复变函数与积分变换第一章

1、复变函数与积分变换第一章第1页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二复变函数与积分变换及应用背景 (古今数学思想(MathematicalThought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.第2页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二的概念, 从而建立了复变函数理论. 为了建立代数方

2、程的普遍理论，人们引入复数 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分. (1) 代数方程在实数范围内无解. 说: 实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变第3页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题.第4页，共161页，2022年，5月20日，22点

3、53分，星期二变换应用于频谱分析和信号处理等. (8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础. 积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(9)第5页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二变换应用于控制问题. 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(11) Z变换应用于离散控制系统.(12) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和

4、图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件(10)第6页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二复变函数与积分变换的主要内容1 复变函数与解析函数2 复变函数的积分3 复变函数的级数4 留数及应用5 保角映射6 Fourier变换7 Laplace变换8 Z变换9 小波变换基础第7页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二第一章 复变函数与解析函数 本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的连续性，重点研究解析函数.最后介绍几个基本的初等解析函

5、数.第8页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.1 复 数1 复数的概念2 复数的四则运算3 复数的表示方法4 乘幂与方根第9页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.1.1 复数的概念 由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍理论，引入等式 由该等式所定义的数称为第10页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 当复数的虚部为零、实部不为零(即 y=0, )时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数 x ,而虚部不为零(即 )的复数称为虚数. 在虚数中, 实部为零(

6、即x=0, )的称为纯虚数. 例如, 3+0i=3是实数, 4+5i, -3i都是虚数, 而-3i是纯虚数. 数 x+iy (或 x+yi )的 , 并记做 称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中 x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复第11页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二显然, z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数, 即 共轭复数 复数 x-iy 称为复数 x+yi 的 (其中x, y均为实数), 并记做 . 第12页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.1.2 复数的四则运算注意 复数不能比较大小. 设z1=x1

7、+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2. 复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下： (1) 复数的和与差第13页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(2) 复数的积(3) 复数的商复数运算的性质1. 交换律 第14页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二2. 结合律 3. 分配律 第15页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解例 1.1 设 求与第16页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例 1.2第17

8、页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.3设z1, z2是两个复数, 证明 证明因为 所以由运算规律7，有本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明. 第18页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 给定一复数z=x+yi, 在坐标平面XOY上存在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应. 反之, 对XOY平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+yi与它对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以用XOY平面上的点表示复数z. 这时把XOY平面平面称为复平面. 有时简称为z平面. 1.1.3 复平面与复数的表

9、示法第19页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 显然, 实数与x轴上的点一一对应, 而x轴以外的点都对应一个虚数, 纯虚数 与y轴上的点(除原点)对应. 因此, 称x轴为实轴, y轴为虚轴. 今后把复平面上的点和复数z不加区别, 即“点z”和“复数z”是同一个意思. 有时用C 表示全体复数或复平面. 复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示(如图). 第20页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则. 用 表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y. 把向量 的长度r 称为复数

10、z的 或称为z的绝对值, 并记做|z|. 显然 第21页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 如果点P不是原点(即 ), 那么把轴的正向与向量 的夹角 q 称为复数 z 的辐角, 记做Argz. 对每个 , 都有无穷多个辐角, 因为用q0表示复数z的一个辐角时, 就是z的辐角的一般表达式. 第22页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二有时, 在进行说明后, 把主辐角定义为满足的方向角；但当z=0时, |z|=0. 满足 的复数z的 称为主辐角(或称辐角的主值), 记做argz, 则的辐角, 这时上式仍然成立. 当z=0时, Argz没有意义, 即零向

11、量没有确定第23页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 当 时, 有利用直角坐标与极坐标之间的关系 数z的三角表示式. 再利用Euler公式 复数z=x+yi 可表示为 称为复复数z=x+yi 又可表示为 称为复数的指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.第24页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二当 时, 当 时, 共轭复数的几何性质一对共轭复数z和 在复平面的位置是关于实轴对称的.第25页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二复数和与差的模的性质 从几何上看, 复数 z2-z1所表示的向量, 与以z1为起点、z2为终点的

12、向量相等 (方向相同, 模相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算. 第26页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.1.4 乘幂与方根设复数z1和z2的三角表示式为 根据乘法定义和运算法则及两角和公式,第27页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二于是应该注意的是 中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.元素相加构成的集合第28页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为先将z1按逆时针

13、方向旋转角度 ,再将模变到原来的r2倍,于是所得的向量z就表示乘积第29页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二利用数学归纳法可以证明：如果 特别地, 如果那么那么第30页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二如果写成指数形式，即如果 那么特别地，当|z|=r=1时, 变为第31页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二称为De Movie公式. 那么De Movie公式仍然成立. 设如果定义负整数幂为 当 (即 )时,第32页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二则如果将z1和z2写成指数形式 于是 两个复数商的模

