2023届新教材新高考一轮复习北师大版 6.2 等差数列 学案

1、第二节等差数列课程标准考情分析 核心素养 1.能够利用公式求等差数列指定项、前n项和2会利用等差数列定义、等差中项证明数列是等差数列3熟练掌握利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值2020()第14题考查了等差数列及其前n项和；2021()第17题考查了等差数列的通项公式及数列求和；2021()第17题考查了等差数列的通项公式及等差数列前n项和公式逻辑推理数学运算教材回扣夯实“四基”基础知识1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_，那么这个数列就叫做等差数列2等差数列中的有关公式已知等差数列an的首项为a

2、1，公差是d，前n项和为Sn，则等差数列定义式_(n2，d为常数)等差中项A_(A是a与b的等差中项)通项公式_或_前n项和公式Sn_【微点拨】(1)通项公式的推广公式：anam(nm)d(n，mN*)dan-amn-m(nm)(2)推导等差数列前n项和的方法为倒序相加法 3.等差数列的性质(1)若an为等差数列，且mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，wN*)(2)等差数列an的前n项和为Sn，数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为m2d.4等差数列与函数的关系(1)等差数列an的通项公式可写成an_，当d0时，它是关于n的_，它的图象是直线yd

3、x(a1d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点【微点拨】当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列 (2)前n项和公式可变形为Sn_，当d0时，它是关于n的常数项为0的_，它的图象是抛物线yd2x2a1-d2x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点【微点拨】若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值 常用结论等差数列的性质1已知an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，Sn是an的前n项和，则有以下结论：(1)a2n是等差数列，公差为2d1.(2)panqbn(p，q都是常数)是等差数列，且公差为pd1qd2.(3)ak，a

4、km，ak2m，(k，mN*)是公差为md1的等差数列(4)Snn是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是12d1.(5)数列pan，anq(p，q都是常数)都是等差数列，且公差分别为pd1，d1.2关于等差数列奇数项与偶数项的性质：(1)若项数为2n，则S偶S奇nd，S奇S偶anan+1.(2)若项数为2n1(n2)，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，S奇S偶nn-1.3两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则它们之间的关系为anbnS2n-1T2n-1.基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的

5、差都是常数，则这个数列是等差数列()2等差数列an的单调性是由公差d决定的()3数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()4等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数()题组二教材改编5在等差数列an中，若a3a710，a67，则公差d()A1 B2C3 D46莱因德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为()A53 B103C56 D116题组三易错自纠7一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差

6、数列的公差d的取值范围是()Ad875 Bd325C875d325 D875d3258(多选)设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值题型突破提高“四能”题型一等差数列基本量的运算例1(1)2021北京卷中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1288，a596，b1192，则b3()A64 B96C128 D16

7、0(2)2020新高考卷将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_听课记录类题通法等差数列基本运算的求解策略巩固训练1(1)2022重庆模拟已知公差不为0的等差数列an中，a2a4a6，a9a62，则a10()A52B5 C10D40(2)2022河北沧州模拟设Sn是等差数列an的前n项和，若S42S32，2a5a67，则S8_题型二等差数列的判定与证明例22022广东实验中学月考记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2Sn+1bn2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式听课记录类题通法等差数列的四个判定方法巩固训练2已知数

8、列an满足a123，an1-2an-33an+4(nN*)(1)证明：数列1an+1是等差数列；(2)求an的通项公式题型三等差数列性质的应用例3(1)2022湖南怀化模拟等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a6a844，则S9()A66 B99C110 D198(2)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35 B42C49 D63(3)2022山东实验中学模拟已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A28 B29C30 D31听课记录类题通法应用等差数列的性质的解题策略巩固训练3(1)20

9、22福建莆田模拟已知等差数列an满足a3a6a8a1112，则a43a6的值为()A6 B6C12 D12(2)2022山东临沂一中月考已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，且a4b613，则S7T11()A733 B13C1433 D711(3)已知Sn是等差数列an的前n项和若a12 020，S2 0212 021-S2 0152 0156，则S2 022_题型四等差数列前n项和的最值问题 例42022湖南湘潭模拟已知Sn为数列an的前n项和，且an1and，(nN*，d为常数)，若S312，a3a52a35a5100.求：(1)数列an的通项公式；(2)Sn的最值听课记录类题

10、通法求等差数列前n项和Sn的最值的两种常用方法巩固训练4(多选)2022福建泉州模拟记等差数列an的前n项和为Sn.若a210，S5S2，则()AS3S4 Ba610CSn的最大值为30 Dan的最大值为15第二节等差数列教材回扣夯实“四基”基础知识1同一个常数2anan1da+b2ana1(n1)danam(nm)d(n，mN*)na1+an2na1nn-12d4(1)dn(a1d)一次函数(2)d2n2a1-d2n二次函数基本技能、思想、活动经验12.3.4.5解析：在等差数列an中，因为a3a710，a67，所以a1+2d+a1+6d=10，a1+5d=7，解得a1=-3，d=2.故选B

