正弦函数余弦函数的性质(教师教学案)

1、 1.4.2 正弦函数余弦函数的性质【教材分析】正弦函数和余弦函数的性质 是普通高中课程标准实验教材必修中的内容， 是正弦函数 和余弦函数图像的继续， 本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余 弦函数的性质。 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【教学目标】会根据图象观察得出正弦函数、 余弦函数的性质； 会求含有 sin x, cos x 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数 y asinx b(a 0)和函数 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2y acos x bcosx c (a 0)的值域在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问 题、解决问题的能力

2、，养成良好的数学学习习惯 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有sin x, cos x 的函数的值域【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学 生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 酽 锕极額閉镇桧猪訣锥。心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性， 但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强； 能够通过讨论、 合作交流、 辩论得到正确 的知识。

3、 但在处理问题时学生考虑问题不深入， 往往会造成错误的结果。 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【教学方法】1学案导学：见后面的学案。2新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精 讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【课前准备】1学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。2教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。【课时安排】 1 课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、复 习导入、展示目标。(一)问题情境复习：如何作出正弦函数、余弦函

4、数的图象？ 生：描点法(几何法、五点法) ，图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标定义域与值域(二)探索研究定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或( , ).值域值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度 ,所以 |sin x| 1,|cosx| 1,即 1 sin x 1, 1 cosx 1也就是说 ,正弦函数、余弦函数的值域都是 1,1 .最值正弦函数 y sin x,x R当且仅当 x 2k ,k Z 时, 取得最大值 12当且仅当 x 2k ,k Z 时,取得最

5、小值 12余弦函数 y cosx,x R当且仅当 x 2k ,k Z 时, 取得最大值 1当且仅当 x 2k ,k Z 时, 取得最小值 1周期性由 sin(x 2k ) sin x,cos(x 2k ) cosx,(k Z) 知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 .定义：对于函数 f(x) , 如果存在一个非零常数 T , 使得当 x 取定义域内的每一个值时 都有 f (x T) f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数 ,非零常数 T 叫做这个函数的周期 . 由此可知 , 2 ,4 , , 2 , 4 , ,2k (k Z,k 0)都是这两个函数的周期 .对

6、于一个周期函数 f (x) , 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小正周期 .根据上述定义 , 可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数 , 2k k Z,k 0 都是它的 周期 , 最小正周期是 2 .奇偶性 3 由 sin( x) sin x, cos( x) cosx可知: y sin x( x R)为奇函数 ,其图象关于原点 O对称y cosx( x R )为偶函数 , 其图象关于 y轴对称对称性正弦函数 y sin x(x R) 的对称中心是 k ,0 k Z ,对称轴是直线 x k k Z ;2余弦函数 y cos x( x R) 的对称

7、中心是 k ,0 k Z ,对称轴是直线 x k k Z( 正 ( 余 ) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线， 对称中心为图象与x轴 ( 中轴线 ) 的交点 ).单调性从 y sin x,x , 的图象上可看出 :22当 x , 时 , 曲线逐渐上升 , sinx 的值由 1 增大到 122当 x , 时,曲线逐渐下降 , sinx的值由 1减小到 1 22结合上述周期性可知 :正弦函数在每一个闭区间 2k , 2k (k Z) 上都是增函数 , 其值从 1增大 22到1;在每一个闭区间 2k , 2k (k Z)上都是减函数 ,其值从 1减小到 1.22余弦函数在每一个

8、闭区间 2k ,2k (k Z)上都是增函数 ,其值从 1增加到 1;余 弦函数在每一个闭区间 2k ,2k (k Z )上都是减函数 , 其值从 1减小到 1.三、例题分析例 1、求函数 y=sin(2x+ ) 的单调增区间解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解：令 z=2x+ ，函数 y=sinz 的单调增区间为 2k ， 2k 3 2 22k 2x+ 2k 得2 3 25k xk12 125故函数 y=sinz 的单调增区间为 k ， k ()12 12 点评：“整体思想”解题3 2 2k ，

9、 32 2k 变式训练 1.求函数 y=sin(-2x+ 3 )的单调增区间解：令 z=-2x+ ，函数 y=sinz 的单调减区间为故函数 sin(-2x+ )的单调增区间为 7 k ， k ()3 12 1233例 2：判断函数 f (x) sin( x ) 的奇偶性42解析：判断函数的奇偶性， 首先要看定义域是否关于原点对称， 然后再看茕桢广鳓鯡选块网羈泪。的关系，对 (1) 用诱导公式化简后，更便于判断 TOC o 1-5 h z 3 33x解： f (x) sin( x ) = cos ，424 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document f(

10、 x) cos( 3x)cos3x44 33 所以函数 f (x) sin( x ) 为偶函数点评：判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤 变式训练 2. f (x) lg(sin x 1 sin2 x ) 解：函数的定义域为 R，f ( x) lgsin( x) 1 sin2 x =lg( sinx 1 sin2 x)= lg(sin x 1 sin2 x) 1 = lg(sin x 1 sin2 x) = f(x)所以函数 f (x) lg(sin x 1 sin2 x )为奇函数例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 解析：通过诱导公式把角度化为同

