九年级(上)数学第三章概率的初步认识：概率讲义(含答案)

1、概率讲义掌握求概率的两种方法列举法和频率估计法；掌握求概率的不同方法的应用 .1随机事件（1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件 和不可能事件都是确定的（2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（ 3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，必然事件发生的概率为 1 ，即 P（必然事件） =1；不可能事件发生的概率为 0 ，即 P（不可能事件） =0；如果 A 为不确定事件（随机事件） ，那么 0P（A） 1可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况

2、： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的 计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配 紫色，对游戏是否公平的计算（2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计 值，即大量实验频率稳定于理论概率第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算如，利用计算器产生随机数来模拟实验概率的意义p就（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 mn 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数叫做事件 A 的概率，记

3、为 P（A） =p（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现（ 3）概率取值范围： （4）必然发生的事件的概率 P（A）=1；不可能发生事件的概率 P（ A）=0（ 4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际 问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题求概率的方法（ 1）用 求概率（ 2）利用 概率游戏公平性 （1）判断游戏公平性需

4、要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平 （ 2）概率 =所求情况数总情况数参考答案：（3）0 p1（1） 列举法 （2） 频率估计事件与概率【例 1】下列事件是必然发生事件的是（）A.打开电视机，正在转播足球比赛 B小麦的亩产量一定为 1000 公斤 C.在只装有 5 个红球的袋中摸出 1 球，是红球D.农历十五的晚上一定能看到圆月 【解析】必然事件的定义是一定会发生的事，可选出答案。 【答案】 C 练习 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）A. 篮球队员投篮一次，未投中；B.种子发芽； C. 抛一枚硬币，正面朝上；D.一口袋中装有 2 个红球和 1 个白

5、球，从中摸出 2 个球，有 1 个是红球 【答案】 D 练习 2. . 下列事件中是必然事件的是（ ）A小菊上学一定乘坐公共汽车B某种彩票中奖率为 1，买 10000 张该种票一定会中奖C一年中，大、小月份数刚好一样多D将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 答案】 D 例 2 】一只小狗在如图 1 的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（4 AB.C.1D.1515图1【解析】阴影部分面积占全部面积的概率即为小狗听阴影部分的概率。【答案】 B练习 3.气象台预报 “本市明天降水概率是 80%”对此信息，下列说法正确的是（）A.本市明天将有 80的地区降水B本市明天将有 80 的时间降水22C

6、.明天肯定下雨D.明天降水的可能性比较大【答案】 D练习 4.小晃用一枚质地均匀的硬币做抛掷试验，前9 次掷的结果都是正面向上，如果下一次掷得的正面向上的概率为 P（A），则（）111A.P（A）1BP（A）2C. P（A）2D. P（A）2【答案】 B利用面积求概率【例 3】如图是一个被等分成 6 个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的 概率是多少？【解析】圆形分成 6 部分，其中 3 部分是红色，就可以求出概率。【答案】解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形 的可能性相等，即有 6 种等可能的结果，在这 6 种

7、等可能结果中，指针指向31 写有红色的扇形有三种可能结果，所以指针指到红色的概率是 ，也就是 。62练习 5. 小明和小亮用如下（图 4）的同一个转盘进行 “配紫色 ”游戏游戏规则如下：连续转 动两次转盘， 如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色 （若其中一次转盘转出蓝色， 另一次转出红色， 则可配成紫色） ，则小明得 1 分，否则小亮得 1 分你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若 不公平，请你修改规则使游戏对双方公平。4【答案】 P（小明获胜）， P（小亮获胜） 4 955小明的得分为 51 5 ，小亮的得分为994 4 5 44 1 4 5 4 ，游戏不公平。9 9 9 9 修改规则不

8、惟一，如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得 4 分，否则小亮得 5 分。 练习 6. 小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜； 若两次数字和为偶数，则小慧胜。这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图加以分析。1答案】 P（小莉获胜 ） 1 ，这个游戏对双方公平。列举法求概率例 4】有两个可以自由转动的均匀转盘A，B ，都被分成了 3 等份，并在每份内均标有数字，如图所示规则如下： 分别转动转盘 A，B ； 两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直 到指针指向某一份为止） 。（1）用列表法（或树状图）

9、分别求出数字之积为3 的倍数和数字之积为 5 的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3 的倍数时，小亮得 2 分；数字之积为 5 的倍数时，小芸得 3 分这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得 分规定，使游戏对双方公平。图2倍数的有三种，其概率为3。92）这个游戏对双方不公平。小亮平均每次得分为2510（分），小芸平均每次得分为3391（分）。9999表格中共有 9 种等可能的结果，则数字之积为 3 的倍数的有五种，其概率为 5 ；数字之积为 5 的 910解析】（ 1）求两个转盘的数字之积的问题，可以把所有情况罗列出来，再找相应的结论所占的

