大题专练训练38 导数（双变量与极值点偏移问题1）-2021届高三数学二轮复习【含答案】

1、二轮大题专练38导数（双变量与极值点偏移问题1）1已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且（1）求实数的取值范围；（2）求证：解：（1）由，得，令，则或，当或时，；当时，在和 上单调递减，在上单调递增，且有两个正根，（1），的取值范围为（2）关于的方程有两个正实数根，且由（1）知，设，则，在上单调递减，（1），又 在 上单调递减，要证，只需证，即证， 且， 成立2已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求的取值范围（2）设的两个极值点为，证明解：（1）函数的定义域为，函数在其定义域内有两个不同的极值点方程在有两个不同根；转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点又，即时，时，故在上单调增，在

2、上单调减故（e）又有且只有一个零点是1，且在时，在在时，故的草图如右图，即故的取值范围为（2）由（）可知，分别是方程的两个根， 即，设，作差得得要证明只需证明，即只需证明，令，则，只需证明，设 ，函数在上单调递增，（1），故成立成立3已知函数（1）若对任意的实数，函数的图象与直线有且只有两个交点，求的取值范围；（2）设，若函数有两个极值点，且，证明：解：（1），则，由已知得：函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数解，设，则 ，令 得：，时， ，单调递减，时， ，单调递增，且时，；时，时，函数 的图象与直线有且只有两交点（2）证明：， ，函数有两个极值点，方程 有两个不同的实数解，

3、由（1）知：，且，在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，且，设，则，在上单调递减，又，恒成立，即，又在，单调递减，要证，只须证，即证，设，则 ，令，则 ，所以在单调递增，即 ，所以在单调递增，故当时，即，所以，亦即4已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围；证明：解：（1）的定义域为，（）当时，在上单调递增；（）当时，若，则，在上单调递增；若，则，在区间上单调递减；综上：时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，时，单调递增，至多一个零点，不合题意，当时，在上单调递增，在区间上单调递减；，若函数有两个零点，由于时，时，所以，解得，故所求的取值

4、范围为；证明：由题意：，要证，只要证，即只要证即证，令，（1），即成立，故原不等式成立5已知函数，（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，证明：解：（1）当时，令，解得，当或时，函数单调递减，当时，函数单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，证明：（2），在上单调递增，在上单调递减，（1），（2），使得，要证，即证，又且在上单调递增，需证，即证，即证，令，在恒成立，在上单调递增，（1），当时，得证，6已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：1）解：的定义域为，令，方程的判别式，（）当，即时，恒成立，即对任意，所以在上单调递增（）当，即或当时，恒成立，即对

5、任意，所以在上单调递增当时，由，解得，所以当时，；当时，；当时，所以在上，在上，所以函数在和上单调递增；在上单调递减综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）证明：由，得，所以，因为，所以，令，则，所以，所以，所以要证，只要证，即证，由（1）可知，当时，所以在上是增函数，所以，当时，（1），即成立，所以成立7函数在上不单调（1）求的取值范围；（2）若，求证：解：（1），根据题意知，在上有变号根，即方程在上有变号根，等价于方程在上有变号根，即方程在上有变号根，而当时，于是，得（2）证明：函数定义域为，当时，的正负性与一致，令，该二次函数开口向上，对称轴为：，且，（1），故存在，使得，使得，即，均为一元二次方程的根，故，故，其中，故由此，故，令，时，恒成立，此时单调递减；故，对，恒成立8已知函数为常数）（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，且，证明：解：（1），设，当时，成立，则有，所以函数在单调递增，当时，由得或（舍，由得，令，解得：（舍或，故时，故在递增，时，在，单调递增，在单调递减，综上：当，时，函数在的