机械行业振动力学期末考试试题

1、m1动能:m2动能：m3动能：=丄my211222=1J2211111=J2=(mL2)(y=(23223111=(mR22=2232332=2（3m2）敷2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L,匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解:系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y=0,此时系统的势能为零。ab转角：9=y/L系统动能:在理想约束的情况下，T+V=1（m21上式求导，得系统的微分方程为

2、系统势能：V=-mgy+mg(丄y)+k(y)2TOC o 1-5 h z12222系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：11111+-m+m)散mgy+mgy+k(y)2=E32212222k谿了了y=e，4(m+m+m)13223w0固有频率和周期为：k1r+一m+m3222、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上;轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A,绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解:系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位

3、置时x=0,此时系统的势能为零。”1。物体B动能：t1=勺吓点&,转过的角度为2R轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为v=2玫角速度为210=x。轮子动能:2RT=丄mv2+Jw2=m(丄X2)+(丄mR2)(X2)=(3mX2)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 221c22142214R2281系统势能： HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 1717/厂、17/1厂、kV二一kx2二k（0R）2二k（xR）2二x2 HYPERLINK l bookmark21 o

4、 Current Document 2c222R8在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有3mkT+V=-（1+m+x2=E HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 828上式求导得系统的运动微分方程：2kx&+x=03m+8m12固有频率为：2k=3m+8mf12第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为m,外壳质量为2m,每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解:系统为二自由度系统。当x1=1,x2=0时，有：k

5、11=2k,k21=2k当x2=1,x2=1时，有：k22=4k,k12=2k因此系统刚度矩阵为：2k-2k-2k4k系统质量矩阵为：系统动力学方程为频率方程为：m002mm0_-2k2k_Xo1+1=02m22k4kX202k一m2-2k-2k4k-2m2解出系统2个固有频率：2=（2-迈）,2=（2+、1m2m2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m,弹簧的刚度系数均为k,刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的

6、位移X和x2为系统的广义坐标。当xl=l,x2=0时，AD转角为0二1/3L，两个弹簧处的弹性力分别为kL和2k0L。对D点取力矩14平衡，有：k11=kL；另外有k=-kLo11921同理，当x2=1,x2=1时，可求得：D1k=kL，k=-kL2212因此，系统刚度矩阵为：kLkL9-kLkL系统质量矩阵为：系统动力学方程为频率方程为：m0級1+0m級2m214kL9-kL-kLrx1oX02kL14kL9kL-kLkLm2即：22Itm2及弹簧的刚度系数为k2、k3、k4（l）223系统质量矩阵为：m010m2系统动力学方程为：1k+k+k124-k29m24一23kmL2+5k2L=0

7、第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量m1采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4=k0，又k2=2k0,求系统固有频率；（3）取k0=1,m1=8/9，m2=1,系统初始位移条件为X（0）=9和x2（0）=0,初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1=1,x2=0时，有：k11=k1+k2+k4,k21=k2当x2=1,x2=1时，有：k22=k2+k3,k12=k2。因此，系统刚度矩阵为：2）当k1=k3=k4=k0,k2=2k0时,运动微分方程用矩阵表示为m10-1+一4k02k一0 x100m2k3k

8、x0122002频率方程为：(4km2)(3km2)4k2=0mm4(3m12101020+4m)k2+8k2=0200求得：210(3m+4m、9m2一8mm+16m2)2mm121122120(3m+4m+、.9m2一8mm+16m2)2mm12i112212018-90018模态响应：rq(0)=蜜-1rx(0)r4_11=q(0)2x(0)2-4w2q11敛(0)*(0)仪(0)1&(0)2+w2q=0223)当k0=1,m1=8/9,m2=1时,系统质量阵M=系统刚度阵：固有频率为：主模态矩阵为：主质量阵：主刚度阵：模态空间初始条件即：q(t)=4coswt,11q(t)=-4cos

9、wt22x(t)1x(t)2q1(t)q(t)2sinwt一一因此有：3coswt+6coswt124coswt-4coswt12第四题（20分）一匀质杆质量为m,长度为L,两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励sinwt。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和0为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12,L=1,k=l,k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有0方向的角振动，而无x方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、0为广义坐标，x为质心的

