基于脑与认知科学的数学学习与数学教育

1、基于脑与认知科学的数学学习与数学教育基于脑与认知科学的数学学习与数学教育一、脑、认知科学与数学学习1.脑认知与数学学习同时，周教授指出研究脑科学就是希望用脑科学的方式来研究数学认知与数学学习，从而效劳于中小学的数学教育与教育理论，并指出如今全球范围内有30多个脑科学与数学教育研究的实验室。那么，什么是脑科学方法？周教授认为，简单地说就是用于心理与教育的脑科学方法，如脑成像、神经心理学等，并从数目加工、数学脑、数学加工的语言作用、数学经历、脑科学诊断与干预等方面来阐述脑、认知科学与数学学习的关系。作为数学根底的数目加工，周教授指出，对数量进展比拟是动物与人共有的才能。一些神经元可以对点数进展编元

2、，这是数学起源本文由论文联盟搜集整理与根底的地方。从数目加工与数学教育的关系来说，数感才能数目加工越好，数学成绩就越好，数学才能就越强。因此，他认为进步数目加工才能是干预计算障碍的根本方法。何谓数学脑？周教授指出，数学思维的关键脑区是顶叶，但并不是说这个区域仅仅为数学效劳，这是相对的，而是在将语言加工与数学加工进展比照时，这个区域的数学加工比拟兴旺，即为数学脑，这对数学教育来讲至关重要。假如数学脑顶叶出现问题、大脑顶叶内沟区域损伤后就会出现数字加工障碍，因此，他认为存在数学脑意味着数学教育具有特殊性，不等同于语言教育，不能是一般教育规律的简单推广，要根据数学脑的特征进展数学的促进与干预。针对数

3、学加工的语言作用，周教授认为当前虽然存在一定的争论，但语言在数学中是可以发挥作用的。脑科学的研究有一定的意义，如在乘法大于加法、精算大于估算、计算大于推理、概念大于计算等领域，按照传统行为进展研究很难，但脑科学可以提醒为什么女生的计算才能要好于男生，指出数学存在稳定的性别差异，并运用偏相关的方法以89岁农村与城市的学生进展研究与验证。假设这些学生的语言才能一样，研究结果发现他们的计算才能彼此之间没有差异，但假如假设这些学生除语言才能外其他的才能相等的话，男女生的计算才能差异照旧会存在，从而说明语言中存在一个认知机制，会对数字、数感与数学术语对脑中的活泼区域发生影响，认为语言参与数学的程度依赖数

4、学的才能类型、数字与数学术语，根底教育是可以为教育理论提供参考的。关于学习经历与大脑的关系，周教授认为学习经历会塑造大脑的数学功能，不同的学习策略导致大脑的计算功能别离，如乘法口诀的背诵，指出乘法在语言区域的激活更强，加减法在视空间加工皮层的激活更强。同时，他也指出，方法不同，大脑功能就会不同；不同的学习内容会导致不同的数学知识长时记忆系统的形成，认为从脑科学的角度而言，早期学习经历塑造的大脑数学认知功能具有即时性与稳定性的特征，小学老师的责任比拟重大，可以影响人的一生，进而得出大脑数学功能具有可塑性与持久性的结论。借助脑科学中的一个试验，即产生任务与阅读任务的比照，周教授阐述了基于脑科学诊断

5、与干预数学学习困难的内容，主要是对学生、学业认知、认知与脑等进展诊断，对脑、认知、学业认知与学业进展干预，认为产生任务多的话，大脑就会比拟活泼，激发的越多，学生的学习效果就会比拟好，进一步指出计算障碍的孩子，他们的大脑发育存在一定的问题，这一比例大概是3%5%，并指出从心理学的角度来说，产生任务本质上是一个做题的过程，这也从侧面说明了做题的价值，认为题海战术有一定的道理。2.脑与认知科学方法在数学学习研究中的运用有关磁共振成像的原理，张晗指出它主要是利用电磁场去兴奋大脑中的原子，这一过程所导致的磁场变化会被一台环绕被试的外磁体所检测，进而由一台计算机处理成三维大脑图像。结合详细的研究如何在详细