10、概率即可。（2）分别确定每种情况的概率，再确定是否公平。答案】解： （1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：转盘 B 的数字 转盘 A 的数字4561（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）1 ， 游戏对双方不公平。9 修改得分规定为：若数字之积为 3的倍数时，小亮得 3 分；若数字之 积为 5 的倍数时，小芸得 5 分即可。练习 7小颖为九年级 1 班毕业联欢会设计了一个 “配紫色 ”的游戏：如图是两个可以自由转动 的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若 有一个转盘的指针指向蓝色，另一个

11、转盘的指针指向红色，则 “配紫色 ” 成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率。答案】解法 1：用表格说明开始转盘 2转盘 1红色蓝色红1（红 1，红）（红 1，蓝）红2（红 2，红）（红 2，蓝）蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）解法 2：用树状图来说明红（红 1，红）蓝（红 1，蓝）红（红 2，红） 蓝（红 2，蓝） 红（蓝，红） 蓝（蓝，蓝）3 11所以配成紫色得概率为 P（配成紫色 ），所以游戏者获胜得概率为 。6 22练习 8. 如图，甲转盘被分成 3 个面积相等的扇形、乙转盘被分成 2 个面积相等的扇形小夏和小秋利用它们 来做决定获胜与否的游戏规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针

12、指在边界线上 时视为无效，重转） 。（1）小夏说： “如果两个指针所指区域内的数之和为6 或 7，则我获胜；否则你获胜 ”。按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少 ?（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法 （例如：树状图，列表 ）说明其公平性。答案】解： （用列表法来解）1）所有可能结果为：甲112233乙454545和5667784 22 1由表格可知，小夏获胜的可能为： ；小秋获胜的可能性为： 。6 36 3（2）同上表，易知，和的可能性中，有三个奇数、三个偶数；三个质数、三个合数。因此，游戏规则可设计为：如果和为奇数，小夏胜；为偶数，小

13、秋胜。 （答案不唯一）频率法估算概率【例 5】小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6 的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子 20000 次，结果发现两个朝上面的点数和是 7 的次数为 20 次你认为）？并这两枚骰子质量是否都合格 （合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等 说明理由。解析】本题可通过分别计算出现两个朝上面点数和为 7 的概率和实验 20000 次出现两个 朝上面点数和为 7 的频率，然后依据大量重复实验时事件发生频率与事件发生概率的差距将很小， 来确定质量是否都合格。答案】解：两枚骰子质量不都合格同时抛两枚骰子两个朝

14、上面点数和有以下情况：2、3、4、5、 6、7；3、4、5、6、7、8；4、5、6、7、8、9；5、6、7、8、9、 10；6、 7、8、9、10、11；7、8、9、 10、11、12。 抛两枚骰子两个朝上面点数和有 36 种情况，出现两个朝上面点数和为 7 有 6 次情况。 出现两个朝上面点数和为 7 的概率为 6 1 0.167 。36 6而试验 20000 次出现两个朝上面点数和为 7 的频率为 20 0.001 。20000因为多数次试验的频率应接近概率，而0.001 和 0.167 相差很大，所以两枚骰子质量不都合格。练习 9在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共

15、20 只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复 .表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数 n1001502005008001000摸到白球的次数 m5896116295484601摸到白球的频率 m n0.580.640.580.590.6050.601 请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ； 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ； 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只 ? 解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是 :在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来

16、数的情况下 ,如何估计白球的个数 （可以借助其他工具及用品 ）？请你应用统计与概率的思想和方法 解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。解析】（ 1）和（ 2）可用实验获得频率的稳定值去估计概率； （ 3）可用白球（或黑球） 的概率去估计在总体中所占比值； （ 4）是统计思想和概率知识的综合应用。本题考查用实验获得频率 去估计概率方法和用样本估计总体的统计思想。答案】（ 1）观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6；（ 2）摸到白球的概率是 0.6；摸到黑球的概率是 1-0.6=0.4；（3） 20 0.6 12； 20 0.4 8 黑球 8 个，白球 12 个；（4） 先从不透明的

17、口袋里摸出 a 个白球，都涂上颜色（如黑色） ，然后放回口袋里， 搅拌均匀； 将搅匀后的球从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中 ,不断大量重复 n，记录摸出黑球频数为 b ； 根据用频数估计概率的方法可得出白球数为。b 练习 10要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓2 球是黄色的概率是 2，可以怎样放球：（只写一种） 。5 【答案】如在袋中放入 2个黄球， 3 个红球8.连掷两次骰子，它们的点数都是 4 的概率是（）【答案】 D8.连掷两次骰子，它们的点数都是 4 的概率是（）【答案】 D1从 A地到 C地，可供选择的方案是走水路、走陆路

18、、走空中.从A地到 B地有 2条水路、 2.条陆路，从 B地到 C地有 3条陆路可供选择，走空中从 A地不经 B地直接到 C地.则从 A地到 C地可供选择的方案有（）【答案】 DA20 种B.8种C. 5种D.13 种2下列事件发生的概率为 0 的是（ ）【答案】 C A随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上； B今年冬天黑龙江会下雪；C随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；D一个转盘被分成 6 个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。3.某商店举办有奖储蓄活动，购货满100 元者发对奖券一张，在 10000 张奖券中，设特等奖 1 个，一等奖 10个，二

