《自动控制理论》第六章 例题解析

1、PAGE PAGE 278第6章 线性系统的校正方法 例题解析例6-1 设火炮指挥系统（图6-1）开环传递函数系统最大输出速度为2r/min，输出位置的容许误差小于20。求：（1）确定满足上述指标的最小K值，计算该K值下的相位裕量和幅值裕量。（2）前向通路中串联超前校正网络，试计算相位裕量和幅值裕量。R(s)E(s)C(s)G(s) SHAPE * MERGEFORMAT 图6-1解：（1）故 令 可得 当Im=0时，所以系统不稳定。（2）串联超前校正网络 令 L（）=0得 c=4.8 可见串入超前校正网络后，增大，系统变为稳定。例6-2 设开环传递函数 单位斜坡输入R（t）=t，输入产生稳态

2、误差。若使校正后相位裕量不低于450，截止频率，试设计校正系统。解： 不满足性能要求，需加以校正。系统中频区斜率40dB/dec穿越0dB，故选用超前网络校正。设超前网络相角为，则选择-50-120是由于校正后，更负的原因。 中频段 所以 验算 所以串联超前网络后系统开环传递函数为 例6-3 为满足要求的稳态性能指标，一单位反馈伺服系统的开环传递函数为 试设计一个无源校正网络，使已校正系统的相位裕量不小于450，截止频率不低于50rad/s。 解: 不满足性能要求，需串联一超前校正网络。（1）求 （2）求a （3）解 故校正网络 例6-4 单位反馈系统开环传递函数为 若要求校正后系统的相位裕量

3、为300，幅值裕量为1012dB，试设计串联校正装置。解：原系统中频区频带窄，需使用一超前网络 拓宽频率。即 不满足性能指标要求，现设计校正网络 校正后 验证Hg* 校正后系统满足幅值裕量条件。例6-5 设单位反馈系统开环传递函数为 试设计串联校正装置，满足下列性能：（1）在单位斜坡作用下； （2）相位裕量，幅值裕量。解：对于校正前的系统 所以 K=10 不满足性能指标，需用一超前网络进行校正。设超前网络相角为，则 中频段 验算 串联超前网络 解得 可见系统满足幅值裕量条件。例6-6 设单位反馈开环传递函数。试设计串联超前校正装置，满足：（1）；（2）在单位斜坡作用下。解：对于校正前的系统 所

4、以 可得 不满足性能指标，需选取串联超前校正。设 中频段 验算 故选用的超前校正网络为 例6-7 已知单位反馈系统开环传递函数 设计串联超前校正网络使系统，超调量不大于25%，调节时间不大于1s。解：由性能指标可知 Mr=1.225 K=2+1.5（Mr1）+2.5（Mr1）2=2.46 对于校正前的系统 K=5 解得 不满足要求，需进行校正 验证 增大a值，令 a=4 所以 例6-8 设单位反馈系统的开环传递函数 设计串联校正装置，满足Kr=8rad/s，。解 Kr=8 v=1得 K=8 解得 选用滞后校正系统 故选用的串联滞后校正网络为 例6-9 已知单位反馈系统传递函数 设计一串联校正网

5、络，使校正后开环增益K=5，相位裕量，幅值裕量。解：对于校正前的系统 解得 故选用串联滞后校正网络进行校正。令 得 T=20.4故选用的串联滞后校正网络为 验证Hg* 满足幅值裕量条件，所以 例6-10 已知单位反馈系统开环传递函数 设计无源校正网络，使。解：由 得 K=30 解得 故选用滞后校正网络Gc（s）进行校正。 解得 a=10.7 T=4.1验证H*g 系统幅值裕量满足要求，所以 例6-11 设单位反馈系统开环传递函数 设计串联滞后校正网络，使校正后，开环增益K不变，。解： 得 在的低频段中K=20dB/dec，故选用滞后校正网络。设滞后网络 解得 解得 T=8.81所以串联滞后校正

