2023届新教材新高考一轮复习北师大版 4.3 导数与函数的极值、最值 学案

1、第三节导数与函数的极值、最值课程标准考情分析 核心素养 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)3会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2021()中的第15题考查了利用导数求函数的最值直观想象逻辑推理数学运算教材回扣夯实“四基”基础知识1.函数的极值与导数条件f(x0)0 x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0 x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极_值f(x0)为极_值极值点x0为极_值点x0为极_值点【微点拨】(1)f(x0)0与x0是f(x)

2、极值点的关系函数f(x)可导，则f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值(3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点2函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在区间(a，b)上的_；将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【微点拨】(1)求

3、函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(2)若函数f(x)在区间a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值；若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值的关系如下：不等式类型与最值的关系xD，f(x)MxD，f(x)minMxD，f(x)MxD，f(x)maxMxD，f(x)maxMx0D，f(x0)MxD，f(x)ming(

4、x)xD，f(x)g(x)min0 xD，f(x)g(x)xD，f(x)g(x)maxg(x2)x1D1，x2D2，f(x1)ming(x2)maxx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)x1D1，x2D2，f(x1)ming(x2)minx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)x1D1，x2D2，f(x1)maxg(x2)maxx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)x1D1，x2D2，f(x1)maxg(x2)min(注：上述的大于、小于分别改为不小于、不大于，相应的与最值关系对应的不等号也改变)基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.函数的极大值不一定比极

5、小值大()2对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()3函数的极大值一定是函数的最大值()4开区间上的单调连续函数无最值()题组二教材改编5函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点6函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1Ce D0题组三易错自纠7函数f(x)m2x32mx2x在x13处取得极大值，则实数m的值为()A1或3 B3C1 D08若函数f(x)13x34xm在0，3上的最大值为4，则m_题型

6、突破提高“四能”题型一用导数解决函数的极值问题角度1 由图象判断函数的极值 例1(多选)2022湖北孝感模拟已知函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()Af(x)在x4时取极小值Bf(x)在x2时取极大值Cx1.5是f(x)极小值点Dx3是f(x)极小值点听课记录类题通法根据函数的图象判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型巩固训练12022浙江台州月考已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图，则()A函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点B函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点C函数f(x)有

7、3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点角度2 已知函数解析式求极值例2已知函数f(x)ln xax(aR)(1)当a12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数听课记录类题通法求函数极值的一般步骤巩固训练2已知函数f(x)a ln xbx2x在x1处的切线方程6xy20.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的极小值角度3 已知函数的极值求参数例32022广东实验中学月考函数f(x)13x3ax22x1在x(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是_听课记录类题通法已知函数极值点或极值求参数的方法根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值

8、即极值列出关于参数的方程组(或不等式组)，通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围)巩固训练32022福建宁德模拟设f(x)(x1a)ex12x2ax，若f(x)在x0处取得极小值，则实数a的取值范围是()A(，0 B(0，)C(，0) D0，)题型二用导数解决函数的最值问题 例42021北京卷已知函数f(x)3-2xx2+a.(1)若a0，求yf(x)在(1，f(1)处切线方程；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值听课记录类题通法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤巩固训练4已知函数f(x)13x312x22ax1，且x1是函数f

9、(x)的一个极大值点(1)求实数a的值；(2)求f(x)在1，3上的最大值和最小值题型三用导数解决生活中的优化问题 例52022河北石家庄一中月考某工厂某种产品的年产量为1 000 x吨，其中x20，100，需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x20，80时，C(x)12x230 x500；当x(80，100时，C(x)20 000 x.若每吨商品售价为lnxx万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？听课记录类题通法用导数解决生活中的优化问题的两点提醒(1)理清数量关系，选取合适的自变

10、量建立函数模型(2)最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案巩固训练5某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)求r和h为何值时该蓄水池的体积最大第三节导数与函数的极值、最值教材回扣夯实“四基”基础知识1大小大小2(1)连续不断(2)极值端点处的函数值f(a)，f(b)基本技能、思想、活动经验12.3.4.5解析：由题图可知极大值点

