《高等数学》第九章第一节二重积分的概念与性质课件

1、高等数学第九章第一节二重积分的概念与性质高等数学第九章第一节二重积分的概念与性质柱体体积 = 底面积 高特点：平顶.柱体体积 = ？特点：曲顶.曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体柱体体积 = 底面积 高特点：平顶.柱体体积 = ？特点：播放求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示播放求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、求和、取极限。求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、步骤如下：1. 分割2. 取近似3. 求和4. 取极限步骤如下：1. 分割2. 取近似3. 求和4. 取极限求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近

2、似看作均匀薄片， 所有小块质量之和近似等于薄片总质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近二、二重积分的概念二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量- 被积表达式面积元素积分区域积分和被积函数积分变量- 被积表达式面积元对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为则面积元素为D在直角坐标系下用平行于坐故二重积分可写为则面积元素为D性质当 k 为

3、常数时，性质1（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质二重积分线性性质性质当 k 为常数时，性质1（二重积分与定积分有类似的性性质2对区域具有可加性性质3若 为D的面积，性质4若在D上特殊地则有性质2对区域具有可加性性质3若 为D的面积，性质4若在D上05高数一05高数一性质5性质6（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质5性质6（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质7右思考:关于y轴对称情况!性质7右思考:解因此，由性质5知即 xyOab解因此，由性质5知即 xyOab解 xyO解 xyO解解0y x112x + y =1x + y 1由二重积分的性质更确切的I1 1

4、(x + y)2 1由二重积分的解P79-3x + y =2解P79-3x + y =2解（1）先画出积分区域的图形xy1-11ODxy-1110例6 计算下列二重积分x3y为奇函数,此项为0解（1）先画出积分区域的图形xy1-11ODxy-1110例二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结作业：78页 3-(3), 4-(4)，5-(2)(3)二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式的极限值，且此值只与被积函数及

5、积分区域有关思考题解答不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出定积分与二重积高等数学第九章第一节二重积分的概念与性质求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示求曲顶