6、网络后系统的开环传递函数为 验证H*g 解得 系统满足幅值裕量条件。例6-12 设单位反馈系统开环传递函数 要求设计一个串联校正网络，使校正后系统相位裕量，幅值裕量大于30dB。解：对于未校正系统 解得 在的低频段中，K=20dB/dec，不满足性能要求，需选用滞后网络进行校正。设： 求得 a=16 故校正后 验证H*g 解得 幅值裕量满足要求。例6-13 单位反馈系统开环传递函数 设计一串联校正装置，使得（1）静态速度误差系数；（2）截止频率，相位裕量。解：对于校正前的系统 解得 未校正系统不稳定，选用滞后超前校正。 设超前网络为，滞后网络为 得 a=8.1 令 取 a=8.1 验证：已校正

7、系统在处穿越0dB线，且 满足要求，所以串联滞后超前网络 例6-14 已知 设计一串联校正装置，满足下列性能指标；（1）输入速度为1rad/s，稳态速度不大于（1/126）rad/s；（2）许可放大增益不变;（3）相位裕量不小于300，截止频率为20rad/s。 解：对于校正前系统 解得 未校正系统不稳定，选用滞后超前网络进行校正。 设超前网络为，滞后网络为，因所以 令 得 取 故 验证：已校正系统在*处穿越0dB线，且 所以串联滞后超前系统校正装置为例6-15 如图6-2所示三种串联校正网络特性，它们均由最小相角环节组成，若控制系统为单位反馈系统，其开环传递函数 问：（1）在这些网络特性中，

8、哪种校正程度最好？ （2）为了将12Hz的正弦噪声削弱10倍左右，应采用哪种校正网络特性？ SHAPE * MERGEFORMAT 1020dB/dec1001010.10dB/decL/dB0.110120dB/dec20dB/decL/dB10020dB/dec100L/dB10.10dB/dec(a)(b)2(c) 图6-2 例6-15图解：（1）由图6-2所示可得校正网络传递函数（a） （b） （c）以（a）为校正网络，即 可得 以（b）为校正网络，即 可解得 以（c）作校正网络，即 可解得 可见，以（c）作校正环节，系统最大，稳定性最好。（2）当，时，以（a）作校正系统 以（b）作校

9、正系统 以（c）作校正系统 故采用（c）网络可削弱噪声10倍左右。例6-16 设复合控制系统如图6-3所示，图中为顺馈传递函数,为测速发电机及分压器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路中环节的传递函数，N(s)为可测量的干扰。若G1(s)=K,G2(s)=1/s2，试确定Gn(s),Gc(s)和K1，使系统输出量完全不受干扰n(t)的影响，且单位阶跃响应的超调量等于25%，峰值时间为2s.Gn(s)C(s)G2(s)E(s)R(s)G1(s)Gc(s)图 63 例6-16图解：经过等效变换后控制系统结构如图6-4所示当R(s)=0时， 令C(s)=0得 所以 已知 , ,闭环传递函数特

10、征方程R(s)E(s)N(s)C(s)图6-4 由，求得理想闭环极点 由系统特征方程得： 用长除法可得 所以 例6-17 已知单位反馈系统开环传递函数 试选适当的校正装置，使性能满足：（1）（2）从10%到90%的上升时间150ms；稳态位置误差系数Kp。解：为满足条件(1)，取0.7。由二阶系统典型响应曲线可以查到为满足条件(2),因此取对于=0.7, 的二阶系统，方程的根是这就是希望主导极点的位置。在s平面上，未校正系统在点的相角，须加650的超前校正。校正环节正好可以满足要求。加超前校正后 可以算出在点 K=3100 低于要求的指数。故再选迟后校正使总的校正环节校正后总的开环传递函数为

11、满足所有性能要求。例6-18 单位反馈开环传递函数为G(s)=，设计一串联校正网络，使系统满足（1）阶跃输入时超调量（2）调节时间解：由得 又由得 考虑到非主导零极点影响，取,主导极点位置为。选用超前校正。设所串联校正网络为 则 闭环特征方程为 令 由应能整除，所以用长除法可得且有 另外一个极点为 取，则有 校正后系统的开环传递函数为 例6-19 设单位反馈系统开环传递函数为 试用根轨迹设计一串联校正装置，使系统闭环主导极点的阻尼比，自然频率，静态速度误差系数解：由于对校正后系统既有稳态性能要求，又要提高动态性能，所以选用迟后超前校正。由和的要求，确定主导极点为 = （1） 由Kr的要求 Kr