6、的理论中运用磁共振成像的方法，她介绍了一个实验，即被试是12名数学学习困难儿童和12名正常对照组儿童，对参与研究儿童的3D大脑T2构造像进展扫描，借助工具包VB与SP进展构造像别离和灰质密度比照分析，结果发现大脑左侧顶内沟区域，正常对照组的灰质密度要大于数学学习困难组，也说明了数学学习困难的儿童不是他们不想学，不好好学，而是他们的大脑发育没有给他们提供可以顺利学会数学知识的生物学基矗对如何进步顶内沟区域神经元的兴奋性，张晗认为经颅电刺激技术的应用使其成为可能。经颅电刺激技术是一种无创的神经电生理技术，使用电脉冲刺激大脑特定区域的神经元，暂时地兴奋或抑制这一部位的神经活动，可以发现对顶叶进展经颅

7、电刺激能促进学生的数学学习，这对我们今后改善数学学习困难儿童有很大的帮助。此外，张晗还对心理学的实证研究方法进展了介绍，指出借助专业的实验设备，严格控制刺激的呈现，准确地记录被试的反响时间和正确率，有助于发现彼此之间的因果联络，并详细地阐述了他们运用这一方法对中国幼儿园儿童在数字的心理数轴表征和数学学习成绩方面的相关认知机制进展研究，指出中国幼儿园儿童具有较为显著的数字空间结合编码效应SNAR效应，也就是说他们对小数字的反响时间要短于大数字的反响时间，即在儿童的头脑中已经存在一个心理数轴，具备数字空间的表征才能，即小数字在左边、大数字在右边。即使不通过课本进展知识传授，数轴在儿童的大脑中已经自

8、动化地出现，从小数到大数，自左向右排列。最后，张晗认为在大数据时代如何开展数学学习研究，利用信息科学技术快速搜集、远程搜集实验数据成为可能，也使得基于大数据的分析成为可能，这有利于更好地进展数学学习研究。3.概念图在评价数学概念性理解中的应用从认知心理学，如知识表征、脑科学等视角，概念图在理论层面与学生的知识储存形式存在一定的共性；从数学概念本身的学习来说，数学概念之间也存在一定的关系；从学生学习的角度而言，概念图可以反映学生概念性理解中的知识缺失和理解性缺失，促进学生的学习。为此，南京师范大学讲师金海月针对概念图在评价数学概念性理解中的应用发言，指出通常意义下的概念理解是对单个概念从内涵到外

9、延的全面性把握，会涉及这个概念与其他概念的关系，但她主要强调的是对单个概念的理解。概念性理解是对关系的把握。她认为概念性理解可以划分为三种层次，首先是单个概念，如定义、例和反例，以及不同的表征形式，对单个概念理解后才能建立概念之间的联络；其次是概念间的互相联络，如等值抽象、弱抽象、广义抽象等；再次是应用，不涉及操作层面的程序性知识，主要指的是对概念及其关系应用的原理性认识，指出概念性理解的重要性是学生灵敏地运用及在不同背景条件下恰当地应用知识的前提条件。此外，她还提出了一个跨领域的学习方法，即社会网络分析法，将一些关系以社会网络图的形式刻画出来，中间的结点表示个体，借助出度与入度，在一定程度上

10、反映数学教育领域中的社会地位与角色，同时它还有一条连线，表示间隔 与严密程度，表达严密度、交流度与可达性。此外，也会存在一定的附属构造、连通性与子群小群体。在此次报告中，她指出她曾借助社会网络分析法对江苏省某初中二年级的48名学生就他们对有关方程、函数相关概念的概念性理解现状进展了试验分析，采用概念定义测试卷、概念构图测试卷与传统题卷作为研究工具，结果发现概念定义测试、概念构图测试与传统题三类试题在评价数学概念性理解上都有一定的优势。但在概念图中，学生很少提及相关概念的例或反例，这可以反映出学生对概念的一些错误理解与概念的组织构造，能促进他们今后的学习。同时，她也指出，前期对概念图进展培训与分

