒过定点0， 3.7【点睛】本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，考查了向量坐标表示垂直，是一道中档题注意事项：2020-2021高考数学模拟试卷答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、 考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型 （B） 填涂在答题卡相应

56、位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 。作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。“x0 ， y0yx 2”是“”的（

57、）xyA充分而不必要条件B必要而不充分条件C 充分必要条件 D即不充分也不必要条件【答案】 A已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为2r ，宽为 r ，圆半径为 r ，则该几何体的体积和表面积分别为（）， (32)r， (42)rA 4r 334r 3222r 3B 2r 3 ， (32)r 232C 3D 3， (42)r【答案】 B复平面内表示复数z=i( 2+i) 的点位于A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】 C已知函数f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间(,0 上单调递减，f (1)1 .设g( x)log 2( x3) ，则满足f ( x)g

58、( x) 的 x的取值范围是A (,1 B 1,) C (3,1 D (3,1【答案】 C若两个正实数x, y 满足 141 ，且不等式 xy xy4m23m 有解，则实数m 的取值范围 ()A1,4B ,14,C4,1D,03,【答案】 B“勾股定理 ”在西方被称为 “毕达哥拉斯定理 ”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图 ”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的 “勾股圆方图 ”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 . 若直角三角形中较小的锐角，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概12率是 ()5A 8B1C374D

59、 8【答案】 A设集合 U xN | 08 ， S1,2,3,4,5， T3,5,7，则 S(CU T)()A 1,2, 4B 1,2,3,4,5,7C 1,2D 1,2,4,5,6,8【答案】 A若函数 fxlog 13ax22x8的值域为2,，则 fx 的单调递增区间为（）,22,11,44,ABCD【答案】 C已知圆 C ： x2y24x0，则圆 C 关于直线 yx4 的对称圆的方程是（）A (xC (x4)25)2( y6)2( y7)211 D (x7)2B ( x( y5)26)21( y4)21【 答 案 】 A 10将函数 fxsin 2x 的图象向左平移0个单位长度，得到的函

60、数为偶函数，则的值为（）2A 12B 6C 3D 4【答案】 D函 数 ysin( x)26的图像可以由函数cos x 的图像经过2A向右平移个单位长度得到B 向右平移 2332个单位长度得到C向左平移 3 个单位长度得到 D向左平移【答案】 B3 个单位长度得到中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344 年商鞅督造的一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若 取 3 ， 27 立方寸 =1升，则商鞅铜方升的容积约为A 0.456 升B 0.467 升C 0.486 升 D 0.487 升【答案】 B二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。a xe3 ,