12、=所以 此时系统的闭环特征方程为：展开得 （2）由式（6-19-1）除式（6-19-2），用长除法得到 （3）且应有 （4） （5）由式（3）（5）化简得 由式（6）得另外两个闭环极点为 而系统有开环零点，它们也是系统的闭环零点。只需使系统的闭环零点和闭环极点相消，就可以实现所要求的性能。为此只需取，即可使得 形成两对偶极子对消掉。又由式（7）得到 两数互为倒数。取 得到校正网络为 校正后系统开环传递函数为 例6-20 设单位反馈系统开环传递函数为用根轨迹法设计一串联校正装置，使系统的，且原闭环极点位置无明显改变。解：未校正系统原闭环主导极点为 相应的 Kr0.53 要求Kr5，因此应采用串联

13、迟后校正 由100夹角法，取80夹角，取。由于，所以 T=100 所以迟后网络为 设放大器增益应调节Kc倍，则 令 ，得 经校验，系统稳定，且校正后系统主导极点为，变化不大。例6-21 某系统的开环对数幅频特性曲线如图6-5所示，其中虚线表示校正前的，实线示校正后的。求解：（1）确定所用的是何种串联校正性质的校正，并写出校正装置传递函数Gc(s)。（2）确定校正后系统临界稳定时的开环增益值。（3）当开环增益K=1时，求校正后系统的相位裕量，幅值裕量h。 SHAPE * MERGEFORMAT 解：（1）由系统校前、后对数幅频特性曲线可得校正装置的对数幅频特性曲线，如图6-5所示。从图示可看出所

14、用的是串联滞后超前校正。从而可得： 00.1204011010060L/dB40图 6-5或者，由系统开环对数幅频特性曲线可知，校正前，系统开环传递函数为 校正后，系统开环传递函数为 由G2(s)=G1(s)Gc(s)，可得， 为一滞后超前校正网络。（2）由校正后系统开环传递函数 可得其闭环特征方程 列出劳斯表如下： 系统要稳定，劳斯表第一列全为正，因而 可得 （3）当K=1时， 其对数频率特性 从中解得 由 可得 又因为 可得 故 例6-22 在图6-6所示系统中，当K=10,T=0.1时，截止频率。若要求不变，如何选择K,T值才能使系统相位裕量提高450。C(s)R(s)G(s) SHAP

15、E * MERGEFORMAT 图6-6解：当K=10，T0.1时，系统截止频率=5，可知因而 若要重新选择K,T值，使提高设 当时， 由 可得 即 T1=0.6另外，在增大的同时，要保持的 幅值不变，才能不改变系统截止频率，因此 从而解出 K1=3.54例6-23 设单位负反馈系统的开环传递函数为 要求系统的单位斜坡输入稳态误差小于0.05，且系统截止频率大于2rad/s，相位裕量大于450。如果系统不能满足要求，试设计一校正网络。解：系统为I型系统，若要求在单位斜坡输入下稳态误差小于0.05，则取K=20。 解得 即系统不稳定。现采用滞后超前网络进行校正。设 （a1）利用快速算法 可解得

16、经验算可知 满足了指标要求。故 例6-24 设系统的开环传递函数为要求系统的稳态误差ess0.05，截止频率，相位裕量，试对系统进行校正。解：首先调整开环增益K。由 系统为I型系统，在单位斜坡输入作用下 满足要求。系统开环对数幅频特性为 从而解得 验证 可见系统不稳定。下面分段讨论进行校正。设校正后系统截止频率为。（1）当时，因不满足性能指标要求，不能采用滞后校正。（2）当时，用滞后超前校正网络进行校正。运用快速算法可求出即 T1=12.15此时，满足性能指标要求，可采用校正网络（3）当时，采用滞后校正网络校正后，不能使用。（4）当时，采用滞后超前校正网络进行校正。运用快速算法，可求得经验算可