11、析比拟费时，而且学生会遗漏或者回避一些联络，假设这些联络比拟重要，而在学生的头脑中这种联络缺失的话，老师就要在教学过程中刻意地帮助学生建立这样的联络。二、有关数学学习的研究1.数学学习的探究与钻研数学作为一门重要学科，老师怎样教与学生怎样学应是数学研究的重要内容，那么如何改良学生的学习，多年来众多数学教育工作者与一线老师都进展了不懈的探究与钻研。美国特拉华大学蔡金法教授用做活动的形式开场了他的讲座内容。这个活动是在白纸上呈现一系列的词语，这些词语之间没有联络，但在这些词中有一些是标志词，如A北京抄写北京、B北京联想蓝天、北京抄写北京联想美丽，即A的标志词是抄写，B的标志词是联想、的标志词是抄写

12、与联想，在规定的时间内抄写或联想，再将所给的词语尽可能多地默写出来，检查默写A、B、类的数量，查看这些数量之间的差异。这个活动完毕后，蔡教授将他在其他地方做的一样活动的统计结果给予简单的回忆，指出不管人数多少、地点在哪，结果是没有什么差异的，认为一旦抄写与联想同时存在的话，学生的学习效果就会好一些，并用卡方检验给予简单的描绘性统计。同时，蔡教授还讲述了他做的另一项研究，即考察1316名高中生是怎样考虑与感知数学的，他会询问学生假如数学是一种食物、颜色、动物，它可能是什么，为什么？让学生来考虑，并写出自己的真实感受。有的学生会写数学像牛排，因为数学是一个面很广的学科。然而，牛排有的局部很硬很难啃

13、。虽然整顿饭的最后还是满意的，但吃的过程是挺费力的；也有的学生会写数学像蚊子，因为无论你试图做什么躲避它，它总会回来的，让我讨厌的是每年都要上数学课，无论你试图做什么以逃避数学课，你总不会得逞的。通过这些语言，蔡教授认为，可以看到学生对数学的喜欢与兴趣的程度，并针对学生的答复分成5个等级15分进展定量分析或者定性分析，提醒学生所使用的比喻类型以及原因，研究兴趣对学习的影响。此外，蔡教授指出他对美国联邦政府支持的改革型课程与传统型的课程进展了长期的跟踪研究，研究对象是从六年级升到八年级的1300名学生与升入高中后的1000名学生，结果发现学生从六年级升到八年级时，假如之前施行的是改革型课程，学生

14、对问题理解的增长情况要比传统型课程来得好；在计算问题上，学习两种课程的学生差不多，高中912年级学习两种课程的学生在高中课程完全一样的情况下，学习改革型课程的学生在数学态度与数学成绩上都要高于学习传统型课程的学生，这说明以问题解决为主的课程与教学有比拟正面的影响。2.理论研究与数学学习任何领域的研究都离不开理论的支撑，数学领域也不例外。来自东北师范大学的郭民副教授与史宁中教授从数感的开展规律与特征入手，详细介绍了其在数学领域的实证研究。他们认为数感是人们对数和数的关系的一种感悟，以及运用数字关系和数字形式进展推理与解决问题的才能，但这一定义有待商榷，同时也指出综合已有文献与?全日制义务教育数学

15、课程标准实验稿?，数感的构成要素包括数的意义、数的表示、数的关系、数的运算、数的估算、数的问题解决，并对小学生数感开展阶段做了一个假设性划分，即数觉阶段，在还未建立数概念符号时对数的大小与多少形成的直观感受；符号阶段，基于数觉，依靠知识、经历技能开展起来的建立在概念符号根底上对数和数字关系的感悟才能；模型阶段，或者问题解决阶段，建立在模型根底上对数字关系和数字形式的感悟，以及运用数字进展推理与解决问题的才能。此外，他们还对小学老师进展了问卷调查与访谈，研究发现90%的老师知道课程标准中有数感概念，但不知道数感是什么；80%的老师认为数感比拟重要，但不知道怎样培养学生的数感。通过测试与分析，郭教

