大学数学公式总结大全

1、a导数公式：(tgx ) sec2 x( ctgx )csc2 x (sec x )sec x tgx (csc x)cscx ctgx ( a x ) ax ln a1(arcsin x)1 x 21(arccos x)1 x1( arctgx )1 x 22(log x)a1x ln a( arcctgx)11 x2tgxdx ln cos x C ctgxdx ln sin x Csec xdx ln sec x tgx Cdxcos 2 xdxsin 2 xsec 2csc 2xdx tgx Cxdx ctgx Ccsc xdx ln csc x ctgx C dx 1 x arctg

2、 C a 2 x 2 a adx 1 x a ln C x 2 a 2 2a x asec x tgxdx sec x C csc x ctgxdx csc x Ca xa x dx Cln ashxdx chx Ca2dxx21 a xln C 2a a xchxdx shx Cadx xarcsin C2 x 2xdx2 a2ln( x x2a2) CI n 2 2sin n xdx 0 0cosnxdx n 1nIn 2x2 a 2x a 2dx x 2 a 2 ln( x x 2 22a2) Cx a 2x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln x x 2 a 2 C2 2a2x a

3、 2 x x 2 dx a 2 x 2 arcsin C2 2 a基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数sin cos tg ctg角 A- - cos -tg -sin ctg90- cos sin ctg tg90+ cos - - -tgsin ctg180- sin - -tg -cos ctg180+ - - tg ctgsin cos270- - - ctg tgcos sin270+ - sin - -tgcos ctg360- - cos -tg -sin ctg360+ sin cos tg ctgsin()sin cos

4、cos sin cos()cos cos sin sintgtgtg ()1 tgtgctgctg1ctg ()ctgctg和差角公式： sin sin 2sin cos2 2 sin sin 2 cos sin2 2 cos cos 2 cos cos2 2 cos cos 2sin sin2 2和差化积公式：a b c000 0 0000y zxzx倍角公式：半角公式：正弦定理： 2 Rsin A sin B sin C余弦定理：c2a2b22 ab cos C反三角函数性质： arcsin x 2arccos xarctgx arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中

5、值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：x (t) x x y y z z 空间曲线y (t )在点M ( x , y , z )处的切线方程： 0 (t) (t ) (t)z (t )在点M处的法平面方程： (t)( x x ) (t)( y y ) (t)( z z ) 00 0 0 0 0 0F(x,y, z ) 0 F F F F F若空间曲线方程为： , 则切向量T , ,G( x, y , z ) 0 G G G G Gy z z x xyy曲面F ( x , y , z ) 0上一点M ( x

6、 , y , z )，则：0 0 01、过此点的法向量：n F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z )x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 02、过此点的切平面方程：F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) F ( x , y , z )( z z ) 0 x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 x x y y z z3、过此点的法线方程： 0 0 0F ( x , y , z ) F ( x , y , z ) F ( x , y , z )x 0 0 0 y

7、0 0 0 z 0 0 0方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标： 曲线积分：曲面积分：高斯公式：(P Q R ) dv x y zPdydz Qdzdx Rdxdy ( P cosQ cosR cos) ds 高斯公式的物理意义 通量与散度： P Q R散度： div , 即：单位体积内所产生 的流体质量，若 divx y z通量：AndsAds(PcosQcosRcos)ds，n 0, 则为消失 . 因此，高斯公式又可写 成：div Adv A dsn 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成

8、幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：阳光怡茗工作室( 4 0)( 4 0)一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根 ( p 2 4 q 0)两个相等实根 p 2 q 对共轭复根 p 2 q 阶常系数非齐次线性微分方程1随机事件及其概率A 吸收律： A A概率公式部分A AA A ( AB) A A ( A B ) A反演律：A B A BAB A B2概率的定义及其计算若A B P ( B A) P ( B ) P ( A)对任意两个事件 A,

9、B, 有P ( B A) P ( B ) P ( AB )加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 3条件概率乘法公式全概率公式Bayes 公式4随机变量及其分布分布函数计算5离散型随机变量 (1) 0 1 分布(2) 二项分布B ( n, p )若 P (A ) = p*Possion 定理有lim C k p k (1 p ) n n nn n kekk!k 0,1,2, (3) Poisson 分布6连续型随机变量阳光怡茗工作室P ( )(1)均匀分布U ( a , b )(2) 指数分布E ()(3) 正态分布 N ( , 2 )*N (0,1) 标准正态分布7.多维随机变量及其分布二

10、维随机变量(X ,Y)的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布，U ( (2)二维正态分布G )二维随机变量的 条件分布随机变量的数字特征 数学期望阳光怡茗工作室随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩X 的 kX 的 k阶绝对原点矩阶中心矩X 的 方差X ,YX ,Y的 k + l的 k + l阶混合原点矩阶混合中心矩X ,YX ,YX ,Y的 二阶混合原点矩的二阶混合中心矩的相关系数X ,Y的协方差X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2)协方差相关系数线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：