17、知 满足了指标要求。即（5）当时，必须采用两个滞后超前环节。（6）当时，校正环节中必须有三个超前环节。（7）当时，校正网络中必须有两个超前环节。从系统抗干扰能力方面考虑，第二种情况，即最好。例6-25 某单位负反馈系统的传递函数 要使系统的速度误差系数，相位裕量。试设计一个最简单形式的校正装置（其传递函数用Gc(s)表示）以满足性能指标。解：要求Kr=10，在原系统中串联校正装置 得到校正后系统开环传递函数为 经验证校正后系统截止频率 得到相位裕量 满足题目要求。例 6-26 考虑图6-7所示的系统，其前向传递函数为：G(s)= 该系统的根轨迹图如图6-8所示。 R(s)+ C(s)图67图6

18、-8 系统的闭环传递函数为：闭环极点= -j3-j2闭环极点位于： s1=1+j s2=1j闭环极点的阻尼比为0.5。闭环极点的无阻尼自然频率为2弧度/秒。静态误差常数为2秒1。现在要求改变闭环极点，使无阻尼自然频率n=4弧度/秒，同时又不改变阻尼比的值，即保持=0.5。 解：（1）确定希望闭环主导极点位置：阻尼比0.5要求复数极点位于一条通过原点且与负实轴成600夹角的直线上。因为阻尼比确定了共轭复数闭环极点的角坐标，极点与原点之间的距离取决于无阻尼自然频率n，所以本题中，闭环极点的希望位置是：s1=-2+2j , s2=-2-2j在某些情况下，原系统根轨迹作出来后，通过简单的增益调整，可以

19、将主导极点移动到希望的位置。当然本题不属于这种情况。因此，我们将在系统的前向通道中引入超前校正装置。（2）确定超前校正装置。一般步骤如下：1)确定超前相角。求一个闭环主导极点希望位置的相角与原系统开环极点和零点的相角之和，并且确定为了使相角的总和等于1800（2k+1）而需要增加的角。该角必须由超前校正装置产生（如果该角度很大，则需要采用两个或两个以上的超前网络，而不是采用单一的超前网络）。如果原系统具有开环传递函数G(s)，则校正后的系统将具有的开环传递函数为：式中 Gc(s)=Kc, 01存在许多可能的T值和值，它们均能在希望的闭环极点上产生必需的幅角。2）确定超前校正装置的闭环极点和零点

20、位置。在选择极点和零点位置方面存在多种可能。下面介绍求的最大可能值的步骤（比较大的值将产生比较大的Kv值。在多数情况下，比较大的Kv代表比较好的系统性能）。首先，通过一个主导闭环极点的希望位置P点，画一条水平线。在图6-9上这条水平线用PA表示。再画一条连接P点与原点的直线PO。将PA与PO之间的夹角等分,作等分线PB。画PC和PD两条直线，它们与等分线PB构成夹角/2。PC和PD与负实轴的交点，给出了超前网络极点和零点所必需的位置。这样设计出来校正的装置，将使P点落在校正系统的根轨迹上。3）利用幅值条件，可以确定开环增益。图6-9（3）在此系统中，G(s)在希望的闭环极点的相角为： s= -

21、2+j2 = -2100 因此，如果需要使根轨迹通过希望的闭环极点，超前校正装置必须在该点上产生=300的幅角。遵守前面的设计步骤，可以确定超前校正装置的极点和零点，如图6-10所示它们是：零点位于 s= -2.9，极点位于s= -5.4或T=1/2.9=0.345，T=1/5.4=0.158。因此，=0.537。所以校正系统的开环传递函数为：Gc(s)G(s)=Kc图6-10式中K=4Kc，此校正系统的根轨迹如图6-10所示。增益可以根据幅值条件计算如下： 参考图6-10所示已校正系统的根轨迹图，增益根据幅值条件确定为： =1即 K=18.7由此可得到：超前校正装置的常数Kc为： Kc=18