16、授认为，总体而言，小学生的数感开展程度随着年级的升高逐渐进步，二年级与三年级学生的数感开展程度存在显著差异，三年级与四年级、四年级与五年级学生的数感开展程度并不存在显著差异，五年级与六年级学生的数感开展程度那么存在显著性的差异；对各个分测试结果进展分析，可以得知二年级的学生处于第一个开展阶段，三至五年级的学生处于第二开展阶段，六年级的学生处于第三开展阶段。基于此，他们认为老师可以对小学数学课程进展内容设计，在一二年级的数学学习中设计数的意义、数的表示、数的关系与数的运算的局部内容；在三至五年级的数学学习中设计数的意义、数的表示、数的关系、数的运算的全部内容和数的估算、数的问题解决的局部内容；六

17、年级学生的数学学习中可以设计数的估算、数的问题解决的其他内容。在数学理论研究层面，人们不仅对数感内容进展了研究，还以基膜导向数学理论为理论根底对学生的数学学习进展了研究。来自国立台中教育大学的陈嘉皇教授指出，2022年8月台湾地区开场施行十二年国民根本教育，主要是想培养学生运算与理解的才能、抽象化的才能与在日常生活中运用与推理的才能。他认为基膜是一种认知机制，可存储、综合、归纳及提取经历，让个体组织相似的经历，进而协助区分额外的经历，简单地说就是学生正在学习的数学概念与技巧，而老师的任务就是怎样发现、激活学生大脑中已有的基膜与才能。因此，陈教授认为基膜导向解题教学的操作历程是辨识问题情境中运用

18、的基膜关联知识，将问题或问题类型里重要的元素予以配对及呈现其关系，方案和选择所核实的数学等式进展运算及执行此方案。同时，他以某公立小学一年级升入二年级的26名学生进展前测后选择12名学生，按照上下分分成两组进展测验，主要测试的题型包括数学算式对错判断问题、数字填充问题和相等概念配合题，一个月后进展后测。通过研究，陈教授指出，经过基膜导向解题教学实验后，学生可以获得等号反身性、单边运算与双边运算相等关系的概念，学生学习等号概念的途径从单边运算、反身性、双边运算的教学效果最正确；其次是反身运算、单边运算、双边运算；根据学生认知才能差异，等号概念之间的转化与连接有不同的表现。而且，陈教授还对台湾南部

19、某公立小学六年级33名学生运用一般化基膜进展图形规律问题研究，针对学生发想、链接与归纳三个阶段对他们的解题过程进展分析，他指出，从发想阶段来看，学生会运用两种形式进展发想，一是整体图形关系、局部构造要素，二是乘法、加法、乘法与加法的结合；在链接与归纳阶段，学生也会有自己的想法。因此，陈教授指出，学生学习数学时一定要有一定的根本才能。在数学领域上，基膜已成为代数知识研究与形式化知识过程的一个重要的理论工具。在组织与拓展代数知识上，学生假设能成功地开展变数的基膜，就可以拓展到等式、函数的概念，有助于提升数学学习的成绩。3.教学理论与数学学习?普通高中数学课程标准实验?公布以来，有关立体几何局部课程

20、构造和教学要求的调整引起了人们的许多争论，为此，来自常熟理工学院的黄兴丰、裔晶晶与杨丹丹指出，根据范希尔理论，学生的几何学习分为5个程度，即视觉、描绘/分析、抽象/关系、形式演绎、严谨/元数学等，但范希尔理论存在一个问题，即它认为学生几何思维的开展有先后顺序，只有到达前一个程度后，才有可能跳跃到后一个程度。在现实生活中，很多学生的思维开展规律和范希尔理论是不一致的，且学生的思维程度一般达不到元数学的程度。因此，他们指出，1999年意大利学者Gutirrez断言，人的几何思维开展可能是连续的，可能各个程度的开展会同时发生，并非单一的，所以，他们引入四维向量对范希尔理论的5个程度给予表示，说明其四