11、突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷A B C A B C T AB C A BCAB AB AB AB 的方法。阳光怡茗工作室大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不 知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算A B B A c A B cA cB c dA cd Ac d A cA dAcA 0 c 0或A 0。cATc A 。转置值不变ATA逆值变 A 11AA ,1 ,23，3 阶矩阵有关乘法的基本运算线性性质结合律A A B A B A

12、B 1 2 1 2 ，k k k不一定成立！AE A，EA AAkEkA，kEAkA与数的乘法的不同之处k k k不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性A AA A 11 1一个矩阵 A 的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘）当AB 0时A 0或B 0由 A 0 和 AB 0 B 0由 A 0 时 AB AC BC（无左消去律）特别的 设AA可逆，则左消去律：有消去律。AB AC B C。右消去律：BA CA B C。如果A列满秩，则A有左消去律，即AB 0 B 0AB AC B C可逆矩阵的性质i）当A可逆时，AT也可逆，且T11T。Ak也可逆，且k11k。数 c 0

13、， cA 也可逆， cA Ac1。ii）A，B是两个n阶可逆矩阵 AB也可逆，且 ABB1A1。推论：设 A ， B 是两个 n 阶矩阵，则命题：初等矩阵都可逆，且AB E BA E221iiE 1A A * AA* A* A *A c d *AB 1 k命题：准对角矩阵A A11000 0 0 A 111A 0 0 0 可逆 每个 A 都可逆，记 A 0 0 00A 12200000000 0Akk000A 1kk伴随矩阵的基本性质：阳光怡茗工作室当 A 可逆时， AA * A * 得 A 1 A A， （求逆矩阵的伴随矩阵法）且得： A * A 1 A1 1 11AA伴随矩阵的其他性质 A

14、 * An 1,A* A A1 AT*A*T, cAcn 1A *,AB * B * A*,k k， * * A n 2A。n 2时，A*Aa b A* 关于矩阵右上肩记号： T ， k ， 1，* i) 任何两个的次序可交换，如 A T * A * T，A * 1 A 1等ii) TB T AT , ABB1A1，但 ABB k Ak不一定成立！线性表示 , , ,1 2 x s 1 1x x 2 2s s有解 , , ,1 2 x s有解 xx,x1sTAx 有解，即 可用 A 的列向量组表示AB C r , r , , r1 2 s，A ,1 , ,2n，则 r , r , , r ,

15、1 2 s 1 , ,2n。 , , , 1 2 , , , t 1 2s，则存在矩阵 C ，使得 ,1 , ,2t ,1 , ,2sC线性表示关系有传递性当 , , , , , , r , r , , r1 2 t 1 2 s 1 2p，则 ,1 , ,2 r , r , , r t 1 2p。等 价 关 系 ： 如 果 ,1 , ,2s与 ,1 , ,2t互 相 可 表 示 , , , 1 2s , , , 1 2t记作 ,1 , ,2 ,s 1 , ,2t。线性相关阳光怡茗工作室s 1，单个向量， x 0相关 0s 2， , 12相关对应分量成比例 ,12相关 a : b a : b a

16、 : b 1 1 2 2 n n向量个数s=维数n，则 , ,1n线性相（无）关 0 1 nA ,1 , ,2n，Ax 0有非零解A 0如果 s n ，则 ,1 , ,2s一定相关Ax 0的方程个数n 未知数个数sc c c1s如果 , 1 , ,2s无关，则它的每一个部分组都无关如果 , 1 , ,2 无关，而 , s 1 , ,2 ,s相关，则 ,1 , ,2s证明：设 , , , 1 s不全为 0，使得c c 1 1s c 0 s则其中c 0，否则 c , , c1s不全为 0，c c 0 ，与条件 , , 1 1 s s 1s无关矛c c盾。于是 1 s 。c c当 , , 1s时，表

17、示方式唯一 1s无关（表示方式不唯一 1s相关）若 , , , , 1 t 1s，并且t s ，则 , , 1t一定线性相关。证明：记 A , ,1s，B , 1t，则存在 s t 矩阵 C ，使得B AC。Cx 0有s个方程，t个未知数，s t，有非零解 ， C 0。则BAC0 ，即 也是Bx 0的非零解，从而 , ,1t线性相关。各性质的逆否形式如果 , 1 , ,2s无关，则s n。如果 , 1 , ,2s有相关的部分组，则它自己一定也相关。如果 无关，而 , 1 s 1 ，则 , , s 1 s无关。I# I, , ,，若 ， I , , , 如果 1 t 1s， 无关，则 t s 。

