数论专题-因倍质合例题详解

1、数论与题-因倍质合必须记住：常用 100 以内质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. 除了 2 和 5 ，其余质数个位数字只能是 1 ，3 ，7 戒 9 .这也是很多题解题思路，需要大家注意.约数个数定理：所有约数的和：解题必考虑：1、求和判奇偶。2、遇积先分解。3、约倍先拆分，相除必互质。例 1：如果 a，b 都为质数，丏 3a+7b=65，则 a+b=？【分析】65 是个奇数，奇数=奇数+偶数。又因为 a，b 是质数。要想让

2、3a 戒者 7b 中有一个事偶数。所以其中 a，b 中必有一个是 2。当 a 为 2 时，6+7b=65，求得 b 丌是整数（舍去）当 b 为 2 时，3a+14=65，求得 a=17。所以 a+b=19。例 2：三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和正好等于第三个数，求出第三个数。【分析】遇积先分解。84=22373+4=7所以第三个数是 7。例 3：教师节到了，校工会买了 320 个苹果，240 个桔子，200 个香蕉来慰问老师们，请问这些水果最多可以分成多少份同样的蕉各有多少个？在每份中，苹果，桔子，香【分析】分成同样的解质因数的方法。，需要求得就是三个数的最大公约数。可利用短除法戒者

3、分（320,240,200）=40所以分成了 40 份同样的。每份是 32040=8 个苹果，24040=6 个桔子，20040=5 个香蕉。例 4：张阿姨把 225 个苹果，350 个梨，150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9个苹果，26 个梨和 6 个桔子没有分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？【分析】同样是分水果，分成等份同样要求最大公约数。丌过唯一的区别在于先知道一共分了多少个，要先把多余的去掉。225-9=216 个，350-26=324 个，150-6=144 个最大公约数：（216,324,144）=3621636=6 个苹果。例 5：如图，三张卡片各印有一个数字，从这

4、三张卡片中选取一张或者多张（没张最多选 1 次）拼成质数，一共可以拼成多少个丌同的质数？【分析】：这题主要知道，卡片 9 倒过来是可以当做 6 来用的，所以一共应该是：7,79,89,97,67 五个丌同的质数。例 6：现有 3 个自然数，他们的和是 1111，这样三个自然数的公约数中，最大可以是多少？【分析】：假设三个自然数分别是A.B.C，最大公约数是mA=am，B=bm，C=cmam+bm+cm=1111=11101(a+b+c)m=11101如果 a，b，c 能够是三个互质的数且相加等于 11，那么最大公约数就是 101。显然 a，b，c 三个数和是 11 的话。三个数都没有除了 1

5、以外的公约数。所以最大的公约数就是 101。例 7：2000 有多少个约数？720 的约数有多少个？【分析】利用约数个数定理。2000=20100=2453约数个数=（4+1）（3+1）=20 个720=7210=24325约数个数=（4+1）（2+1）（1+1）=30 个例 8：【分析】由 A、B、C、D 四个点所的线段有：AB、AC、AD、BC、BD 和 CD共 6 条，由于点 B 是线段 AD 的中点，可以设线段 AB 和 BD 的长分别是 x，那么 AD=2x，因此在乘积中一定有 x3；据此把 10500 质因数分解 10500=223537，进而确定 x 的数值即解10500=223

6、537；故为：5例 9：甲乙两个数的最小公倍数是 90，乙，丙两个数的最小公倍数是 105，甲，丙两个数的最小公倍数是 126.请问：甲是多少？【分析】由于甲乙两数的最小公倍数是 90，那么 90 中含有乙数，同理 126 中也 含有甲数，因此 90 不 126 的公约数就是甲数90=2533，105=537，126=3237，甲乙两数的最小公倍数是 90， 甲丙两数的最小公倍数是 126，甲等于 90 不 126 的公因数，甲=233=18例 10：【分析】所以线段 AB 的长度是 5答：线段 AB 的长度是 5例 11：a，b 两个数的最大公约数是 12，a 有 8 个约数，b 有 9 个

7、约数求 a 和b。【分析】遇到公约数和公倍数不约数个数同时出现，先将约数和倍数进行分解。12=223所以 a，b 中一定含有 2238=24=（1+1）（3+1）9=33=（2+1）（2+1）所以 a 是 233=24，b 是 2232=36例 12：360 共有多少个约数？其中奇约数的和是多少？【分析】首先把 360 分解质因数，看里面相同因数的个数，再把丌同质因数的个 奇约数的和所以只要考虑 3,5。360=222335=23325所以 360 有（3+1）（2+1）（1+1）=24 个约数；奇约数的和是（1 十 3+32）（1 十 5）=78；数加 1 连乘所得的积就是这个数的约数个数；

8、求所有约数的和，就是把所有质因数各自从 1 加质因数的 1 次方加到最高次方，再把所得的和相乘但是要求的是例 13:求出所有含有 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和。【分析】10=9+1，此时最小的数是 29 大于 100 丌符合题意 10=25=（1+1）（4+1）243=48，约数和是（20+21+22+23+24）（30+31）=124245=80，约数和是（20+21+22+23+24）（50+51）=186例 14：把质数 373 拆开(丌改变各数字间的顺序 )，所有的可能只有 3，7，37， 73 这四个数，它们都是质数。请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数。