21、个方向上都可以开展，并将每个程度分成5个连续的开展阶段，即未获得程度1、低程度获得程度2、中等程度获得程度3、高程度获得程度4、完全获得程度5，运用定量的数值区间0100刻画学生在各个程度上的开展状况。为了验证这一理论的科学性，他们对苏南某县的7所普通高中内最好、最差与排名中间的学校的高三学生进展详细分析，结果发现，高三学生在程度1、程度2上没有什么问题，假如说在程度3上还可以的话，那么学生在程度4上那么表现得很低，处于未获得、低程度获得阶段，从而他们指出大局部学生的思维开展属于程度2到程度4，并在前两个程度上得到了充分开展，在后两个程度上有待提升，尚处于数学推理阶段。数学学习离不开样例教材中

22、的例题的学习。通过样例学习，掌握一定的知识与技能，培养学生解决问题的才能。那么怎样才能理解学生能否通过数学运算的样例学习，领悟、归纳运算规那么呢？为此，来自辽宁师范大学的张奇教授针对数学运算规那么的样例学习进展了研究。他主要做了三个实验，第一个实验是对二年级学生进展四那么混合运算的样例研究，考察他们能否通过运算样例学会四那么混合运算，把某个运算规那么进展分解，如无括号、小括号、中括号，他指出多数被试可以通过样例学会小括号与中括号的运算规那么，但他们很难学会无括号的四那么混合运算法那么。第二个实验是选择小学三至五年级的学生作为被试，以有理数去括号的运算规那么进展样例学习，每个运算规那么设计2个运

23、算样例，在样例学习阶段增加样例归类作业，最后他指出3个年级的学生可以不同程度地学会去括号的运算规那么，前2个子规那么的样例成绩要显著好于后2个子规那么，而且年级越高，成绩越好，存在一定的年级差异。第三个实验是代数运算规那么的样例学习，对完全平方和与平方差进展样例学习，考察六年级学生能否通过运算样例学会代数规那么。研究说明多数被试很难学会平方差的运算规那么，少数被试可以学会完全平方和的运算规那么。那为什么代数运算规那么比拟难呢？为此，张教授进展了深化的探究，认为代数运算符号存在一定的变化，学生可能不理解代数运算符号，在符号代替数字方面存在一定的难度。基于此，张教授指出，老师可以用已经学过的运算符

24、号与运算规那么来解释新的运算符号，可以用解释法设计样例，如53=5+5+5，此外，还可以运用解释标记法，用虚线进展标记，并针对此内容进展了对照实验。他指出，研究发现有转换标记组的样例学习迁移成绩明显优于对照组，而且解释法的样例设计在对数运算的样例学习中发挥着有效的促进作用。最后，张教授指出，样例学习是自主学习，但要从教学效果上进展样例设计，符合不同个体的需求，对优秀学生，样例要有一定的难度，解释与标记少一点；对学困生，要增加一些标记，使其学习更容易些，增强他们自主学习的成就感。但同时，张教授也指出样例学习并不是主流方式，只是起辅助作用，是提供学生自主学习的方法。任何一个运算都要理解运算的意义、

25、算理与法那么，小数乘法的意义也不例外。然而，老师不应该用整数乘法的意义来代表小数乘法的意义，为此，来自杭州师范大学的巩子坤教授通过对小数乘法意义的调查研究来分析学生对数学意义的理解程度。他主要对两所城市学校的2个班级五、六年级的学生进展研究，采用质与量的问卷调查法理解学生理解程度的纵向变化，对符号到语言的转化、从现实情境到语言的转化、从语言到符号的转化、从符号到现实的转化、用图示直观表征等5类问题进展分析。根据研究结果，巩教授认为对小数乘法意义的正确理解主要有：第一，从书面符号表征到口头语言表征的转化，如8.210的意义是什么？第二，从口头语言表征到书面符号表征的转化，6个2.05的和是多少？