22、.7/4=4.68因此，Kc=2.51。于是超前校正装置的传递函数为：（4）下面我们用MATLAB,研究校正系统的单位阶跃的响应。校正后系统的闭环传递函数为： =因此， numc=0 0 18.7 54.23 denc=1 7.4 29.5 54.23对于未校正系统，其闭环传递函数为：因此， num=0 0 4den=1 2 4MATLAB Program图6-11 校正和未校正系统的单位阶跃响应曲线例6-27 考虑图6-12所示的系统。其前向传递函数为：图6-13所示为该系统的根轨迹图。系统的闭环传递函数为： =主导极点为：s1=-0.3307+j0.5864 s2=-0.3307j0.58

23、64主导闭环极点的阻尼比=0.491。主导闭环极点的无阻尼自然频率为0.673弧度/秒。静态误差常数为0.53秒1。现在希望将速度误差常数Kv增大到约5秒1，同时又不使主导闭环极点的位置有明显变化,试设计校正装置。图 612 图 613解：（1）确定校正方式。为了增大，又不会使原根轨迹发生明显变化，满足这一性能指标，往系统中引入一个由方程： 确定的滞后校正装置，使其与给定的前向传递函数相串联。（2）确定校正装置参数：为了使静态速度误差常数增大到约10倍，选择，并且将滞后校正的零点和极点分配到s-0.005和s-0.05。这时，滞后校正装置的传递函数为：在主导闭环极点附近，该网络产生的辐角约40

24、。因此角度不是很小，所以在靠近希望的主导闭环极点的新轨迹上，将有一些小的变化。校正系统的开环传递函数这时为：=式中 图6-14（3）校正前后原系统比较：已校正系统的方框如图6-14所示。在靠近主导闭环极点附近，已校正系统的根轨迹图如图6-15所示，在该图上还示出了原根轨迹。图6-16所示为校正系统在原点附近的根轨迹图。MATLAB Program 1给出了产生图6-15，6-16的程序。如果新主导闭环极点的阻尼比保持不变，则根据新根轨迹图求得极点如下：s1-0.31j0.55 s2=-0.31-j0.55MATLAB Program1图 615图 616开环增益 因此，滞后校正装置增益求得为：

25、K/1.06=1.0235/1.06=0.9656设计出的滞后校正装置传递函数为： （4）校验：已校正系统具有下列开环传递函数： =静态速度误差常数Kv为：Kv秒1。达到了题设要求。（5）校正前后系统的单位斜坡响应比较。证明已校正系统的稳态性能比未校正系统的要好得多。为了用MATLAB求单位斜坡响应，对系统C(s)/sR(s)应用阶跃命令。对于已校正系统，所以 numc0 0 0 0 1.0235 0.0512 denc=1 3.005 2.015 1.0335 0.0512 0对于未校正系统, =因此, num=0 0 0 0 1.06 den=1 3 2 1.06 0 MATLAB Pro

26、gram2MATLAB piogramm2产生的单位斜坡响应曲线如图6-17所示。显然，在跟踪单位斜坡输入信号时，已校正系统具有更小的稳态误差(它是原系统稳态误差的十分之一)。图617 已校正和未校正系统的单位斜坡响应 MATLAB Program3MATLAB Program3产生已校正系统和未校正系统的单位阶跃响应曲线。如图6-18所示。图6-18 已校正系统和未校正系统的单位阶跃响应滞后校正系统比原来的未校正系统呈现出比较大的最大超调量和更为缓和的响应。一对位于s-0.0549的极点和位于s-0.05的零点，在瞬态响应中产生一种幅值很小、时间较长的拖尾。如果比较大的最大超调量和缓慢的响应

27、不能满足要求，则必须采用滞后超前校正装置。例6-28 考虑图6-19所示的控制系统,其前向传递函数为：该系统的闭环极点位于s10.2500j1.9843 s20.2500j1.9843，阻尼比为0.125,无阻尼自然频率为2弧度/秒,静态误差常数为8秒1。图 619现在需要使主导闭环极点阻尼比等于0.5，使无阻尼自然频率增加到5弧度/秒,使静态速度误差常数增加到80秒1。试设计一个适当的校正装置，以满足所有的性能指标。解：（1）采用的滞后超前校正装置具有下列传递函数：，式中。于是校正系统将具有下列传递函数：根据性能指标，主导闭环必须位于s=-2.50j4.33因为s=2.50j4.33=235