11、一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小3解： y=sinx 在 2k ， 2k (k Z)，上是单调减函数，22又 2500sin2600 点评：比较同名的三角函数值的大小， 找到单 调区间， 运用单调性即可， 先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较 变式训练 3.cos 15 、cos148915 14解： cos cos89 由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。五、反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 课堂小结：1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题2、数学思想方法：数形结合、整

12、体思想。达标检测：一、选择题f (x) 与 f ( x)若比较复杂，函数 y 2sin 2x 的奇偶数性为(B. 偶函数奇函数C既奇又偶函数D. 非奇非偶函数下列函数在 , 上是增函数的是（A. y=sinxC. y=sin2x3.下列四个函数中，既是A. y sinxC. y cosx二、填空题y=cosxD. y=cos2x0, 上的增函数，又是以 为周期的偶函数的是（ 2B. y sin2xD. y cos2x把下列各等式成立的序号写在后面的横线上 cosx 2 2sin x 3 sin2 x 5sin x 6 0 cos2 x 0.5鹅娅尽損鹌 惨歷茏鴛賴。不等式 sinx 2 的解集

13、是 2三、解答题2 ,2 的单调递增区间 A4 、56、 53 ,2 31求出数 y sin x x ,x参考答案： 1、A 32、2D3、55、 2k x 2k 45六、发导学案、布置预习。x 对称，求 a 的值8如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直七、板书设计 正弦函数和余弦函数的性质一、正弦函数的性质例 1二、余弦函数的性质例 2 定义域、值域、单调、奇偶、周期对称 例 3八、教学反思（ 1）根据学生学习知识的发展过程， 在推导性质的过程中让学生自己先独思考， 然后小 组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。 籟丛妈羥为贍偾 蛏练淨。（2）关注

14、学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被 调动起来， 很多学生想表达自己的想法。 这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。（3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩 短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。 渗釤呛 俨匀谔鱉调硯錦。九、学案设计 （见下页 ） 1.4.2 正弦函数余弦函数的性质课前预习学案一、预习目标探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小 , 会 求三角函数的单调区间 .二、预习内容1. 叫做周期函数， 叫这个函数的周

15、期 .铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。2. 叫做函数的最小正周期 . 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。正弦函数，余弦函数都是周期函数， 周期是 ，最小正周期是 .由诱导公式可知正弦函数是奇函数. 由诱导公式可知，余弦函数是偶函数 . 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。正弦函数图象关于 对称，正弦函数是 . 余弦函数图象关于 对称，余弦函数是 . 坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数， 其值从 1 增大到 1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 1 减少到 1. 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数， 其值从 1 增大到 1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 1 减少到 1.

16、買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。正弦函数当且仅当 x时，取得最大值 1, 当且仅当 x=时取得最小值 1. 綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 TOC o 1-5 h z 余弦函数当且仅当 x 时取得最大值 1；当且仅当 x=时取得最小值 1. 驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。10.正弦函数 y 3sinx 的周期是 .余弦函数 y cos2x 的周期是 .函数 y=sinx +1 的最大值是 ,最小值是 ,y=-3cos2 x 的最大值是 ,最小值是 .猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。y=-3cos2 x取得最大值时的自变量 x的集合是 .把下列三角函数值从小到大排列起来为： 4，sin5三、提出疑惑5c，os4， 32，sin55

17、cos12同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案、学习目标： 会根据图象观察得出正弦函数、 余弦函数的性质； 会求含有 sin x, cos x的 三角式的性质；会 应用正 、余弦 的值域 来求函 数 y asinx b(a 0) 和函 数y acos2 x bcosx c (a 0)的值域 锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 学习重难点：正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。二、学习过程例 1 、求函数 y=sin(2x+ 3 )的单调增区间3解：变式训练 1.求函数 y=sin(-2x+ 3 ) 的单调增区间3解：33例 2：判断函数 f (x) si

18、n( x ) 的奇偶性42解：变式训练 2. f (x) lg(sin x 1 sin2 x )解：例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小解：变式训练 3.cos 15 、cos1489解：三、反思总结1、数学知识：2、数学思想方法：四、当堂检测一、选择题1.函数 y2sin 2x 的奇偶数性为（）.A. 奇函数 B. 偶函数C既奇又偶函数D. 非奇非偶函数2.下列函数在 , 上是增函数的是（ ）2A. y=sinxB. y=cosxy=sin2xD. y=cos2x下列四个函数中，既是0, 上的增函数，又是以 为周期的偶函数的是（ ）2A. y sinx B. y sin2xC. y cosx D. y cos2x二、填空题把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。 cosx 2 2sin x 3 sin2 x 5sin x 6 0 cos2 x 0.5構 氽頑 黉碩 饨 荠龈话骛。2不等式 sinx 2 的解集是 2三、解答题6.求出数 y sinx 1 x ,x 2 ,2 的单调递增区间32课后练习与提高 一、选择题1y=sin（x-3 ）的单调增区间是（）A.5 k-6 ,k+6 (k Z)B.52k-6 ,2k+6 (kZ)輒峄陽檉簖疖網儂號泶。C.7 k- 6 , k-6 (k Z)