电动力学习题解答

1、 #/10 /10电动力学习题解答若干运算公式的证明V(pv)二v(9屮)+V(pv)V屮+屮Vp=pVv+VVpccccV(pf)=V附)+V-(pf)=(Vp)-f+pV-f=(Vp)-f+pV-fccccVx(pf)二Vx(pf)+Vx(pf)=(Vp)Xf+pVxf=(Vp)Xf+pVxfccccV-(fxg)二V-(fxg)+V-(fxg)=g-(Vxf)-f-(Vxg)cccc-(Vxf)-g-f-(Vxg)Vx(fxg)二Vx(fxg)+Vx(fxg)cc=(g-V)f-(V-f)g+(V-g)f-(f-V)gcccc二(g-V)f-(V-/)g+(V-g)f-(f-V)gV(f

2、-g)=V(f-g)+V(f-g)=V(g-f)+V(f-g)cccc(利用公式a(b-c)二cx(axb)+(c-a)b得)二fx(Vxg)+(f-V)g+gx(Vxf)+(g-V)fcccc二fx(Vxg)+(f-V)g+gx(Vxf)+(g-V)f第一章电磁现象的普遍规律根据算符v的微分性与向量性，推导下列公式：V(A-B)=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)BAx(VxA)=+VA2-(A-V)A2解：(1)V(A-B)=V(A-B)+V(B-A)cc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)Bcccc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)

3、+(A-V)B(2)在(1)中令A=B得：V(A-A)=2Ax(VxA)+2(A-V)A，所以Ax(VxA)=+V(A-A)-(A-V)A2即Ax(VxA)=十VA2-(A-V)A2设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：Vf(u)=dfVu，V-A(u)=Vu-dA，VxA(u)=VuxdAdududu证明：Of(u)Of(u)Of(u)dfdudfdudfQu(1)Vf(u)=e+e+e=e+e+eOxxOyyOzzduOxxduOyyduOzzdfOuOuOudf=(e+e+e)=VuduOxxOyyOzzdu )解： #)解：(2)V-A(u)=dA(u)xdxdA(u)+ydAdudA

4、dudAdux+y+zdudxdudydudzdAdAdAdudu=(xe+ye+ze)-(e+eduxduyduzdxxdyydudA+e)=Vudzzdu3)VuxdA=duexdu/dxdA/dux HYPERLINK l bookmark6 o Current Document eeyzdu/dydu/dzdA/dudA/duyzTOC o 1-5 h zdAdudAdudAdudAdudAdudAdu=(zy)e+(xz)e+(yx)edudydudzxdudzdudxydudxdudyzdA(u)dA(u)dA(u)dA(u)dA(u)dA(u)=-zye+-ze+yxedydzx

5、dzdxydxdyz=VxA(u)3.设r=p(xx)2+(yy)2+(zz)2为源点x到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。(1)证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：Vr=Vr=r/r；V(1/r)二一V(l/r)二一r/r3；Vx(r/r3)二0；V-(r/r3)=V-(r/r3)=0,(r丰0)。(2)求V-r,Vxr,(a-V)r,V(a-r),V-Esin伉-r)及0VxEsin(氐-r),其中a、k及E均为常向量。1)证明：Q1TOC o 1-5 h z00r=.(xx)2+(yy)2+(zz)2Vr=(1/r)(xx)e+(yy)e+(zz)e=r/

6、rxyzVr=(1/r)(xx)e(yy)e(zz)e=r/r1rVr=Vr=r2r31rVr=Vr=r2r3(1/r)f11df11、r丿dr、r丿VVf1df1)可见Vr=Vrxyz=Ir丿drIr丿可见V(1/r)=VArxr=0r4rVx(r/r3)=Vx(1/r3)r=V(1/r3)xr+(1/r3)Vxrdf1)Vrxr+0=drIr3丿V-(r/r3)=V-(1/r3)r二V(1/r3)-r+V-rr3=-r+2=o,r4rr3r4r(r丰0)2/10 /10 /10de+QyyeyQ/Qyy-yQQV-r=(e+QxxezQ/Qzz-zQQ+a)(x-x)e+(y-y)e+(z