14、等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.第33页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二方根, 记做 或 如果 于是, 当 时,对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次第34页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二满足以上三式的充分必要条件是其中 表示算术根. 于是 当取k=0,1,2,n-1时, 对一个取定的q, 可得 n个相异根如下 第35页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由三角函数的周期性第36页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 可见, 除w0,w1,wn-1外, 均是重

15、复出现的, 故当z=0时, w=0就是它的n次方根. 常取主辐角. 若用指数表示式, 则当z=reiq时, 这n个复数就是所要求的n个根. 在上面的推导过程中, 可取q为一个定值, 通第37页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.4 求方程 w4+16=0的四个根. 因为-16=24e(2k+1)pi , 所以w4=24e(2k+1)pi . 于是 第38页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二w1, w2, w3, w4恰好是以原点为圆心、半径为2的圆一般情况下, n个根就是以原点为中心、半径为 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数. |z

16、|=2的内接正方形的四个顶点(如图).第39页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数. 设S是与复平面C切于原点O的球面. 过原点O做垂直于平面 C的直线, 与S的另一交点为N. 原点O称为S的南极(S极), 点N称为S的北极(如图). 1.1.5 复球面与无穷远点第40页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数. 球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北

17、极 N 越近,它所表示的复数的模越大.第41页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 规定: 复数中有一个唯一的 “无穷大” 与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示. 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为扩充复平面. 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应, 这样的球面称为复球面.第42页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 对于复数的无穷远点而言, 它的实部、虚部,辐角等概念均无意义, 规定它的模为正无穷大.(1) 加法(2) 减法(3) 乘法(4) 除法第43页，共1

18、61页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.2 平 面 点 集1 区域2 Jordan曲线、连通性第44页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.2.1 区域 1. 邻域 z0是复平面内的定点, 满足不等式|z-z0|d的一切点所组成的集合 z| |z-z0|0. z0的邻域实际上是以z0为中心, d为半径的圆的内部所有点组成的点集, 简记为B(z0,d). 由满足不等式0|z-z0|R (R0)的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域. 用R|z|0, 满足 第46页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二3. 外点4. 边界点 设

19、E是复平面上的点集, z0是一个定点, 若存在z0的一个邻域, 使得在此邻域内的一切点均不属于E, 则称z0是E的外点. 即存在r 0, 满足 设E是复平面上的点集, z0是一个定点, 若z0的任何邻域内都含有属于E的点和不属于E的点, 则称z0是E的边界点 . 第47页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二即对任意的r 0, 存在 z1, z2B(z0,r), 满足 显然, E的内点属于E, 而外点不属于E, 但边界点既可能属于E, 也可能不属于E. E的边界点的全体所组成的集合称为E的边界, 记做E. 5. 开集 设G是复平面上的点集, 如果G 内每一点都是它的内点,则

20、称G 为开集.第48页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 例1.5 设z0是定点, r 0是常数, 则z0为中心, 以r为半径的圆的内部点, 即满足不等式 |z-z0|r 的一切点z所组成的点集 (z0的r邻域) 是开集. 当 0rR (r 和 R 均是常数) 时, 满足不等式r |z-z0|R的一切z所组成的点集也是开集. 但满足不等式 r|z-z0|R的一切点所组成的点集不是开集. 因为在圆周|z-z0|=R上的点属于集合r|z-z0|R, 但这些点不是它的内点, 而是边界点. 第49页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 在圆周|z-z0|=

21、r和圆周|z-z0|=R上的点都是点集 r|z-z0|R和 r|z-z0|R 的边界点. 两个圆周上的点都不属于点集r|z-z0|R, 内圆周|z-z0|=r不属于点集r|z-z0|R, 外圆周|z-z0|=R属于点集r0,存在d 0, 使得对一切满足0|z-z0|0, 当 或 zC时，有为了后面的需要, 给出下面一个关于函数有界性的定理.第83页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.4 解析函数1 复变函数的导数2 解析函数第84页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 复变函数的导数(1) 导数的定义 定义1.4设 是定义在区域D上的存在，则称

22、在 点可导, 并把这个极限值称为 在 点的导数，记做 复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限 第85页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 定义中的极限式可以写为 即当 在 点可导时, 注意的方式是任意的.第86页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 此时，对D内任意一点z, 有 也可用 等表示 在z点的导数. 若 在区域 D内每一点都可导, 则称 在区域 D内可导.第87页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二则 例1.9设 在复平面内处处可导，且 解因为所以第88页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二

23、例1.10证明 在复面内处处连续，但处处不可导. 证明对复平面内任意点z, 有 故 这说明 在复面内处处连续. 第89页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二但是, 设 沿着平行于x 轴的方向趋向于 0, 即于是第90页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二所以的导数不存在.设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即第91页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(2) 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有).()

