2022-2023学年江西省萍乡市高坑中学高三数学理联考试题含解析

1、2022-2023学年江西省萍乡市高坑中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线绕原点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为（ ）AB1 CD参考答案：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】B 由题意可得：xA=cos，yB=sin(+30)xA-yB=cos-sin（+30）=cos-(sin+cos)= cos-sin=cos(+)1xA-yB的最大值为1故选B【思路点拨】由题意可得：xA=cos，yB=sin(+30)可得xA-yB

2、=cos-sin（+30），利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出2. 函数的图像可能是 ( )A B C D 参考答案：A略3. 在平面内的动点满足不等式，则的最大值是（ ）A 6 B4 C. 2 D0参考答案：A4. 若定义在R上的偶函数满足且时，则方程的零点个数是（ ）A2个 B3个 C4个 D5个 参考答案：C因为数满足，所以周期 当时，且f(x)为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C5. 已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为（ ）A B C. D参考答案：A6. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为(A) (B)(0,1/2) (C) (

3、D)参考答案：B7. 以为焦点的抛物线C的准线与双曲线相交于M，N两点，若MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为ABCD参考答案：C8. 设集合，则 A B C D 参考答案：C9. 已知等比数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D.参考答案：A略10. 若函数与的定义域均为R，则A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出以下五个命题：命题“”的否定是：“”.已知函数的图象经过点，则函数图象上过点P的切线斜率等于.是直线和直线垂直的充要条件.函数在区间上存在零点.已知向

4、量与向量的夹角为锐角，那么实数的取值范围是.其中正确命题的序号是_.参考答案：命题“”的否定是,所以错误。因为函数的图象经过点，所以有，所以，所以，所以在点P处的切线斜率为，所以正确。两直线的斜率分别为，若两直线垂直，所以有，即，所以，解得，所以正确。因为，所以函数在区间上存在零点，所以正确。向量的夹角为若向量共线，则有，即，所以，此时有，向量夹角为0，要使的夹角为锐角，则有且。即，解得，所以实数的取值范围是且，所以错误。所以正确的命题的序号为。12. 设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱

5、锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为di，若等于参考答案：【考点】类比推理【分析】由可得ai=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积【解答】解：根据三棱锥的体积公式 得：，即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，即故答案为：13. 已知函数在内是减函数，则实数的范围是 参考答案：?0 略14. 已知关于的不等式0的解集是，则_。参考答案：-2略15. 在九章算术中，将四个面都

6、是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，且有，则此鳖臑的外接球O（A、B、C、D均在球O表面上）的直径为_；过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为_.参考答案：3 【分析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.故答案为： 3 【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.16. 若直

7、线ykx+b是曲线yex2的切线，也是曲线yex1的切线，则b参考答案：解：设直线ykx+b与yex2和yex1的切点分别为（）和（），则切线分别为，化简得：，依题意有：，x12x2，x2ln2，则b故答案为：17. 如图，在边长为4的正方形纸片中，与相交于,剪去,将剩余部分沿、折叠，使、重合，则以、（）、为顶点的四面体的体积为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列满足证明：（）（为自然对数底数）； （）；（）参考答案：证明：() 设因为 当时，即在单调递减因为 所以 即 5分() 即证 即证 设 因为当时，即 在上单调递增所

8、以 即 时，有所以 所以 10分() 因为 设 因为 所以 15分19. 已知（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.参考答案：（1），当0，单调递减，当，0，单调递增.0tt+2，无解；0tt+2，即0t时，；t+2，即时，在上单调递增，；t所以 .（2），则，设0），则，0，单调递减，0，单调递增，所以因为对一切恒成立，所以；（3）问题等价于证明，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立.略20. 已知函数f（x）=2ex22axx2（x0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间，并证明

9、此时f（x）0成立；（2）若f（x）0在x0，+）上恒成立，求a 的取值范围参考答案：【分析】（1）当a=1时，设g（x）=f（x）=2（exx1），g（x）=2（ex1）0，（x0），由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间，并证明此时f（x）0成立（2）法一：当a1时，f（x）=2（exxa）0，从而f（x）0恒成立，x0，+）；当a1时，设h（x）=f（x）=2（exax），h（x）=2（ex1）0，（x0），由此利用导数性质能求出a的取值范围法二：（分离变量法）x=0时f（0）=0，x0时f（x）0?a=g（x），g（x）=，令h（x）=xexex+1x2，h（x）=x（ex1）0，由

10、此利用洛比达法则能求出a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，设g（x）=f（x）=2（exx1），g（x）=2（ex1）0，（x0）f（x）在0，+）上递增，即x0时f（x）f（0）=0，f（x）的增区间为0，+），无减区间，且x0时，f（x）=2ex22xx2f（0）=0（2）解法一：当a1时，f（x）=2（exxa）2（x+1xa）=2（1a）0，x0时f（x）f（0）=0，即当a1时，f（x）0恒成立，x0，+），当a1时，设h（x）=f（x）=2（exax），h（x）=2（ex1）0，（x0），f（x）在0，+）上递增，又f（0）=2（1a）0，f（a）=2（ea2a），由（1）已

11、证2ex22xx20，知ex1+x+x2，f（a）2（1+a+a22a）=（a1）2+10，f（x）在（0，a）上存在唯一零点xo，即ax0=0，f（x）在（0，xo）上递减，在（xo，+）上递增，又f（xo）=222axoxo2=2（1x0+xo2），令g（x）=ex1xex+x2，x（0，a），g（x）=x（1ex）0，当x0时g（x）g（0）=0，即f（xo）0，不满足f（x）0恒成立，由可知a的取值范围为（，1解法二：（分离变量法）x=0时f（0）=0，x0时f（x）0?a=g（x），g（x）=，令h（x）=xexex+1x2，h（x）=x（ex1）0，x0时h（x）h（0）=0，g（

12、x）0，即g（x）在（0，+）上递增，由洛比达法则g（x）=（exx）=1（适用于参加自主招生学生），a的取值范围为（，1【点评】本题考查函数的单调区间的求法，实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，考查函数与方程思想，是中档题21. 已知函数f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，当x0时，f（x）=+1（1）当x0时，求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在区间（，0）上是单调增函数参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据函数f（x）是奇

13、函数，得出f（x）=f（x），再根据x0时f（x）的解析式，求出x0时f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）是（，0）上的单调增函数即可【解答】解：（1）函数f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，f（x）=f（x）；又x0时，f（x）=+1，x0时，x0，f（x）=+1=+1；f（x）=+1，f（x）=1；即x0时，f（x）=1；（2）证明：任取x1、x2（，0），且x1x2，则f（x1）f（x2）=（1）（1）=，x1x20，x1x20，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）是（，0）上的单调增函数【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目22. 如图，在三棱锥S-ABC中，SC平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，ACB=90，直线AM与直线SC所成的角为60。 （1）求证：