7、-z)eQyzQzxyz二aQe)-(x-x)e+(y-y)e+(z-z)e=3Qzzxyzexd/dx(a-V)r=(a+a-xQxyQy二ae+ae+aexxyyzz(a-r)=rx(Vxa)+(r-V)a+ax(Vxr)+(a-V)r因为，a为常向量，所以，Vxa=0,(r-V)a=0,又Vxr=0,/.V(a-r)=(a-V)r=a-Esin(&-r)=(V-E)sin伉-r)+E-Vsin仇-r)000E为常向量，V-E=0，而Vsin(氐-r)=cos(无-r)V(k-r)=cos(k-r)k,00所以V-Esin(k-r)=k-Ecos(k-r)00VxEsin(k-r)=Vsi

8、n(k-r)xE=kxEcos(k-r)0004.应用高斯定理证明JdVVxf=JdSxf，应用斯托克斯(Stokes)定理证明JdSxV=JdlqSL证明：设c为任意非零常矢量，则c-JdVVxf=JdVc-(Vxf)VV根据矢量分析公式V-(AxB)=(VxA)-B-A-(VxB)，令其中A=f，B=c，便得V-(fxc)=(Vxf)-c-f-(Vxc)=(Vxf)-c所以c-JdVVxf=JdVc-(Vxf)=JdVV-(fxc)=J(fxc)-dSVVV=Jc-(dSxf)=c-JdSxf因为c是任意非零常向量，所以JdVVxf=JdSxfV(II)设a为任意非零常向量，令F=pa，代

9、入斯托克斯公式，得1)JvxF-dS=JF-dl(1)式左边为：JVxa)-dS=JVxa+VxadS=JVqxa-dS=-JaxVq-dS=-Ja-VqxdS=Ja-dSxVq=aJdSxVp(1)式右边为：Jpa-dZ=aJpdZ所以aJdSxVp=aJpdZS因为a为任意非零常向量，所以JdSxVp二JpdZS5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为dpV-J+=0证明p的变化率为：dt证明：方法(I)2)3)4)pit)=jP(x,t)xdV，利用电荷守恒定律VdP=jJ(xt)dVdtV=1Jp(xf,t)xfdV=J-p(xf,t)xfdV=Jdp(r)xdV=-J(VJ)xdVdtVV

10、dtVdtV-e=-J(VJ)xedV=-Jx(VJ)dV=J-V-(xJ)+(Vx)-JdV1V11V111=-JxJ-dS+JJdVS1Vx1因为封闭曲面S为电荷系统的边界JxJ-dS=0，dP-e=JS1dt世e=JJdV，dt2Vx2也=JJdVdtVII)中一r2时,(r3-r3)PE=1fr23er34=_兀(r3r3)p321f(r3-r3)PE=丄313r213sr20向量式为(r3-r3)PE=丄1fr33er30r其中v2(1/r)=0,1TOC o 1-5 h z.VxA=(mV)V,r又V申=V(叱)=-Vm(V)r3r1111=-mxVx(V)-(V)x(Vxm)-(

11、mV)(V)-(V)Vmrrrr1=-(mV)(V)r所以，当r丰0时，VxA=-V申7.有一内外半径分别为r和r的空心介质球，介质的电容率为e，使介质球内均匀带静12止自由电荷Pf，求：(1)空间各点的电场；(2)极化体电荷和极化面电荷分布。解：(1)设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。当rr时，D=0,11当rrr时，2)当rrr时，12eP=VP=V(D-eE)=V(D-D)p202ee=-(1-f)VD=-(1-f)pe2ef当r=r时，1ec=-n(P-P)=-n(D-p2当r=r2时，2s2D)=-

12、(l-红)DIe2e2二0r=r12r3-r3=(1-o)pr=r23r2f28.内外半径分别为r和r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流J，导12f体的磁导率为卩，求磁感应强度和磁化电流。解：(1)以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当rr时，由安培环路定理得：H1=0,B=0当r1g二n-P=(1-人)DITOC o 1-5 h zp221111rr时，由环路定理得：2兀rH=J兀(r2-r2)22f1所以J(r2-r2)u(r2-r2)H=丄，B=-iJ2r22rf向量式为u(r2-

13、r2)u(r2-r2)1J匕=Jxr2rf92r2f时，21卩(r2-r2)B=_21J32兀rH=J兀(r2-r2)3f所以H2rf卩(r2-r2)o2iJxr2r2f(r2-r2)B=3(2)当rrr时，12M=(旦-1)H20向量式为卩(r2-r2)八o2iJe=2rf9磁化强度为=(旦-1)=2Jxru2r20卩-1)VxH0=(卩-1)J0所以J=VxM=Vx(卩一1)H=(Mu0在r=r处，磁化面电流密度为1a=丄、M-dl=0M2兀r1在r=r处，磁化面电流密度为(r2-r2)21J2r222TOC o 1-5 h za=0IM-dl=-(上-1)m2兀ru20u(r2-r2)向

14、量式为a=-(D1Mu2r202证明均匀介质内部的体极化电荷密度P总是等于体自由电荷密度P的-(1-/)pf0倍。证明：在均匀介质中P=(/-1)E=(-)E000所以p=-V-P=-(-)V-E=-(-)(1/)V-Dp00()/p=-(1-/)p0f0f证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间1） /10 /10的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）证明:线圈1在线圈2的磁场中受的力:dF=IdlxB12112卩匚Idlxr而B=亠J：_212，24兀r3l212卩Idlx(Idlxr)卩11dlx(dlxr)F=412212=0121212124兀r34

15、兀r32/12、l1l212=012JJdldl- HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 4兀2r312、r121r312r一12(dl-dl)r312l1l21212同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：(dldl-1l2l1F=21、r2r3丿21r-i(dl-dl)r32121(1)(2)(1)式中：dldl-2l1l2r-421r3.12同理（2）式中：F=-F1221=JdlJdl二JdlJdrt=Jdl-(-丄)21r32-l2/12、l2lJJdldl-1llII4兀r121r312、r2r3r21丿JJ2(dl-dl)r312ll1

16、212=0r212l2r12一周今在两板11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l和l,12接上电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；f1f2（2）介质分界面上的自由电荷面密度。（若介质是漏电的，电导率分别为和bf312当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？）电容率为1和S2,解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为E和E，电位移分别设为D和D，其方向均由正极板指向负极板。当1212介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为W=0取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理

17、得：D=w1f1同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：D=-w2f2在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：D=D12ll=3(-1+巧fll233所以有E=1,E=1l21233由于E=iE-dl=f11+f111212所以3=3=E(1+2TOC o 1-5 h zf1f2j当介质漏电时，重复上述步骤，可得：，D=3，f12f2=33f1f2J=GE=GD/=G3/111111f11J=GE=GD/=G(3+3)/222222f1f32=J，2D=313f3介质1中电流密度介质2中电流密度由于电流恒定，J1.G3/=G(3+3)/1f112f1f32GGG/.3=(1)3

18、=(T11)3f3Gf1Gf121221再由E=iE-dl=E1+E1得11223Gf1(1+41)1G212GE=iEG1+G12112G1G1+G12112 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document G3-f11+21fl二1Gl22l3=fll+Gl/Gll223f2二一+3)=f1f3GG=-2EG1+G121123f312.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足tan0tan011其中和分别为两种介质的介电常数，0和0分别为界面两侧电场线与法线1212的夹角。（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线

19、的曲折满足tan0G_C乙乙tan0G11其中G和G分别为两种介质的电导率。12证明：（1）由E的切向分量连续，得Esin0=Esin01122交界面处无自由电荷，所以D的法向分量连续，即Dcos0=Dcos01122sEcos0=sEcos0(2)111222(1)、(2)式相除，得tan0s2=-tan0s11(2)当两种电介质内流有恒定电流时J=GE,J=GE111222由J的法向分量连续，得TOC o 1-5 h zGECOS0=GECOS0(3)111222(1)、(3)式相除，即得tan0Gctan0G1113.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证明：(1)设导体外表面处电场强度为E，其方向与法线之间夹角为0，则其切向分量为Esin0。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E的切向分量连续，所以ESin0=0因此0=0即E只有法向分量，电场线与导体表面垂直。(2)在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为a,则电流密度J=gE与导体表面夹角也是a。导体外的电流密度J=0，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以GES