2008年上海高考数学真题（理科）试卷（解析版）

1、绝密启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 得 分评 卷 人一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1不等式的解集是 .2若集合

2、、满足，则实数=_.3若复数满足（是虚数单位），则=_.4若函数的反函数为（），则 .5若向量、满足，且与的夹角为，则=_.6函数的最大值是 .7在平面直角坐标系中，从六个点：、 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).8设函数是定义在上的奇函数. 若当时，则满足的的取值范围是 .9已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小，则的取值分别是 .10某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为、短轴长为的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为

3、，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 .11方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标. 若方程的各个实根所对应的点()（=）均在直线的同侧，则实数的取值范围是 . 得 分评 卷 人二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分12. 组合数恒等于 答 (

4、) (A) . (B) . (C) . (D) .13. 给定空间中的直线及平面. 条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的 答 ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.14. 若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则 的值是 答 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) . (D) .15. 如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），是该 圆的四等分点. 若点、点满足且， 则称优于. 如果中的点满足：不存在中的其它点优 于，那么所

5、有这样的点组成的集合是劣弧 答 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 得 分评 卷 人16.（本题满分12分） 如图，在棱长为 2 的正方体中，的中点. 求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解 得 分评 卷 人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形. 小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路. 已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）. 解 得 分评 卷 人18.（

6、本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分9分 已知双曲线，是上的任意点. （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点的坐标为，求的最小值.证明（1） 解（2） 得 分评 卷 人19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 解（1） （2） 得 分评 卷 人20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2 小题满分5分，第3小题满分8分 设是平面直角坐标系中的点，是经过原点与点的直线.记是直线与抛物线的异于原点的交点. （

7、1）已知. 求点的坐标； （2）已知点在椭圆上，. 求证：点落在双曲线上； （3）已知动点满足，. 若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上，试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. 解（1） 证明（2） 解（3） 得 分评 卷 人21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第 2小题满分7分，第3小题满分8分 已知以为首项的数列满足： （1）当，时，求数列的通项公式； （2）当，时，试用表示数列前100项的和； （3）当 （是正整数），正整数时，求证：数列,，成等比数列当且仅当. 解（1）（2）证明（3）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考

8、 试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分解答一、（第1题至第11题）1. 2. . 3. . 4. . 5. .6. 2. 7. . 8. . 9. .10. . 11. . 二、（第12题至第15题）题 号1

9、2131415代 号DC BD三、（第16题至第21题）16解 过作，交于，连接. ， 是直线与平面所成的角. 4分 由题意，得. , . 8分 ， . 10分 故直线与平面所成角的大小是. 12分17. 解法一 设该扇形的半径为米. 连接. 2分由题意，得=500（米），=300（米），. 4分在中， 6分即， 9分解得（米）. 答：该扇形的半径的长约为445米. 13分解法二 连接，作，交于. 2分 由题意，得=500（米），=300（米），. 4分 在中， （米）， 6分 . 9分 在直角中，（米）， （米）. 答：该扇形的半径的长约为445米. 13分18. 解 （1）设是双曲线上任意

10、一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是和. 2分 点到两条渐近线的距离分别是和， 4分 它们的乘积是. 点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 6分 （2）设的坐标为，则 8分 . 11分， 13分 当时，的最小值为， 即的最小值为. 15分19. 解 （1）当时，；当时，. 2分 由条件可知 ，即 ，解得 . 6分，. 8分 （2）当时， 10分即 .， . 13分， 故的取值范围是. 16分20. 解（1）当时， 解方程组 得 即点的坐标为. 3分 证明（2）由方程组 得 即点的坐标为. 5分 是椭圆上的点，即 ， . 因此点落在双曲线上. 8分 （3）设所在抛物线的方程为 ，.

11、10分 将代入方程，得 ，即. 12分当时，此时点的轨迹落在抛物线上；当时，此时点的轨迹落在圆上； 当且时，此时点的轨迹落在椭圆上；当时，此时点的轨迹落在双曲线上. 16分21. 解（1）由题意得 . 3分 （2）当时， ， 6分 . 10分 （3）当时，； ，； ，； ，. ，. 综上所述，当时，数列，是公比为的等比数列. 13分 当时， ， ， . 15分由于，故数列，不是等比数列. 所以，数列，成等比数列当且仅当. 18分1.不等式的解集是 .【答案】【解析】由. 2.若集合Ax|x2、Bx|xa满足AB2，则实数a .【答案】【解析】由.3.若复数z满足zi(2-z)（i是虚数单位），

12、则z .【答案】【解析】由.4.若函数f(x)的反函数为f 1(x)x2（x0），则f(4) .【答案】【解析】令.5.若向量 eq o(sup6(),sdo1(a)、 eq o(sup6(),sdo1(b)满足| eq o(sup6(),sdo1(a)|1，| eq o(sup6(),sdo1(b)|2，且 eq o(sup6(),sdo1(a)与 eq o(sup6(),sdo1(b)的夹角为 eq f(,3)，则| eq o(sup6(),sdo1(a)+ eq o(sup6(),sdo1(b)| .【答案】【解析】.6.函数f(x) eq r(3)sin x +sin( eq f(,2

13、)+x)的最大值是 .【答案】【解析】由.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.【答案】【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：；8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是 .【答案】【解析】由f(x)为奇函数得：9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的

14、方差最小，则a、b的取值分别是 .【答案】【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须时，总体方差最小；10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .【答案】【解析】依题意， ；11.方程x2+ eq r(2)x10的解可视为函数yx+ eq r(2)的图像与函数yeq f(1,x)的图像交点的横坐标，若x4

15、+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,eq f(4,xi)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,eq f(4,xi)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，因直线yx与交点为：；所以结合图象可得：；12.组合数C eq a(r,n)（nr1，n、rZ）恒等于（ ） Aeq f(r+1,n+1)C eq a(r-1,n-1) B(n+1)(r+1)C eq a(r-1,n-1) Cnr C eq a(r-1,

16、n-1) Deq f(n,r)C eq a(r-1,n-1)【答案】【解析】由. 13. 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）条件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要【答案】【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，即充分性不成立； 14. 若数列an是首项为1，公比为aeq f(3,2)的无穷等比数列，且an各项的和为a，则a的值是（ ）A1 B2 Ceq f(1,2) Deq f(5,4)【答案】【解析】由. 15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、

17、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P(x,y)满足xx 且yy，则称P优于P，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ） A eq o(AB,sup8() B eq o(BC,sup8() C eq o(CD,sup8() D eq o(DA,sup8() xyO BACD 【答案】【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域（权且称为“第二象限”）与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求. 检验得：D eq o(DA,sup8()一.集合与函数

18、1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.

19、例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?比较函数值的大小;解抽象函数不等式;求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数

20、的范围。17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等

21、式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即ab0，a0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意

22、从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函数29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角

23、化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即

24、.(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。39.正弦定理时易忘比值还等于2R.五.平面向量40.数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。41.数量积与两个实数乘积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.42.是向量与平行的充分而不必要条件

25、，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。六.解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(

26、设出变量，写出目标函数写出线性约束条件画出可行域作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解应用题一定要有答。)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与

27、其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七.立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处见59.线面平行的判定定

28、理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.61.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思吗?能够熟练地应用它们解题吗?63.两条异面直线所成的角的范围：090直线与平面所成的角的范围：0o90二面角的平面角的取值范围：018