19、等奖 100 个。若某人购物满100 元，那么他中一等奖的概率是111C.D.100004.有 6 张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图（ ）【答案】 B2），从中任意一张是数字 3 的概率是）【答案】 B图211 A. B.6312C.D.235.曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20 个商标牌中，有 5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张 “哭脸 ”，若翻到 “哭脸 ”就不获奖 ,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会， 且翻过的牌不能再翻 有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）【答案】 BA TOC o 1-5

20、 h z 215BCD94186.如图 3,一飞镖游戏板 ,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖 ,击中黑色区域的概率是（） 【答案】B131A. B. C.284如图 4，一小鸟受伤后，落在阴影部分的概率为（1 D.3 ）【答案】 BAC 1D1B图41C.162 个红球和1D.363 个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是,小明未被选中的概率为答案】11.在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是【答案】 0.8812.从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为；抽到黑桃的概率为答案】 , ,13.任意翻一下 2007 年日历，翻出 1 月 6

21、 日的概率为【答案】 ,0；抽到红心 3的概率为;翻出 4 月 31 日的概率为小猫在如图 9 所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在红色方砖上的概率是11 ，你试着把每块砖的颜4色涂上。11A. B.649.在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的【答案】10.小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小明被选中的概率为答案】闯关游戏 ”的奥秘：如图 10 依据闯关游戏规则，请你探究（ 1）用列表的方法表示有可能的闯关情况；（ 2）求出闯关成功的概率 .图 10答案】解：（1）所有可能的闯关情况列表表示如下表：右边按钮左边按钮121（1，1）（1，2）2（2，

22、1）（2，2）12）设两个 1号按钮各控制一个灯泡 P（闯关成功） = 14 。透明的口袋里装有 3个球，这 3 个球分别标有数字 1、2、3，这些球除了数字以外都相同（1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2 的球的概率是多少？（2）小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由 小东随机摸出一个球，记下球的数字谁摸出的球的数字大，谁获胜现请你利用树状图或列表的方法分 析游戏规则对双方是否公平？并说明理由答案】解： （ 1）从 3 个球中随机摸出一个，摸到标有数字是2的球的概率是 1或 P（摸到标有数字是 2 的球）2）游戏规则对双方公平

23、 树状图法：313或列表法：1 (1，1）1 2 (1，2）3 (1，3）1 (2，1）开始2 2（2，2）3 (2，3）1 (3，1）3 2 (3，2）3 (3，3）小小东明1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）1.在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替（ ）【答案】 C A.两张扑克， “黑桃” 代替“正面”，“红桃” 代替“反面”， B两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球，C.扔一枚图钉， D.人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人。2十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30

24、 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（ ）【答案】 A1A.121B135C.121D.123某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为110 号共 10 道综合素质测试题共选手随机抽取作答。在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2 号，7 号题，第 3 位选手抽中 8号题的概率是（ ）【答案】 C1 A. A.101B91C.81D.74某市民政部门： “五一”期间举行 “即开式福利彩票 ”的销售活动，发行彩票 10万张（每张彩票 2元），在这此 彩票中，设置如下奖项：奖金（元）100050010050102数量（个）104015040010001000050

25、 元的概率是（答案】 B如果花 2 元钱购买 1 张彩票，那么所得奖金不少于1A.200B 5001C.5001D. 20005有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12 个月大的婴儿 3 块分别写有 “ 20，”“ 10和”“北京 ”的字块，如果婴儿能够拼排成 “2010北京 ”或者 “北京 2010”，则他们就给婴儿奖励。假设婴儿能将字块横着排列，那么这个婴儿 能得到奖励的概率是（ ）【答案】 C1B41C.36甲、乙、丙三位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物。 事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图1 ），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止 .甲第一个取得

26、礼物，然后，乙、丙依次取得第2 件、第 3 件礼物，事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物 B 最精美，那么取得礼物 B 可能性最大的是（）【答案】A.甲C.丙D.无法确定7一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图 2 所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的 2 倍的概率是 （ ）【答案】 B1 1 1 2A6B 3C2D3864321图2单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不会做的题目时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有 4 个选项），那么你答对的概率为。【答案】某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为圆珠笔、软皮本和水

27、果， 标在一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图5）。转盘可以自由转动。参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得圆珠笔的概率为 。【答案】一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，如图 内一个停车位置正好占一个方格且一个方格除颜色外完全一样，则汽车停在 是 ，停在 B 区蓝色区域的概率是 【答案】6,停车场分 A、B 两区，停车场 A 区蓝色区域的概率A区图 6B区如图 7 表示某班 21位同学衣服上口袋的数目。若任选一位同学， 则其衣服上口袋数目为 5 的概率是案】12.一个小妹妹将图710 盒蔬菜的标签全部撕掉了。在每个盒子看上去都一样 ,但是她知道有三盒玉米、两盒菠菜、四盒豆角、一盒土豆。她随机地拿出一盒并 打开它。则盒子里面是玉米的概率是 ，盒子里面不是菠菜的概率是 。【答案】 13.将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上。01A投掷一枚硬币时，得到一个正面。310B在一小时内，你步行可以走 80