24、()()( 000zfzzfzzfz-D-D+=Dr令第92页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 ,)()(lim000zfzzfz=D+D所以再由即在处连续. 反之, 由 知, 不可导. 但是二元实函数 连续, 于是根据 知, 函数 连续.第93页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(3) 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.第94页，共161页

25、，2022年，5月20日，22点53分，星期二其中其中与是两个互为反函数的单值函数, 且第95页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 解析函数定义1.5 设 在区域D有定义. (1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得 在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析,也称 是 的解析点. (2) 若 在区域D内每一点都解析，则称 在区域D内解析, 或者称 是区域D内的解析函数. 第96页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(3) 设G是一个区域，若闭区域 且 在G内解析，则称 在闭区域 上 解析. 函数 在 处解析和在 处可导意义不同，前者指的是在 的某一邻域

26、内可导, 但后者只要求在 处可导. 函数 在 处解析和在 的某一个邻域内解析意义相同. 第97页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导. 反之, 设函数 在区域D内可导, 则对任意 存在z的某一个邻域U, 使得U D,由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即在z处解析.第98页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二若函数 在 处不解析，则称 是 的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内, 除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数 的孤立奇点. 由例1.9和例

27、1.10知, 函数 是全平面内的解析函数，但是函数 是处处不解析的连续函数. 第99页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二根据求导法则，很容易得到下面的结论.设函数 在区域D内解析, 则 也在D内解析. 当 时, 是的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 第100页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.11证明 在 处可导, 但处处不解析. 证明根据导数的定义, 因此 在 处可导，且 当 时, 由 得 第101页，共161页，2022年，5月20日，22点

28、53分，星期二故虽然但是当 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为 所以 不存在，即 在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析. 第102页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.5 函数可导的充要条件 2 函数可导的充要条件1 函数可微的概念第103页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？1.5.1 函数可微的概念定义1.6设函数 在 的某邻域内有定义, 若存在复常数A, 使得 其

29、中 则称 在 点可微. 第104页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二引理复变函数 在点 可导的充分必要条件是 在 点可微，且证明若 存在，设 则 令 则且第105页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二反之，如果 则 令 则 存在. 这个引理表明, 函数 在 可导与在可微等价.第106页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二与一元实函数类似, 记 称之为 在 处的微分. 如果函数 在区域D内处处可微, 则称在区域D内可微, 并记为第107页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.5.2 函数可导的充要条件定理

30、1.5复变函数 在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要 条件是二元函数 在 处都 可微，并且满足Cauchy-Riemann方程此时 第108页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二证明必要性. 若 存在，设 (a, b是实常数). 由 , 其中 第109页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二显然, 当 时，则 于是有 由两个复数相等的条件可得设第110页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二因此， 在 处可微，且 充分性. 若 在 处可微, 且满足Cauchy-Riemann方程. 令 第111页，共161页，2022年，5月2

31、0日，22点53分，星期二则其中 且当 时， 于是 第112页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由 可得 由 , 可知 在 处可微, 且 显然, 有如下结论成立第113页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二定理1.6复变函数 在区域D内解析的充分必要条件是 在区域 D 内可微, 且在D内满足Cauchy-Riemann方程 在区域 D内 第114页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解析函数的判定方法: (1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接断定f (z) 在区域D内解析

32、. (2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续 (因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微), 并且满足Cauchy-Riemann方程, 则由解析函数的充要条件可以断定函数f (z)在区域D解析.第115页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.12证明函数 是复平面C上的解析函数，且 证明显然， 在全平面上可微，且 第116页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 在全平面处处满足Cauchy-Riemann方程, 所以 是复平面C上的解析函数, 并且 Cau

33、chy-Riemann方程在解析函数论及其在力学、物理学等的应用中具有根本性的意义,特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要作用.第117页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 和 在全平面内处处可微，但 只有在实轴 上满足Cauchy-Riemann方程, 所以 在实轴上可微. 但在任何一点的邻域内都有不可微的点，因此， 处处不解析. 例1.13设 问 在何处可微? 是否解析? 解记 显然, 函数 第118页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.14设 其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z) 在复平面上解析. 解显

34、然， 在全平面可微，且 第119页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二容易看出, 当 时, 函数满足Cauchy-Riemann方程, 这时 函数 在全平面解析. 第120页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.15 如果 在区域D内处处为零, 则f (z)在区域D内为常数.证明 根据所以 都是常数. 因此 f (z)在区域D内为常数.第121页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.6 初等解析函数1 指数函数2 对数函数3 幂函数4 三角函数和双曲函数第122页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由