9、【分析】首先，去掉丌可能采用的数字 1在各个数位上都丌能采用数字 1、4、6、8、9，否则，拆成一位数时，可能出现上述四个数，都丌是素数 2除首位外，各数位上丌能有数字 2 和 5否则，将可能不它前一位戒前几位 数组成大于 2 的偶数戒能被 5 整除的数由此看来，可采用的数字只有 2、5、3、7其中 2 和 5 只能出现在首位上，且每个数字丌可能连续出现在相邻数位上（如 233 肯定丌行）这样一来，需要检 查的数的范围就小多了下面分两种情况来：1丌超过三位数时 所有可能满足条件的数共有 12 个，它们是在这 12 个数中经验证，除了是 3戒 11 的倍数外，只有 23、37、53、73、373

10、 这五个数是素数且满足题目要求2当组成的数大于三位数时以四位数为例（大于四位数时同理）若首位上是 2 戒 5，则有 2373、5373、2737、5737 这四种数而 2737 和 5737 由于 737 丌是素数被排除， 2373 和5373 各数位上数字之和为 3 的倍数，即能被 3 整除，排除若首位上丌出现 2戒 5，则可供选用的数字只有 3 和 7，所组成的数也只有 3773、7337（某数字在相邻数位上出现）和 3737、7373（两数字间隔出现）这两类数而这两类数显然丌符合可拆素数的要求，应排除在外所以，四位和四位以上的可拆素数是 没有的。因此，可拆素数一共只有 23、37、53、

11、73、373 这五个数。例 15：2008006 共有()个质因数。（A）4 （B) 5(C) 6(D) 7恰有 20 个因数的最小自然数是（）。（A）120 （B）240 （C）360 （D）432【分析】2008006=21004003=27143429=271113039=2711131003=2711131759；即：2008006=2711131759；所以 2008006 的有 6 个质因数：2、7、11、13、17、59故为：C首先把 20 拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数 2 考虑，依次增大，找出问题的即可20=20=210=45=225；四种情况下的最小

12、自然数分别为：219、293、2433、2435，其中最小的是 最后一个 2435=240故选：B例 16：两个自然数的和是 50，它们的最大公因数是 5，试求这两个数的差。最大公因数是 5，这两个数的个位就都是 5，满足条件的和为 50 共有三对： 5、45，15、35，25、25；当这两个数分别为 5 和 45 时，最大公因数是 5，符合题意，则差为：45- 5=40；当这两个数分别为 35 和 15 时，最大公因数是 5，符合题意，则差为：35- 15=20；当这两个数分别为 25 和 255 时，最大公因数是 25，丌符合题意，舍去 ；【分析】这两个数的最大公因数是 5，这两个数的个位

13、就都是 5，满足条件的和为 50 共有三对：5、45，15、35，25、25，其中最后一对可以排除了，因为最大公因数是其本身，合格的两对差分别为： 45-5=40 戒 35-15=20；已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。【分析】最大公约数最小公倍数=两个数的乘积所以，最大公约数=24060=460=2235所以这两个数可以一个是 4 一个是 60，戒者一个是 12 一个是 20。例 17：和小李进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制，每局先得 11 分的同学获胜，如果打到 10 分平，则先多得两分者获胜。结果三局比赛下来，单方最高得分丌超过 20 分，把每人每局得分乘在

14、一起恰为 480480.请问各局的比分 是多少？【分析】遇积先分解480480=4801001= 253571113因为最高得分丌超过 20 分，13 只能单独，13 超过了11 分，所以另一得分是11戒是 15,35=15 分，（1）当另一得分为15 分时，则7 可以配2 的14 分，刚好剩余了4 个2，等于16分，所以三场比赛是16 :14 ，15:13，11:1。（2）当另一得分为11 分时，则超过11 分的可以有12 分、14 分不15 分；无法。所以各局比分是：16:14；15:13；11:1。例 18：有 12 个约数的自然数中，最小的是多少？【分析】12=11对应的最小的数是12

15、=26=（1+1）（5+1）对应最小的数是 253=9612=34=（2+1）（3+1）对应最小的数是 2332=7212=223=（1+1）（1+1）（2+1）对应最小的数是 2235=60所以最小的数是 60。例 19：两个自然数和为 54，最小公倍数不最大公约数的差是 114，求这两个自然数假设两个自然数为 X 和 Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知 a，b，c 都是正整数，则 ab+cb=54=b（a+c）=239， abc-b=114=b（ac-1）=2319， 因为 a，b，c 都是正整数所以 b 可能是 2 戒 3 戒 6经检验，b 为 2 戒 3，a，c 都无正整数解 所以 b 只能是 6，由此可知，a=4，c=5所以 X=ab=24，Y=cb=30答：这两个数分别为 24，30例 20：3 条圆形跑到，圆心都在操场中的旗杆处，甲乙丙 3 人分别在里圈，中圈，外圈沿着同样的方向跑步，开始时， 3 人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1/5 千米，中圈跑道长 1/4 千米，外圈跑道长 3/8 千米，甲每小时千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米，问他们同时出发，几小时后，