10、纵向位移，0为刚杆的角位移，如图示。当x二1、0二0时:k=k+k，k=(k-k)212当x=0、0=1时：k=(k-k),112121k、21k-1k、*21Fk-11112111221k因此，刚度矩阵为：k+k12(k-k)L21212(k-k)L212L2(k+k)124质量矩阵为：0_1mL212系统动力学方程：sint00mL212k+k12(k2-k1)f(k-k)L212L2(k+k)1242)当m=12，L=，k1=1，k2=3时，系统动力学方程为：120sint0频率方程为：4-12210=011-20即：124-162+3=000求得：1)代入上述动力学方程，有：4-123

11、21_x丁11-3200 x令0132(4-122)-10=-(4-122)-1由第二丁方程，解得0=-圮，代入第一行的方程，有:要使得杆件只有0方向的角振动，而无x方向的振动，则需x=0，因此3=1o第五题(20分)如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L弹性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩为I,梁材料密度为P。在梁的a位置作用有集中载荷F(t)。已知梁的初始条件为：y(x,0)=f(x)，yx,0)=f(x)o(1)推导12梁的正交性条件；(2)写出求解梁的响应y(x,t)的详细过程。(假定已知第i阶固有频率为，相应的模态函数为i0(x),i二1g)id2d2y(x,tkc。2y提示：梁的动力学方

12、程为：El+PS=f(x,t)，其中ox2dx2ot2f(x,t)=F(t)8(x-a)，5为5函数。解：(1)梁的弯曲振动的动力学方程为：三EI02y(兀)+pS02y(兀)=0ox2ox2ot2y(x,t)可写为：y(x,t)=0(x)q(t)=0(x)asin(t+0)代入梁的动力学方程，有：(E/0)=2pS0设与、对应有0、0，有：TOC o 1-5 h zijij(EI00=2pS0iii HYPERLINK l bookmark143 o Current Document (E/0)=e2pS0(2)jjj式(1)两边乘以0并沿梁长对x积分，有：j（3）J10（El0）dx=rn

13、2J1pS00dx0jii0ij利用分部积分，上式左边可写为：J10（E/Oydx=0.（EIO0，I10，（EI0）I1+J1El00dx0jiji0ji00ij由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以右边第一、第二项等于零，成为：J10（EI0）dx=J1EI00dx0ji0ij将上式代入（3）中，有：J1EI00dx=2J1pS00dx0iji0ij式(2)乘0并沿梁长对x积分，同样可得到：iJ1EI00dx=2J1pS00dx0ijj0ij由式（5）、（6）得：(2一2)psMdx二0ij0ij如果i丰j时，工，则有：ijJ1pS00dx二00ij

14、上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及f1El00dx二00ijJ10（El0）dx二00j上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当i=j时，式（7）总能成立，令：6）可得：J1pS02dx=M0jpjM、K即为第j阶主质量和第j阶主刚度。pjpjK由式（6）知有：2=皿帀pj如果主振型0（x）中的常数按下列归一化条件来确定：jJ1pS02dx=M=10jpj则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度K为O2。pjj式（9）与（8）可合并写为：J1pS00dx=50ij由式（6）知有：Jei00dx=250ijjijJ10(Elydx=rn250jjij2）悬臂梁的运动微分方程为

15、：EI乜+pS竺dx4dt2=f(x,t)其中：（4）上式（5）（6）（7）（8）9)1)f(x,t)=F(t)6(x-a)2)i令：3)y(x,t)=纭(x)q(t)iii=1代入运动微分方程，有：艺(E/)q+ps无qq=f(x,t)iii=1i=1上式两边乘0(x)，并沿梁长度对X进行积分，有：i无qJl(ei)dx+无qqJlps艸dx=JLf(x,t)dxiii0ii0ii=1ii4)Li0i=1利用正交性条件，可得：5)其中广义力为：輕(t)+2q(t)=Q(t)jjjjQ(t)=fLf(t)0dx=JLF(t)6(x-a)0dx=F(t)Q(a)i0i0ii初始条件可写为：7)y(x,0)=f(x)=另(x)q(0)iii=1qx,0)=f(x)=区(x)q(0)iii=1上式乘以PS.(x)，并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得:iq(0)=J