初中数学北师大九年级下册（2023年新编） 二次函数 二次函数与一元二次方程教学设计 张芳

1、教 学 设 计二次函数与一元二次方程（第一课时）北师大版义务教育教科书九年级（下）第二章新课 教 师 张 芳 二次函数与一元二次方程（第1课时）教材分析教材内容本节是北师大版义务教育教科书九年级（下）第二章二次函数第5节二次函数与一元二次方程第1课时，内容为体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，以及何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根；理解二次函数的图象与直线 (为实数)图象交点的横坐标就是一元二次方程的根，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力。本节涉及的知识点比较多，对学生积累的数学经验和掌握

2、的基本知识以及基本技能要求较高，因此教学时只有紧紧结合二次函数图象，才能对二次函数与一元二次方程的联系有一个完整、清晰的认识。2、地位及作用本节课用到的数学思想有函数思想、方程思想、数形结合思想等，可以说本节内容是初中数学知识与思想的集中呈现，本节是提升数学经验、培养数学思想方法的综合课例，是初中阶段所学的有关函数知识的主要内容之一，更是高中进一步研究二次函数与一元二次方程关系的重要基础.二、学情分析1、知识技能基础学生在七年级掌握了一元一次方程及方程组的解法和应用，了解了坐标系的相关知识，八年级学习了一次函数，学会用函数观点看方程，有初步的数形结合解决问题的能力，而在九年级学生又系统地学习了

3、一元二次方程的解法及应用，之后学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成。但学生已经了解了函数与方程的知识，掌握了研究函数关系的能力，会数形结合地解决问题，具备探索本节课的数学基础。通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。2、活动经验基础 在本章内容的学习过程中，学生已经经历认识二次函数图象、求解二

4、次函数解析式、建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值等方法，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系。同时在以前的数学学习中学生通过一次函数图象的学习，对一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，初步了解了方程与函数之间的联系。学生已经获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力3、任教学生特点本班学生是成都外国语学校实验班学生，基础扎实，求知欲强，能积极投入到数学活动，基础运算能力较高。特别说明，本节课以教材为纲，以学情为本，灵活处理，在大纲要求的基础上进行了适当的拓展与延伸，通过设置问题情境、分组讨论、

5、探究式学习，让学生从“数”和“形”两个主要因素出发，用数形结合的思想来认识和理解二次函数与一元二次方程的关系.三、目标分析1.教学目标知识与技能目标： = 1 * GB3 理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根对应的函数图象特征. = 2 * GB3 理解二次函数的图象与直线图象交点的横坐标就是一元二次方程 的根.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法.过程与方法目标： = 1 * GB3 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，理解方程与函数之间的联系,提高运用数形结合等转

6、化思想来研究数学问题的能力. = 2 * GB3 学生通过学习，提高了对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证观点的再认识.情感态度与价值观目标： = 1 * GB3 通过联系实际，探究二次函数与一元二次方程的关系，能够体会到数学的实际应用价值. = 2 * GB3 在合作学习过程中增强与他人的合作意识.2教学重点 = 1 * GB3 理解二次函数的图象与直线图象交点的横坐标就是一元二次方程 的根. = 2 * GB3 掌握解决二次函数与直线的交点问题的方法.3教学难点归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系，灵活运用数形结合等数学思想解决二次函数与直线的交点问题.4.突出重点、突破难点的策略在

7、教学中，为了更好的体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织启发引导，学生探索交流发现，组织开展教学活动。设置问题情境，激发学习兴趣，运用多媒体手段辅助教学，以问题解决为中心，探究知识间的相互联系，体验数学活动的探索与创造，在获取新知的基础上，提升数学活动经验。四、教学、学法教法：讨论交流法学法：小组学习法五、教学过程结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：深化练习完善体系（6分钟）对比填表初成体系（6分钟）典型例题形成体系（25分钟）创设情境导入新课（3分钟）教学环节教师活动学生活动设计

8、意图第一环节创设情境导入新课一、播放投篮视频，引出课题.引例： 身高2米的小明在处进行投篮实验，球的运动路线是抛物线 的一部分（如图），其中为球的出手点，为篮球的高度，为运动时间,那么：篮球经过多少秒后落地?何时篮球离地面的高度是?教师展示图片，引出问题：同学们结合图形解决了第1个问题，大家令h=3将一个二次函数问题转化为一个二次方程问题，是这样的吗？二次函数与一元二次方程到底又有怎样的具体联系呢？这就是我们今日要研究的课题。教师板书课题。学生观看视频，思考与本节课的联系。学生通过教师展示的问题进行思考，回答问题。以学生所热爱的篮球运动为切入点，学生的学习积极性被激发。 本节课的引入并没有采用

9、教材中的引例，而是由学生熟悉和喜爱的投篮视频入手，创设了与实际联系更为紧密的问题情境，导入新课，将数学问题生活化，用视频的形式引起学生的学习兴趣，增强好奇心，激发学生的探究热情和求知欲望，将学生的注意力转移到课本学习当中来。第二环节对比填表初成体系新课 完成表格：总结:解一元二次方程的实质就是求当相应的二次函数值为0时自变量的取值，方程的根反映在图象上就是求相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标，方程根的个数就是对应函数图象与轴交点的个数.二次函数图象与轴的交点情况决定了对应的一元二次方程根的情况，反之由一元二次方程根的情况，也可以确定对应二次函数图象与轴的交点的个数.一元二次方程与二次函数图象