35、1.6.1 指数函数在z平面上解析，且 当z为实数, 即 当 y=0时, 与通常实指数函数一致, 因此 给出下面定义. 定义1.7假设 则由 可知, 函数第123页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二定义复指数函数，记 或简记为显然与指数函数符号一致与 相一致但也有不妥之处以后说明第124页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二定理1.7 设 为指数函数，则 在全平面解析， 且 从而 其中n正整数;(1)(2)当 时, 其中 (3)是周期函数, 其周期是 n非零整数, (4)的充分必要条件是 n为整数. 即第125页，共161页，2022年，5月20日

36、，22点53分，星期二证明只证明(1) . 令 于是由指数函数定义 第126页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.16求 的实部与虚部. 解令 因为 所以从而有第127页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1.6.2 对数函数定义1.8指数函数的反函数称为对数函数,即把满足方程 的函数 称 为z的对数函数，记作 令 则由 可得 从而由复数的相等的定义知, 即 其中k为整数, 或 第128页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二所以由于 是多值的，所以 是多值函数. 如果记 则对数函数可写为 对应某个确定的k, 称为对数函数的

37、第k个 个分支, 对应 k=0 的分支，称为对数函数主支.第129页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二于是 即是对数主支, 称为对数函数的主值. 对数函数各分支之间，其虚部仅差 的 倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定 k的值)时, 的值就被确定. 例如, 如果给定分支的虚部落在区间 中，那么 即取 k=0 的那个对数分支. 第130页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二如果给定分支的虚部落在区间 中, 那么 即取 k=1 的那个对数分支. 这可在 中取 k=1 得到. 第131页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 利用复数

38、的乘积与商的辐角公式易证，复变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与商的相应公式 在实函数对数中，负数不存在对数；但在复变数对数中，负数的对数是有意义的. 例如 第132页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二下面讨论对数函数的解析性. 对于对数主支 其实部 在除原点外的复平面上处处连续; 但其虚部 在原点与负实轴上都不连续, 因为对于负实轴上的点 有 所以, 在即在除去原点与负实轴的复平面上, 处处连续. 第133页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二定理1.8对数主支 在 区域 上解析(如图), 并且证明记 则 由 对任意的 有D第134页，共16

39、1页，2022年，5月20日，22点53分，星期二对于其他各给定的对数分支，因为 (k确定),所以也有 因此，对于确定的 k, 称 为一个单值解析分支. 第135页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.17求 的值. 解因为 所以第136页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二于是事实上，以上结果还可以由直接得到第137页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 幂函数定义1.9设z为不等于零的复变数, m为任意 为 一个复数，定义幂函数 即 当z为正实变数，m为实数时，它与实幂函数的定义一致，而z为复变数，m为复数时 第138页

40、，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由于 的多值性，所以 也是多值的， 称为 的主值. 易见： 1. 当m是整数时， 是单值函数； 2. 当m为有理数 时, 其中 为既约 分数, 那么是有限多值的，且 3. 当m为无理数或虚部不为零的复数时， 是无穷多值的. 第139页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二上述定义实质上包含了复数的n次幂函数 与n次方根函数的定义. 因为 (1) 当m=n (n是正整数)时,(指数为n项之和)(n个因子 之积)(n个因子z 之积)(2) 当 时，有 第140页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二当

41、z给定时，它与复数z的n次方根的定义完全一致.例1.18求 的值. 解按照定义，有 第141页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.19求 的值. 解 因为 在区域 上解析, 所以幂函数 在该区域上解析, 并且根据复合函数求导公式, 可得 第142页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二注意 因为所以与的不一致性.约定:第143页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二因为将两式相加与相减, 得定义1.10定义三角函数与双曲函数如下: 正弦函数 余弦函数 1.6.4 三角函数和双曲函数第144页，共161页，2022年，5月20日

42、，22点53分，星期二双曲正弦函数 双曲余弦函数 当z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数是一致的. 由于 在复平面上是解析的，所以 正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个 复平面上都是解析的. 第145页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二容易证明并且具有下面的一些性质: 是以 (1)为周期的周期函数； 是以 为周期的周期函数. (2) 为奇函数; 为偶函数. 第146页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(3) 一些恒等式关系仍成立. 第147页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二(4) 三角函数与双曲

43、函数满足关系式 (5) 不是有界函数. 因为第148页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二虽然 但是当 时, 所以当 时, 即 是无界函数. 这与实正弦函数有本质区别. 余弦函数类似.所以第149页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例1.20解方程 解因为 所以原方程可改写为即 所以可化简得 解方程可得 因此, 可以求出第150页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 可以定义其它的三角函数及反三角函数与反双曲函数. 例如正切函数和余切函数分别为第151页，共161页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解 设 例1.21 确定 的实部和虚部.第152页，共161页，202