2019年上海高考数学真题试卷（解析版）

1、绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）已知集合，则_.已知且满足，求_.已知向量，则与的夹角为_.已知二项式，则展开式中含项的

2、系数为_.已知x、y满足，求的最小值为_.已知函数周期为，且当，则_.若，且，则的最大值为_.已知数列前n项和为，且满足，则_.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，则_.某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_.已知数列满足（），在双曲线上，则_.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则_.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）已知直线方程的一个方向向量可以是（ ） B. C. D. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） 1 B. 2

3、 C. 4 D. 8 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ） B. C. D. 已知.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；均正确； B. 均错误； C. 对，错； D. 错，对；三.解答题（本大题共5题，共76分）（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，.（1）求直线与平面的夹角；（2）求点到平面的距离.18.（本题满分14分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有零点，求的范围.19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，.（1）求长度；（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）20.（本题满分16分）已知椭圆

4、，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于轴时，求；（2）当时，在轴上方时，求的坐标；（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分）数列有项，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.（1）若，求可能的值；（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1.已知集合，则_.【思路分析】然后根据交集定义得结果【解析】：根

5、据交集概念，得出：.【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2.已知且满足，求_.【思路分析】解复数方程即可求解结果【解析】：，.【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础3.已知向量，则与的夹角为_.【思路分析】根据夹角运算公式求解【解析】：.【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础4.已知二项式，则展开式中含项的系数为_.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含项的的项，再求系数【解析】：令，则，系数为.【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础5.已知x、y满足，求的最小值为_.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜

6、截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，. 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6.已知函数周期为，且当，则_.【思路分析】直接利用函数周期为1，将转到已知范围内，代入函数解析式即可【解析】：.【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题7.若，且，则的最大值为_.【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有的式子求解【解析】：法一：，；法二：由，（），求二次最值.【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题8.已知数列前n项和为，且满足，则_.【思路分析】将和的关系转

7、化为项的递推关系，得到数列为等比数列.【解析】：由得：（） 为等比数列，且， .9.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，则_.【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得：，设M坐标有：，代入有：即：.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.【解析】：法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）【归纳与总结】本题考查古典概型的求解

8、，是中档题11.已知数列满足（），在双曲线上，则_.【思路分析】利用点在曲线上得到关于n的表达式，再求极限.【解析】：法一：由得：，利用两点间距离公式求解极限。法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题12.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则_.【思路分析】【解析】：【归纳与总结】二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线方程的一个方向向量可以是（ ） B. C. D. 【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：为直线的一个法向量， 方向向量为，选

9、D.【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：，选B.15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ） B. C. D. 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验的奇偶性，选C；法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数）， ，当时，选C.16.已知.存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象

10、限；均正确； B. 均错误； C. 对，错； D. 错，对；【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令和，求看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.法二：解： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 设，则原式可化为，整理得，以为主元，则要使方程有解，需使有解，令，则恒成立函数在上单调递减，又存在使，当时设方程的两根分别为，当时，故必有一负根， = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 对；当时，故两根均为负根， = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 错；选D.三.

11、 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，.（1）求直线与平面的夹角；（2）求点到平面的距离.【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解.【解析】：（1）依题意：，连接AC，则与平面ABCD所成夹角为； ，为等腰直角，； 直线与平面的夹角为.法一（空间向量）：如图建立坐标系：则：，求平面的法向量：，得：A到平面的距离为：法二（等体积法）：利用求解，求时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用求解.【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

12、础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18.（本题满分14分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有零点，求的范围.【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.【解析】：（1）当时，；代入原不等式：；即：移项通分：，得：；依题意：在上有解参编分离：，即求在值域，在单调递增，；，故：.【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，.（1）求长度；（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）【思路分析】根据弧长公式求解；

13、利用正弦定理解三角形.【解析】：（1）依题意：，弧BC所在圆的半径弧BC长度为：km（2）根据正弦定理：，求得：，kmb0，a0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)28.应用数学归纳法一要注意步

14、骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函数29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化

15、出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图

16、象的解析式为，即.(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。39.正弦定理时易忘比值还等于2R.五.平面向量40.数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。41.数量积与两个实数乘积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.42.是向量与平行的

17、充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。六.解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完

18、整的文字表达.(设出变量，写出目标函数写出线性约束条件画出可行域作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解应用题一定要有答。)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项

19、系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七.立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处见59.

20、线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.61.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思吗?能够熟练地应用它们解题吗?63.两条异面直线所成的角的范围：090直线与平面所成的角的范围：0o90二面角的平面角的取值范围：018064.你知道异面直线上两点间的距离公式如何运用吗?65.平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。66.立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，你是否只注重了“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节?67.棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质.这些知识你掌握了吗?(注意运用向量的方法解题)68.球及其性质;经纬度定义易混.经度为二面角,纬度为线面角、球面距离的求法;球的表面积和体积公式.这些知识你掌