28、0所以，滞后超前校正装置的超前部分必须产生550相角裕量，以便使根轨迹通过希望的主导极点的位置。（2）设计校正装置的相位超前部分：1）确定产生550相角裕量的零点和极点的位置。这里可以有多种选择，但是我们选择零点位于s-0.5，以便使零点与控制对象的极点s-0.5相抵消。一旦零点被选定，极点位置便可以相应地确定，以保证相角裕量为550。通过简单的计算或图解分析，可知极点必须位于s-5.012。因此，滞后超前校正装置的超前部分为：因此 T12， 5.012/0.5=10.042）根据下列幅值条件，确定Kc的值：因此，（3）设计校正装置的相位滞后部分：1）根据对静态速度误差常数的要求，确定的值：

29、由 Kv 得 16.042）选择T2值足够大,使得 并且 50 s=2.5j4.33 1给出的滞后超前校正装置，又设计性能指标与例6-28中给出的性能指标相同。试设计一个校正装置Gc(s)。解：（1）确定。主导闭环极点的希望位置为：s，已校正系统的开环传递函数为：因为对静态速度误差常数Kv的要求是Kv80秒1，所以 因此 Kc10时间常数T1和值由下列关系式确定： s2。5j4。33550（在例6-28中已经求得所需超前相角为550。）参考图6-20，可以容易地确定A和B点位置使得： 图6-20 APB =550, （应用图解方法和三角学方法。)结果得到： ，即 T11/2.38=0.420

30、,=8.34T1=3.503因此，滞后超前网络得相位超前部分为： （2）确定对于相位滞后部分，可以选择 T210于是： 因此，滞后超前校正装置为： 已校正系统具有的开环传递函数为： 例6-30 考虑图6-21中表示的系统。试画出该系统的根轨迹图，然后确定出K值，使得主导闭环极点的阻尼比等于0.4。C(s)R(s)图6-21解：这里系统中包含了速度反馈。系统的开环传递函数为：开环传递函数 应当指出，可调节变量K未能以乘法因子的形式出现。该系统的特征方程为： s3+5s2+4s+20ks+20=0 （1） 定义 20kK于是方程（1）式变成s3+5s2+4s+Ks+20=0 （2）用所有不含K的项

31、之和，除式（2）的两边，得到 1 （3）即 10 （4）画式（4）给出的系统的根轨迹。注意到系统的开环极点位于sj2，s-j2，s-5，开环零点位于s0。根轨迹存在实轴的0到-5之间。因为所以得到 渐近线倾角渐近线与实轴的交点可由下式：求得为：s-2.5自极点sj2出发的发射角（角）可以由下式求得：因此，从极点sj2出发的渐进线出射角为158.20。图622表示了系统的根轨迹。 图6-22 系统的根轨迹应当指出，根轨迹的两条分支起始于极点sj2，而终止于无穷远处的零点。根轨迹其余一条分支起始于极点s5，而终止于零点s0。具有0.4的闭环极点，必须位于通过原点且与负实轴构成66.420夹角的直线

32、上。在目前情况下，上半s平面内的根轨迹分支，与角度为66.420的直线的交点有两个。因此，两个K值均能使闭环极点的阻尼比等于0.4。在P点上，K值为：K因此 kK/200.4490 （在P点上）在Q点上，K值为： K因此 kK/20=1.4130 （在P点上）对于k0.4490，三个闭环极点位于s-1.0490+j2.4065, s=-1.0490+j2.4065，s-2.9021对于k=1.4130，三个闭环极点位于s=-2.1589+j4.9652，s=-2.1589j4.9652，s-0.6823应当强调指出，位于原点的零点是开环零点，不是闭环零点。在图622中表示的原系统中不包含闭环零

