1991年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案

1、E-mail:第 页（共10页）1991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内+4()()()()已知Sina=5，并且a是第二象限的角，那么tga的值等于4334(A)-3(B)-4(C)4(D)3焦点在(1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是(A)y2=8(x1)(B)y2=8(x1)(C)y2=8(x1)(D)y2=8(x1)函Sy=cos4xsin4x的最小正周期是(A)-(B)n(C)2n(D)

2、4nP(2,5)关于直线x+y=O的对称点的坐标是(A)(5，2)(B)(2，5)(C)(5，2)(D)(2，5)(5)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对5兀TOC o 1-5 h z(6)函Sy=sin(2xy)的图像的一条对称轴的方程是()兀兀兀5兀(A)x=-(B)x=-(C)x=-(D)x盲(7)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在A4BC内，那么O是A4BC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(8)已知a是等比数列，且a0

3、，aa+2aa+aa=25，那么a+a的值等于()nn24354635(A)5(B)10(C)15(D)206x+5已知函数丁=(xWR,且xM1),那么它的反函数为x-16x+5(A)y=(xR,且xM1)x-1x-15(C)y=(xR,且xM三)6x+56x+5(B)y=(xWR,且xM6)x-6x-6(D)y=(xWR,且xM5)x+5()(10)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种(11)设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(A

4、)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)(12)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件limn(1-)(1)(1)(1一)的值等于345n+2(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果ACv0且BCv0,那么直Ax+By+C=0不通过(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(14)如果奇函数fx)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么fx)在区间7,3上是(A)增函数且最小值为5(B)增函数且最大值为5(C)减函数且最小值为5(D)减函数且最大值为5(15)圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=

5、0的距离为*2的点共有(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题：本大题共5小题；每小题3分,共15分把答案填在题中横线上(16)双曲线以直线x=1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是运-1兀(17)已知沁=丁，则sin2(x?)=(18)不等式lg(x2+2x+2)v1的解集是(19)在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数al,那么(20)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、迈、3、2.如果对角线AC与过点A的相邻三个面所成的角分别是a、0、Y，那么cos2a+cos20+cos2

6、y=*三、解答题：本大题共6小题；共60分.(本小题满分8分)求函数丁=$込2工+2sinxcosx+3cos2x的最大值.(本小题满分8分)所成的角45,求这个棱台的体积.(本小题满分10分)1211设a是等差数列,b=(pa.已知b+b2+b3=百，bb2b3=石.求等差数列的通项a.nn2n12381238n(本小题满分12分)1设a0，aM1,解关于x的不等式ax4-2x2(_)a2.a(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP丄OQ,IPQI=求椭圆的方程.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答

7、及评分标准说明：一本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则二每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分三为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤四解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数

8、五只给整数分数一选择题本题考查基本知识和基本运算每小题3分，满分45分(1)A(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)D(8)A(9)B(10)C(11)A(12)C(13)C(14)B(15)C二填空题本题考查基本知识基本运算每小题3分，满分15分10(16)(2,2)(17)2(18)xl4xv2(19)I+-5(20)2三解答题本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质满分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)+2sinxcosx+2cos2x2分=1+sin2x+(1cos2x)4分=2+sin2x+cos2x=2+v2sin(2x

9、+”).6分4当sin(2x+)=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+2.8分注：没有说明“当sin(2x+-)=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分.本小题考查复数基本概念和运算能力满分8分解：z23z+6(1+i)23(1+i)+6z+1=1+i+12分=1i4分1啲模r=：12+(-1)2=：2.因为1i对应的点在第四象限且辐角的正切7tgQ=1，所以辐角的主值e=n.8分4本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力满分10分解：因为A”丄底面ABC,所以根据平面的垂线的定义有A”丄BC.又BC丄BB1，且棱AA和BB的延长线交于一点，所以利用

10、直线和平面垂直的判定定理可以推出BC丄侧面AABB,从而根据平面的垂线的定义又可得出BC丄AB.3分ABC是直角三角形，ZABC=90o.并且ZABB1就是BB和底面ABC所成的角,ZABB=45.作BD丄AB交AB于D,贝鮭召“人”，故B”丄底面ABC.RtASDB中ZDBB=45,DB=DB1=AA1=a，AB=2a6分由于棱台的两个底面相似，故RtABCRtA1B1C1.*.*BC1=AB1=a,AB=2a,BC=2a1a2Sj=2A1B1xB1C1=1S下=2ABxBC=2a2.V棱台=丄.A/.C+3S+S)31上上下下8分(|a2a2宀宀+(x2a2+2a2227=a3.610分(

11、24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力.满分10分.解设等差数列an的公差为d贝ya”=a+(nl)d.1、a+(n-1)db二一1n12丿b1b3=1由b1b2b3=81解得b2=2.18代入已知条件bbb_1238b+b+b123_218整理得bb_1,134a-a2.根据指数函数性质，分为两种情形讨论：(I)当0vavl时，由式得x42x2+a20,所以式等价于x21-乜1a2，x2v1+寸1a2.解式得x：l1a2，解式得一i1+1a2vxv；l+：1a2.1分3分5分7分所以，0vav1时，原不等式的解集为TOC o 1-5 h zI*,j*I/IIi

12、xlY1+；1a2vxv11.1a2Uxl门-1a2x1+1时，由式得x42x2a20，9分由于a1，判别式厶0,故式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为xlvx+.12分综合得当0vav1时，原不等式的解集为|i|iixli：1+v1a2xi：11a2Uxli：1v1a2x1时，原不等式的解集为xlvxv+.解法二原不等式可写成ax42x2aa2.1分(I)当0a1时，由式得x42x2a2v0，3分分解因式得(x21+：1a2)(x21v1a2)0,即,X21*1a20;VIx21+11a20,或0.解由、组成的不等式组得一v1+；1a2x11a2.或：11a2vxv1+1a2由、组成的不

13、等式组解集为空集；所以，Ovav1时，原不等式的解集为xl门+；1a2vx1时，由式得TOC o 1-5 h zx42x2+a20,9分配方得(x21)2+a210,对任意实数x,不等式都成立，即a1时，原不等式的解集为 HYPERLINK l bookmark154 o Current Document xl8xv+s.12分综合得当0a1时，原不等式的解集为xl-C+、：1a2vxv-门1a2UxlCJIa2x1时，原不等式的解集为xIbvxv+b.(26)本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力.满分12分.解法一设所求椭圆方程为x2

14、b2+a2依题意知，点P、Q的坐标满足方程组Ix2+y2a2b2二1,y二x+1.普通高等学校招生考试数学试题北大附中广州实验学校王生2+222E-mail:第 页(共10页)将式代入式，整理得TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark162 o Current Document （a2b2）x22a2xa2（1b2）=0,2分设方程的两个根分别为X,x2，那么直线y=x+l与椭圆的交点为P（x1，x11），Q（x2，x21）3分V10,由题设OP丄OQ,IPQI=厂，可得X+1X+1T=-1,XX12Cxx丄+Rx+1)Cx+1)1=2121整理得6分)+2xx+1=0,)2一16xx一5=0.212解这个方程组，得1xx=,1243x+x=1221xx=1241x+x=122根据根与系数的关系，由式得2a22a2(I)a2b2a2b2(II)a2a2b2b210分解方程组（I）,（II）,a2a2=2,b2=2.故所求椭圆的方程为x2y2=1,x2y2=1.12分解法二同解法一得普通高等学校招生考试数学试题北大附中广州实验学校王生E-mail: