四年级第讲操作游戏问题单人教师版

1、第 14 讲 操作（）问题单人【例题精选】例题 1、小牛对小猴说：“对一个自然数n 进行系列变换：当n 是奇数时，则加上 2007；当n 是偶数时，则除以 2现在对 2004 连续做这种变换，变换中终于出现了数 2008”小猴说：“你请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？！不可能出现 2008”【】试着按照规则进行变换，得到的结果依次如下： 2004，1002，501，2508，1254，627，2634，1317，3324，1662，831，2838，从中发现不了什么规律，所以应该从另外的角度进行分析观察可知 2004 和 2007 都是 3 的倍数，那么不论变换多少次，得到的数也还是 3 的

2、倍数而 2008 不是 3 的倍数，所以不可能出现 2008例题 2、对于任意一个自然数n ，当n 为奇数时，加上121 ；当n 为偶数时，除以2 ，这算一次操作现在对231 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100 ？为什么？【】碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100 ，但也不能肯定得不到100 当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100 因为这一过程很长，所以这不是好方法可以从另一个方面来考虑，因为231 和121 都是11的倍数，而2 不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当

3、是11的倍数100 不是11的倍数，所以不可能出现例题 3、黑板上写着1998 个自然数1、2 、1998 ，允许擦去黑板上任意两个数，再写上它们的和或者差，试问：在1997 次如此操作后，黑板上能否只留下一个数0 ？例题 4、在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到17 、1967 、1983 ，问原来的三个数能否为： 2 、2 、 2 ； 3 、3 、3 。例题 5、今有10 升果汁一瓶，要用7 升和3 升的两种容器分成5 升一份的两份果汁，怎么分？【】设3 个容器分别为 A （10 升）、 B （ 7 升）、 C （ 3 升）。1 / 6A （10

4、 升的容器）B （ 7 升的容器）C （ 3 升的容器）例题 6、尤拉想出一个数，将它乘以 13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以 7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为 21问：尤拉最初所想的是哪一个数？【】解法一：(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉其值在 210 至 219 之间的是一个三位数，在这些数中，只有两个数是 7 的倍数： 210 730 和217 731这就意味着在乘以 7 之前，尤拉的数是 30 或 31因而在第一次删去末位数之前，尤拉所的数为 300 到 319 之间的一个三位数在这些数中只有一个数是 13 的倍数： 312 2413 ，所以尤拉最初所想出的数

5、是 24解法二：(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”如果开始所想的数是 25，那么运算过程如下：253253222422.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是 24例题 7、对于表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表？为什么？(1)(2)【】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2 倍， 因此总和的奇偶性没有改变原来九个数的总和为1 2 9 45，是奇数，经过若

6、干次变化后，总和仍应是奇数，而表中九个数的总和是4 ，是个偶数奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表例题 8、在图的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1 或减1 ，这算一次操作，经过若干次操作后变为图，问：图中的 A 格中的数字是几？【】将 4 4 的方格进行黑白相间染色，如右图所示2 / 6101000101123456789原来1000A 倒水到 C ，使 C 倒满703C 倒水到 B ，使 C 倒空730A 倒水到 C ，使 C 倒满433C 倒水到 B ，使 C 倒空460A 倒水到 C ，使 C 倒满163C 倒水到 B ，使 B 倒满172B 倒水到 A ，使 B 倒

7、空802C 倒水到 B ，使 C 倒空820A 倒水到 C ，使 C 倒满523C 倒水到 B ，使 C 倒空550每个小格同时加1 或减1 ，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图知这个差是8 ，由图可知：白格数之和 黑格数之和 (A 7) 8 8 ，所以 A 9 例题 9、一个小孩在沙滩上把 16 个贝壳分成 8 个，3 个，5 个共三堆.按照下面的规则进行移动：取其中的任意两堆贝壳.记为 1 号堆和 2 号堆，且 1 号堆的贝壳不少于 2 号堆.然后从 1 号堆拿去与 2 号堆相同数量的贝壳，放入 2 号堆.经若干次这样的移动，使所有的贝壳成为一堆.以下是

8、一种移动方法：（ 8 ，3 ，5 ）（ 8 ， 6 ， 2 ） （ 8 ， 4 ， 4 ） （ 8 ， 8 ， 0 ） （16 ， 0 ， 0 ），共移动了 4 次.现在把 16 个贝壳分成 9个，5 个，2 个共三堆，那么按照上面的规则，最少移动多少次，就能使所有的贝壳成为一堆？请写出移动过程.【】采用倒推法.最后一步是（16 ， 0 ， 0 ）；倒数第二步必定是（ 8 ， 8 ， 0 ）；倒数第三步是（12 ， 4 ， 0 ）或（ 8 ， 4 ， 4 ）；倒数第四步是（14 ， 2 ， 0 ）或（12 ， 2 ， 2 ）或（10 ， 6 ， 0 ）或（ 6 ， 6 ， 4 ）或（10 ，

9、4 ， 2 ）或（ 8 ， 6 ， 2 ）；发现（ 9 ， 5 ， 2 ）可以变成（10 ， 4 ， 2 ）；所以至少要移动4 次，移动方法如下：（ 9 ， 5 ， 2 ） （10 ， 4 ， 2 ） （ 8 ， 4 ， 4 ） （ 8 ， 8 ， 0 ） （16 ， 0 ， 0 ）例题 10、有三堆石子的个数分别为19 、8 、9 ，现进行如下操作：每次从三堆中的任意两堆中分别取出1个石子，然后把这2 个石子都加到另一堆上去。试问：能否经过若干次这样的操作使得：三堆的石子数分别为2 、12 、22 ；三堆的石子数均为12 。如果达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，说明理由。例题