11、有两个，极小值点有两个，故选C.答案：C6解析：因为f(x)1x11-xx，当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，解得：x1或x13；令f(x)0，解得：13x0，解得：x13或x19，令f(x)0，解得：19x13，故f(x)在-，19上递增，在19，13上递减，在13，+上递增，故x13是极小值点，不符合题意综上所述：m1.故选C.答案：C8解析：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0得x2或x2.0 x3，x2，当0 x2时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，2)上单调递减；当2x0，函数f(x)在区间(2，3)上单调递增又f(0)m，f(3)m3，mm3，x

12、0时，f(x)在0，3上取得最大值f(0)m.m4.答案：4题型突破提高“四能”例1解析：由导函数f(x)的图象可得，当x4时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以f(x)在x4时取极小值，所以A正确，当x1.5时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x1.5是f(x)极小值点，所以C正确，而x2和x3，左右两边的导数值同号，所以x2和x3不是函数的极值点，所以BD错误，故选AC.答案：AC巩固训练1解析：由yf(x)的图象可知，当x0，所以yf(x)单调递增，当x2xx3时，yf(x)0，所以yf(x)单调递增，所以yf(x)在xx2时为极大值，在xx3时为极小值故选B.答案：B

13、例2解析：(1)当a12时，f (x)ln x12x，定义域为(0，)，且f (x)1x-122-x2x.令f (x)0，解得x2.于是当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f (x)在定义域上的极大值为f (2)ln 21，无极小值 (2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f (x)1xa1-axx.当a0时，f (x)0在(0，)上恒成立，即函数f (x)在(0，)上单调递增，此时函数f (x)在定义域上无极值点；当a0，x0，1a时，f (x)0，x1a，+时，f (x)0时，函数f (x)有一个极大值点，且为x1a.巩固

14、训练2解析：(1)f(x)ax2bx1，由已知可得f1=a+2b+1=6f1=b+1=4，解得a=-1b=3.(2)由(1)可得f(x)ln x3x2x，f(x)1x6x13x-12x+1x(x0)，令f(x)0，解得x13；令f(x)0，解得0 x13，f(x)在0，13单调递减，在13，+单调递增，当x13时，f(x)的极小值为23ln 3.例3解析：若函数f(x)在x(1，2)内存在极值点，则f(x)x22ax2在(1，2)内有变号零点，即2ax2x在(1，2)上有解，设g(x)x2x，x(1，2)，则g(x)12x20，则g(x)在(1，2)上是增函数，g(1)1，g(2)1，g(x)

15、(1，1)，2a(1，1)，a-12，12.答案：-12，12巩固训练3解析：f(x)(x1a)ex12x2ax，f(x)ex(x1a)exxa(ex1)(xa)由f(x)0得，x0或xa，f(x)在x0处取得极小值，由极小值的定义可知a0.故选C.答案：C例4解析：(1)当a0时，f(x)3-2xx2，则f(x)2x-3x3，f(1)1，f(1)4，此时，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y14(x1)，即4xy50. (2)因为f(x)3-2xx2+a，则f(x)-2x2+a-2x3-2xx2+a22x2-3x-ax2+a2，由题意可得f(1)24-aa+120，解得a4，故f

16、(x)3-2xx2+4，f(x)2x+1x-4x2+42，列表如下：所以，函数f(x)的增区间为(，1)，(4，)，单调递减区间为(1，4)当x0；当x32时，f(x)0.所以，f(x)maxf(1)1，f(x)minf(4)14.巩固训练4解析：(1)f(x)x2x2a.x1是函数f(x)的一个极大值点f(1)112a0.得a1，经检验，当a1时，x1是函数f(x)的一个极大值点a1. (2)由(1)知，f(x)13x312x22x1，f(x)x2x20，得x1或x2.则当1x2时，f(x)0，当2x0，所以函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增，当x2时，f(x)取得最小值，f(2)73.又f(1)136，f(3)12，f(x)的最大值为136.f(x)在1，3上的最大值为136，最小值为73.例5解析：(1)由题意，L(x)1 000ln xC(x)1000lnx-12x2-30 x+500，x20，801000lnx-20 000 x，x（80，100(2)当x20，80时，L(x)x-50 x+20 x，由L(x)0，得20 x50；由L(x)0，得50 x1 7501 0000，当x50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50250)万元巩固训练5解析：(1)因为蓄水池侧