33、点。因为位于s0点的开环零点，是在改造特征方程时，使可调变量K20k以乘法因子的形式出现而引进的。我们得到了两个不同的k值，它们都能满足使主导闭环极点的阻尼比等于0.4的要求。当k0.4490时，闭环传递函数为：当k1.4130时，闭环传递函数为： 对于k0.4490的系统，它具有一对主导共轭复数闭环极点，而对于k1.4130的系统，它的实数闭环极点s-0.6823是主导极点，而共轭复数闭环极点并不是主导极点。在这种情况下，系统的响应特性主要由实数闭环极点来确定。下面我们来比较两个系统的单位阶跃响应。MATLAB Program可以用来在一副图上画它们的单位阶跃响应曲线。图6-23表示了由该程

34、序画出的单位阶跃响应曲线。由图6-23可以看出，k0.4490时的系统响应是振荡的（闭环极点s-2.9021对单位阶跃响应影响很小）。对于k1.4310时的系统，由闭环极点s-2.1589j4.9652引起的振荡的衰减速度，比由闭环极点s-0.6823引起的纯指数响应要快得多。0.4490的系统（它呈现出快速的响应并且具有相当小的过调量）比k1.4310的系统(它呈现缓慢的过阻尼响应特性)具备好得多的响应特性,因此,对于目前的系统,我们应当选取k=0.4490。 MATLAB Program:图6-23例6-31 A feedback control system has a loop tra

35、nsfer function It is desired to have a steady-state error for a ramp input equal to 5% of the magnitude of the ramp .Therefore we require that Furthermore we desire that the phase margin of the system be at least 45o.The first step is to plot the Bode diagram of the uncompensated transfer function a

36、s shown in Fig.6.1.The frequency at which the magnitude cure crosses the 0-dB line is 6.2rad/s , and the phase margin at this frequency is determined readily from the equation of the phase of ,which is (6.1)At the crossover frequency ,we have ,and therefore the phase margin is 18o .Using Eq.(6.1) to

37、 evaluate the phase margin is often easier than drawing the complete phase-angle curve.Thus we need to add a phase-lead network so that the phase margin is raised to 45o at new crossover (0-dB) frequency ,Because the compensation crossover frequency is greater than the uncompensated crossover freque

38、ncy ,the phase lag of the uncompensated system is greater also . We shall account for this additional by attempting to obtain a maximum phase lead of 45o-18o=27o plus a small increment (10%) of phase lead to account for the added lag. Thus we will design a compensation network with a maximum phase l

39、ead equal to 27o+3o=30o .Then calculating,we obtain and therefore .The maximum phase lead occurs at ,and this frequency will be selected so that the new crossover frequency and coincide. the magnitude of the lead network at is 10lg=10lg3=4.8dB .The compensated crossover frequency is then evaluated w

40、here the magnitude of is 4.8dB, and thus . Drawing the compensated magnitude line so that it intersects the 0-dB axis at =c=8.4 ,we find that z=4.8and p=z=14.4 .Therefore the compensation network isThe total dc loop gain must be raised by a factor of 3 in order to account for the factor . Then the c

41、ompensated loop transfer function is To verify the final phase margin ,we can evaluate the phase of at and thus obtain the phase margin .The phase angle is Therefore the phase margin for the compensated system is 43.7o .If we desire to have exactly a 450 phase margin ,we would repeat the steps with

42、an increased value of for example ,with =3.5 . In this case ,the phase lag increased by 7o between and ,and therefore the allowance of 30 in the calculation of was not sufficient . The step response of this system yields a 28% overshoot with a setting time of 0.75 second .FIGURE 6.1 Bode diagram例6-3

43、2 Let us consider the rotor winder control system shown in Fig 6.2.We desire a steady-state error of less than 10% to a ramp input and Kv=10. In addition to the steady-state specifications ,we desire to meet certain performance specification : (1) setting time (2% criterion) seconds ,and (2) percent overshoot for a step input .R(s)Y(s)FIGURE 6.2 Block diagram（1）where consider first a simple gain controller ,Gc(s) ,wherethen the steady-state error is When K=500 ,our steady-state error for a ra