26、第三，直接表达小学乘法的意义，如一个数乘小数的意义是什么？第四，从现实情境表征到书面符号表征的转化，如小明有7.5千克苹果，小华的苹果是小明的32%，小明有多少千克苹果？给出现实背景，列出式子。第五，从书面符号表征到现实情境的表征。同时，他也指出了对小数乘法意义的错误理解有：第一，整数运算的负迁移，如加与和、用几个几的和来表征；第二，关键字策略，如出现和字、取走与用字；第三，分数知识欠缺、错误的分数表征、混淆分数的绝对性与相对性、肢解分数的意义最后，巩教授认为由于小数乘法具有层次性与有限性，学生的分数知识有限且教材内容的设计使学生对小数乘法意义的理解有限，在今后的教学中老师应加强分数教学，丰富

27、学生的认知构造，同时也要改变教科书的呈现顺序，完善学生的认知构造，并注重直观教学。幼儿园的孩子对某些问题会解决得很好，但进入小学之后会出现一些不能理解的错误，那我国是不是也存在这样的问题，为此，北京石景山区苹果园第二小学老师张岭通过对学生在学习理解加减法运算意义中所形成的情境原型的研究试图对这一问题进展答复。张岭指出，情境原型指的是与加减乘除这四种一步运算相对应的现实情境，加减的现实情境原型有聚合、比拟、增加性变化与减少性变化。通过对北京郊区县一至三年级的500名学生进展抽样测试、追踪访谈和比拟研究，深化理解了学生用加减法原型解决问题中会遇到的主要困难，也探查了影响学生解决问题的可能影响因素。

28、在他的研究中可以看到，学生会遇到的主要困难是见多就加、见少就减、看见还剩就减、见飞就减、看见一共就加等。因此，他认为学生对加法的聚合、增加变化与减法的减少变化理解得比拟多，但比照拟原型的掌握比拟困难，指出从中找到一些可以应用的步骤对其给予正确理解、与正确计算方法对接、防止一些错误定势，这对问题的理解与表征比拟重要。老师在教学过程中要注意利用好直观的教具与学具，做好直观学具与抽象算式之间的沟通。评价=事实描绘+价值判断+增值探究。北京教育学院张丹教授认为对评价的认识不仅需要进展测量，还要有事实的描绘，进展一定的价值判断。她讲述了她们在2022年对东、中、西部地区的三年级学生进展的数的运算掌握情况

29、的调查，重点对东部某省的情况进展了分析。根据课标的要求，张教授将才能维度分为理解、理解、掌握与运用，将内容维度分为数与代数、空间与图形、统计与概率，并围绕数的运算设计了一定的题目。她指出，测试结果说明学生在如何理解这一定义上遇到了较大的问题，在计算与算理方面的正答率较高，但在估算作答方面，学生在判断是否符合题目要求时发生了错误。因此，张教授认为，在运算意义方面，三年级学生在熟悉的实际情境到符号的转化、符号到图形表征的转化方面表现得不错，同时指出他们还会进一步对现实情境、图形表征、文字表征、符号表征的其他转化方面开展测试；在计算和算理方面，需要进一步研究学生能完成什么样的任务才能说明其在算理理解

30、上到达合格程度；在估算方面，主要集中在四舍五入与余数计算上，不少学生在解决实际问题时不能很好地捕捉到复杂情境中的信息。为此，她认为老师要重视教材和详细情境，鼓励学生列式，重视对算式的理解与解释，防止将估算当作近似计算、四舍五入等进展教学，使得学生不会根据实际情境进展大估。4.中考数学改革趋势分析评价改革是制约教育改革的瓶颈，你考什么我就教什么的传统习惯一直是我国中小学校遵循的潜规那么，更被社会广泛认同。如何实在发挥中考的指挥棒作用，让中考实在引领初中数学日常教学走向科学、标准之路，成为中考改革的关键，中考命题与评价的研究也成为促进教育改革的关键点。吉林市第二十九中学老师朱航与吉林省教育学院副教授孟祥静基于全国中考数学的命题趋势对中学数学的改革趋势进展了分析，指出今后中考数学命题会突出四基与四能的考察，关注学生的数学素养，主要表如今继续强化根底知识与根本技能的考察、注重数学根本思想与数学根本活动经历的考察，以期以探究的形式有效地引导学生提出有价值的问题。此外，他们认为中考试题要表达课程标准的理念，改善学生的数学学