11、.答案：B6解析：设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，ad，a2d(d0)，则(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5a100，a20.又由题意知17(aada2d)a2dad，即24d11a，d112420556.最小的一份为a2d20556253.故选A.答案：A7解析：由题意可得a101，a91，即125+9d1，125+8d1，所以875d325.故选D.答案：D8解析：S50.S6S7S8，a7S7S60，a8S8S70，da8a70，a7a52da34d0，a52d，a34d.S99a1+a929a518d，S55a1+a525a320d.S9S8，S5S6，S6与S7均为Sn

12、的最大值故选ABD.答案：ABD题型突破提高“四能”例1解析：(1)由题意，五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，设公差为d，因为a1288，a596，可得da5-a15-196-288448，可得a3288(31)(48)192，又由长与宽之比都相等，且b1192，可得a1b1a3b3，所以b3a3b1a1192192288128.故选C.解析：(2)设bn2n1，cn3n2，bncm，则2n13m2，得n3m-123m-3+223m-121，于是m12k，kN，所以m2k1，kN，则ak3(2k1)26k1，kN，得an6n5，nN*.故Sn1+6n-52n

13、3n22n.答案：(1)C(2)3n22n巩固训练1解析：(1)设数列公差为d，则由已知得a1+d+a1+3d=a1+5da1+8d=a1+5d2，由于d0，故解得a1d14，所以a1014+14952.故选A.解析：(2)设an的公差为d.因为S4=2S3-2，2a5-a6=7，所以4a1+6d=23a1+3d-22a1+4d-a1+5d=7，解得a1=1，d=2，所以S88a1872d81872264.答案：(1)A(2)64例2解析：(1)证明：由已知2Sn+1bn2得Sn2bn2bn-1，且bn0，bn12，取n1，由S1b1得b132，由于bn为数列Sn的前n项积，所以2b12b1-

14、12b22b2-12bn2bn-1bn，所以2b12b1-12b22b2-12bn+12bn+1-1bn1，所以2bn+12bn+1-1bn+1bn，由于bn10，所以22bn+1-11bn，即bn1bn12，其中nN*，所以数列bn是以b132为首项，以d12为公差的等差数列；解析：(2)由(1)可得，数列bn是以b132为首项，以d12为公差的等差数列，bn32(n1)121n2，Sn2bn2bn-12+n1+n，当n1时，a1S132，当n2时，anSnSn12+n1+n-1+nn1nn+1，显然对于n1不成立，an32，n=1-1nn+1，n2.巩固训练2解析：(1)因为an11-2a

15、n-33an+41an+13an+4，所以1an+1+13an+4an+131an+1，所以1an+1+1-1an+13，所以1an+1是首项为1a1+13，公差为3的等差数列(2)由得1an+13n，所以an13n1.例3解析：(1)a2a4a6a844，得4a544，解得a511，则S99a1+a929a591199，故选B.(2)在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7，14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.故选B.(1)B (3)设等差数列an共有2n1项，则S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，中间项为an1，故S

16、奇S偶a1(a3a2)(a5a4)(a2n1a2n)a1ddda1ndan1，an1S奇S偶31929029，故选B.答案：(1)B(2)B(3)B巩固训练3解析：(1)由等差中项的性质可得a3a6a8a114a712，解得a73，设等差数列an的公差为d，则a43a6a4a62a62d2a62(a6d)2a76.故选A. (2)因为S77a1+a7272a427a4，T1111b1+b112112b6211b6，所以S7T117a411b671113733，故选A.解析：(3)由等差数列的性质可得数列Snn也为等差数列设其公差为d，则S2 0212 021-S2 0152 0156d6，所以

17、d1.故S2 0222 022S112 021d2 0202 0211，所以S2 02212 0222 022.答案：(1)A(2)A(3)2 022例4解析：(1)在数列an中，an1and，(nN*，d为常数)，则数列an是等差数列，公差为d，由S3a1a2a33a212得：a24，又a3a52a35a5100，即(a35)(a52)0，于是有a35，或a52，由a2=4a3=5得：da3a21，a13，此时，ann2，由a2=4a5=-2得：da5-a25-22，a16，此时，an2n8，所以数列an的通项公式是ann2或an2n8；解析：(2)当ann2时，Snn2+5n2，显然Snn2+5n2是关于正整数n的增函数，所以S13为