10、是“数”与“形”的有机结合，我们可以根据函数图象的特征来分析对应方程中的数量关系，也可以由方程中的某些数量关系得出对应函数图象的特征.学生通过独立思考，自主探究二次函数的图象与轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系，鼓励学生归纳总结，培养学生语言表达能力。学生通过仔细观察二次函数与轴的交点情况，为探讨二次函数与一元二次方程之间的关系做铺垫，学生很容易发现二者之间的联系，利于学生归纳、理解和掌握新知.第三环节典型例题形成体系第三环节典型例题形成体系第三环节典型例题形成体系第四环节深化练习完善体系例题精析：例：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点.(1)抛物线与轴的交点、的坐标是：

11、（ ）（ ）（2）抛物线与直线的交点坐标是： .总结: 二次函数与直线 (为实数)图象交点的横坐标就是一元二次方程的根.思考：抛物线与直线一定有交点吗？ 图1图1思维快车：1. 一元二次方程的根可以看作（ ）A.二次函数与轴的交点的横坐标.B.二次函数与直线的交点的横坐标.C.二次函数与直线的交点的横坐标.D.二次函数与轴的交点的横坐标.2二次函数的图象如图所示，则有实数根的条件是 .（3）求抛物线与直线的交点坐标；（4）当抛物线与直线有唯一交点时，求的值；有两个交点时，求的取值范围.（4）题教师板书例题解答过程，规范步骤.强调从“数”的角度解决“形”的问题小结：二次函数与直线图象交点的横坐标

12、就是一元二次方程的根. 一元二次方程的根的情况可以判断函数图象的交点情况.思维风暴如图2，将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象其余部分不变，得到一个新的图象，思考：（1）讨论直线与新图象的交点情况；图2（2）当直线与新图象有一个交点时，求的值；（3）当直线与新图象有两交点时，求的取值范围；当直线与新图象至少有三个不同的交点时， 求的取值范围.教师强调（3）题，根据学生的讲解进行适当补充，强调借助“形”分析问题，再结合“数”解决问题.学生讲解结束了几何画板展示运动过程.（1）题学生结合图形，经过简单计算便可解决.（2）题过后及时进行小结，由特殊到一般，学生很容易可以得出结论.思考题

13、学生独立思考后再小组内部交流，再由小组代表讲解解题思路，其他学生可做补充。可能呈现两种解答方法：可以将二次函数与直线联立之后转化为一元二次方程,结合根的判别式从“数”的角度来解决；也可以利用图形，从“形”的角度来解决.教师对回答的学生进行评价，特别强调数形结合，对数学思想、解答方法作总结.思维快车要求学生快速解决.思维快车共2题：1题比较简单，2题在思考题的铺垫下，从“数”的角度解决问题的学生应该很少，此题从“形”的角度解决显得更为直观、快捷，再次体现了数形结合的优越性.（3）题学生提供解题思路，教师PPT展示解题过程.（4）题学生与教师共同完成。思维风暴由学生先在学案上独立思考完成,再小组内

14、讨论交流,订正改错,再由小组代表投影并讲解解答思路,其他学生可作补充. 探索是数学教学的生命线，倡导探索性学习，引导学生知道知识的探索过程。鼓励学生借助图象与方程解决问题，从而沟通“数”与“形”的联系，进一步感受二次函数与一元二次方程的联系.通过使学生进一步的理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想，也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.学以致用，及时巩固，最大限度地调动全体学生学习数学的积极性.从实数系函数关系升级到含字母系数的函数关系的讨论，符合由特殊到一般的研究规律，分解了学习难度

15、让学生在探究二次函数与一次函数图象交点问题的过程中，形成解决函数图象交点问题的一般方法，加深学生对函数图象交点问题的认识和理解.“一题多变”，深化学生知识理解，激发学生的探究热情，加强学生思维的深刻性，培养学生的思维创造性，对知识进行有效迁移、灵活应用，提高学生的学科核心素养.思维挑战： 若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 .若是关于的方程的两根，且,则的大小关系是 .3.如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则函数的图象可能是（ ）. . . .归纳总结，深化目标同学们经历了这节课的探索学习，请思考：（1）这节课我收获了什么？ （2）我感受最深的是什么？（3）我感到疑惑的是什么？

16、（4）我想进一步研究的是什么？布置作业1.教科书53页课后思考：（1）已知抛物线,求： = 1 * GB3 为何值时，抛物线与轴相交于两点、一点或不相交？ = 2 * GB3 为何值时，抛物线与轴的两个交点，分别在原点的两侧？（2）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为 = 1 * GB3 直接写出图象与轴的交点，的坐标； = 2 * GB3 在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； = 3 * GB3 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象至少有三个公共点时，求出的取值范围思维挑战由学生先在学案上独立思考完成,再小组内交流,订正改错,再由小组代表投影并讲解解答思路,其他学生可作补充. 教师对回答的学生作评价,对数学思想解答方法作总结.学生先独自思考，再进行小组交流.让学生自己小结，活跃课堂气氛，全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.思维挑战，深化练习，第1题将函数图象交点问题转化为一元二次方程根的问题进行求解，让学生感受到转化与分类讨论思想在分析问题解决问题中的作用，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性.问题2学生可以结合函数图象平移知识来解决问题也可以通过移项转化为二次函数与直线的交点问题解决. 问