18、 1 t推论：若两个无关向量组 与 等价，则 s t 。1 s 1 t极大无关组一个线性无关部分组等于秩 1 2 46 II就一定是极大无关组 ,1 , ,2 无关 ,s 1 , ,2ss , 1 , ,2 , s 1 , ,2 ,s , ,1s另一种说法： 取 , , ,1 2s的一个极大无关组I也是 ,1 , ,2 ,s的极大无关组 I,相关。证明： I I1 s相关。 可用 , , 1s唯一表示 , 1 ,s,1ss , ,1 , , t 1 , , s 1 ,s , ,1t , , 1s , ,1 , , s 1 , t 1s,1 s , 1 t 1t矩阵的秩的简单性质AA行满秩：列满

19、秩：r A mr A nn 阶矩阵 A 满秩： rA nA 满秩 A 的行（列）向量组线性无关 A可逆 Ax 0只有零解， Ax 唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩r ATrA r A B r A r Br AB min r A , r B AB B r AB r Ar AB n r A r B0 c 0 时， r cA r A A 可逆时， r AB r B弱化条件：如果 A 列满秩，则 证：下面证ABx 0与Bx 0同解。 是 ABx 0 的解 AB0 B0 是 Bx 0 的解B可逆时，r ABrA若AB 0，则r A r B n（A的列数，B的行数） A 列满秩时 r AB

20、 r BB行满秩时 解的性质1 Ax 0 的解的性质。阳光怡茗工作室如果 , , ,1 2e是一组解，则它们的任意线性组合c1 1c22 cee一定也是解。2Ax 如果 , , , 1 2e是Ax 的一组解，则c c1 12 c 2e 也是 Ax 的解 c c c e 1 2 e1c c1 12 c 2e 是 Ax 0 的解 c c c e 1 2 e0特别的： 当 ,12是Ax 的两个解时， 12是Ax 0的解A |AA |A n A |r A 1 A 0,0, ,0, tr A时： 的特征值为如果 0是 Ax 的解，则 n 维向量 也是 Ax 的解 0是 Ax 0 的解。解的情况判别方程：

21、 Ax ，即 x 1 1x x 2 2n n有解 ,1 , ,2n无解 唯一解 无穷多解方程个数 m ： A | A n当A m时， m，有解当m n时，A n，不会是唯一解对于齐次线性方程组 Ax 0 ，只有零解 A n（即A列满秩）（有非零解 A n）特征值特征向量是A的特征值 是A的特征多项式xE A的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。（2） 特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值 的重数n r E A命题：设 A 的特征值为 ,1A n , ,2n，则f Af A f x, f 1 2 ntr A命题：设是A的特征向量，特征值为，即A，则对

22、于A的每个多项式， 当 A 可逆时， A11，A *| A |命题：设 A 的特征值为 , , ,1 2n，则f A 的特征值为 f1 , , f 2n A 可逆时， A 1的特征值为11,12, ,1nA *的特征值为| A | | A | | A |, , , 1 2 n AT的特征值也是 ,1 , ,2n特征值的应用求行列式 | A | , , , 1 2判别可逆性阳光怡茗工作室n是 A 的特征值 E A 0 A E不可逆A E 可逆 不是 A 的特征值。当f A 0时，如果f c 0，则A cE可逆若 是A的特征值，则f 是 f A 的特征值 f0。f c 0 c 不是 A 的特征值

23、AcE 可逆。 n 阶矩阵的相似关系当AU UA时，B A，而AU UA时，B A。相似关系有 i）对称性：A B B AU1AU B，则 A UBU 1A BB C， ii）有传递性： A B ， B C ，则 A CU1AU B ， V 1BV C，则命题 当A B时，A和B有许多相同的性质A BA，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系： 是A的属于 的特征向量 U1是 B 的属于 的特征向量。正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性f x, x , , x 变为gy, y , , y 1 2 n 1 2n，则它们同时正定或同时不正定A B，则A，

24、B同时正定，同时不正定。例如 TAC。如果 A正定，则对每个x 0（C可逆，x 0， Cx 0！）我们给出关于正定的以下性质 A 正定 A E存在实可逆矩阵C A C T C。 A的正惯性指数 n 。 A的特征值全大于0。 A的每个顺序主子式全大于0。阳光怡茗工作室判断 A 正定的三种方法：AA A BBB0, ,0 d B0A B r E顺序主子式法。特征值法。定义法。 基本概念对称矩阵 AT A。反对称矩阵 T A。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1 ，台角正上方的元素都为 0。如果 A 是一个 n 阶矩阵， A 是阶梯形矩阵 A 是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） 写