10、11、有 5 个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的 5 个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现 5 个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个。3 / 6【】5 个棋子 2 种颜色，至少有 2 个相同颜色的棋子相邻，所以无论操作多少次，5 个棋子中至少有 1个是白子，所以黑子最多有 4 个。实际操作得到： 所以最多有 4 个例题 12、老师在黑板上画了9 个点，要求吗?用一笔画出四条首尾顺次相连并通过这9 个点的线段。你能办到【】大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的

11、结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定在这9 个点的范围之内。么问题就容易解决了，如右图。把折线的范围冲破图中9 个点所限定的正方形，那例题 13、19951995 的方格盘，每个格内已预先染了色，共有两种颜色：红色或白色，允许你进行改色操作，规则是：任选其中一行，把这一行各格的颜色可以这么改色，每改完一行或一列的颜色，叫问；有限次操作后，能不能使全部方格同色？描成这一行中色数较多的那种色。对任何一列也作一次”。例题 14、右图是一个4 5 的方格盘先将其中的4 个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑这样操作下去，能否将整个方格盘都

12、染成黑色？【 】开始时染黑4 个方格，这4 个方格的总周长不会超过4 4 16 ，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加也就是说，所有黑格的总周长 不会超过16 ，而4 5 方格盘的周长是18 ，所以不能将整个方格盘都染成黑色4 / 6【习题精练】1、 桌面上4 枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3 枚硬币，至少 次可使向上的一面都是“国徽”.【】将4 枚硬币都翻转成向上的一面都是“国徽”要翻转偶数次；翻转2 次后的情况为“数字”、“数字”、“数字”、“数字”“数字”、“数字”、“国徽”、“国徽”；所以翻转2 次不能使

13、向上的一面都是“国徽”；通过如下操作，可使硬币只翻转4 次后为向上的一面都是“国徽”；“数字”、“国徽”、“国徽”、“国徽”“国徽”、“数字”、“数字”、“国徽”；“数字”、“国徽”、“数字”、“数字”；“国徽”、“国徽”、“国徽”、“国徽”.2、对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换如对 18 和 42 可作这样的连续变换：18，4218,2418,612,66,6 直到两数相同为止问：对 1234 和 4321 作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 【】操作如下：1234，43211234，30871234，18531234，619615，619615，4 前

14、一数每次减少47 ，43，43，12，11，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数即 1234 与 4321 的最大公约数为 1此法也称为辗转相减法求最大公约数3、如右图所示，将1 12 顺次排成一圈.如果报出一个数a （在1 12 之间），那么就从数a 的位置顺时针走a 个数的位置.例如a 3 ，就从3 的位置顺时针走3 个数的位置到达6 的位置；a 11 ，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10 的位置.问： a 是多少时，可以走到7 的位置？】不存在.当1 a 6 时，从a 的位置顺时针走a 个数的位置，应到达2a 的位置；当7 a 12时，从 a 的位置顺时针

15、走 a 个数的位置，应到达2a 12 的位置。由上面的分析知，不论 a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7 的位置.【4、如图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0 .然后转动圆盘，每次可以转动90 的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999 ？【】不可能.因为每次加上的数之和都是1 2 3 4 10 ，所以黑板上的四个数之和是10 的整数倍.而999 4 3996 ，不是10 的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999 .5、向电脑输入汉字，每个

16、页面最多可输入 1677 个五号字现在页面中有 1 个五号字，将它后粘贴到该面上，就得到 2 个字；再将这 2 个字后粘贴到该页面，就得到 4 个字每次和粘贴为 1 次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次5 / 6【】每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有 2 个字，3 次操作后页面上有23 8 (个)字，第 2 次操作后页面上有22 4 (个)则第 10 次操作后页面上有210 个字，由于210 1024 1677 211 2048 ，因此使整个页面排满，至少需要操作 11 次6、有大，中，小 3 个瓶子，最多分别可以装入水 1000 克，700 克和 300 克.现

17、在大瓶中装满水，希望通过水在 3 个瓶子间的使得中瓶和小瓶上标出 100 克水的刻度线，问最少要倒几次水？【】通过对三个数字的分析，发现 700-300-300=100，是计算步数最少的得到 100 的方法而由于每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：大瓶往中瓶中倒满水中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中小瓶中水倒回大瓶下 400 克水中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下 100 克水，标记小瓶中水倒回大瓶中瓶中 100 克水倒入小瓶，标记所以最少要倒 6 次水本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的7、一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键蓝键为“输入/删除”键(按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除)每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的 2 倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动现在先按蓝键输入 21请你设计一个操作过程，要求：操作过程中只能按红键和黄键；按键次数不超过 6 次；最后输出的数是 3【】需按 4 次红键 2 次黄键，有如下操作方式：21红42 红84 红168 红336 黄33 黄321红42 红84 红168 黄16 红32 黄321 红42 黄4 红8 红16 红32 黄321 黄2 红4 红8 红16 红32 黄38、先写出一个两位数 62，接着在 62 右