25、出增广矩阵 ，用初等行变换化 为阶梯形矩阵 。用 判别解的情况。i）如果 最下面的非零行为，则无解，否则有解。ii）如果有解，记 是 B 的非零行数，则nn时唯一解。时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉 的零行，得 B ，它是0 0n nc矩阵，B0是 n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。则 bn n bn 1n 10 b 都不为ii0。 行 行阳光怡茗工作室就是解。 j j ji, j一个na11a 阶行列式 21a12a22a1na2 n的值：an1an 2ann是n!项的代数和每一项是n个元素的乘积，它们共有 n! 项 a a1 j12 j2 anjn其中 j j j1

26、2n是1,2, , n的一个全排列。 a1 j1 anjn前面乘的应为 1 1 2 nj j j1 2n的逆序数代数余子式M 为 a 的余子式。 ij ij定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0 。 范德蒙行列式1 11a1a1an ( a a )j iC2n个i j乘法相关AB的 位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。乘积矩阵的列向量与行向量（1）设 m n 矩阵 A ,1 , ,2n， n维列向量b,b , , b1 2 nT，则矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式Ax ， b ,

27、b , , b 1 2 mT方程组的向量形式A kE kAkE A kA，kk 1 T k 1 T1 0 1 （2）设 AB C ，AB 的第 i 个列向量是 A 的列向量组的线性组合，组合系数是 B 的第 i 个列向量的各分 量。AB 的第 i 个行向量是 B 的行向量组的线性组合，组合系数是 A 的第 i 个行向量的各分 量。矩阵分解当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵 A ，即用对角线上的元素依次乘 A 的各行向量 于是 A

28、E A ， EA A 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的 k 次方幂只须把每个对角线上元素作 k 次方幂对一个n阶矩阵A，规定tr A 为A的对角线上元素之和称为A的迹数。于是 T TTtr TT tr 其他形式方阵的高次幂也有规律1 0 1 例如： A 0 2 0 初等矩阵及其在乘法中的作用阳光怡茗工作室（1）E i, j ：交换 E 的第 i, j 两行或交换 E 的第 i, j 两列 1211 T TT（2）E i(c)：用数 c 0 乘 E 的第 i 行或第 i 列（3）E i, j ( c )：把E的第j行的 c倍加到第i行上，或把E的第i列的 c倍加到第j列上。初

29、等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵 A 和 B 的乘积时，可以先把 A 和 B 用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。两种常用的情况（1） A, B 都分成 4 块A A11A21A B ，B A B22 21B12B22其中 Ai1的列数和B1 j的行数相等， Ai 2的列数和B2 j的行数相关。（2）准对角矩阵矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程 （都需求 A 是方阵，且 A 0 ） （I）的解法：（II）的解法，先化为 AT x T B T A B E x 。通过逆求解： Ax B ，

30、x A 1B 可逆矩阵及其逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH E，且HA E，则称A是可逆矩阵，称 H 是 A 的逆矩阵，证作 A1。定理：n阶矩阵A可逆 A 0求 A 1的方程（初等变换法）0, ,II伴随矩阵线性表示可以用 , 1 , ,2s线性表示，即 可以表示为 ,1 , ,2s的线性组合，也就是存在 c , c , , c1 2s使得c c1 1 c 2 2s s记号： ,1 , ,2s线性相关性线性相关：存在向量 i可用其它向量 , ,1i 1, , ,i 1 线性表示。 s线性无关：每个向量 i都不能用其它向量线性表示定 义 ： 如 果 存 在 不 全 为

31、的 c , c , , c1 2s， 使 得c c c 0 1 1 2 2 s s则 称 , , , 1 2s线性相关，否则称 , , , 1 2s线性无关。即： ,1 , ,2s线性相（无）关 x x 1 1s 0s有（无）非零解 1, 2 x s0有（无）非零解极大无关组和秩定义： , 1 , ,2s的一个部分组 I称为它的一个极大无关组，如果满足：i） 线性无关。ii）再扩大就相关。定义：规定 ,1 , ,2 的秩 ,s 1 , ,2s#I。如果 ,1 , ,2s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量： ,1 , ,2 ,s ,1 ,

32、,2s，并且向量方程x1, x1 x 2 2 s s0与x1 x12 x 2s 0s同解，则称它们有相同的线性关系。对应的部分组有一致的相关性。Ar A。 , , 1 2 4的对应部分组, , 1 2 4，若 , , 1 2 4相关，有不全为0的c , c , c 1 2 4使得c c c 1 1 2 2 4 40，即 c , c ,0, c1 24,0, ,0是x x1 1 x 2 2s 0s的解，从而也是 x 1 x12 x 2s s0的解，则有c c c 1 1 2 2 4 4 , , 也相关。1 2 30，极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设： A , 1 , ,2

33、s，B ,1 , ,2s，则x x1 1 x 2 2s s0即Ax 0，x x x 1 1 2 2 s s0即Bx 0。 , , , 1 2 与 , , , s 1 2s有相同的线性关系即 Ax 0 与 Bx 0 同解。反之，当 Ax 0 与 Bx 0 同解时， A 和 B 的列向量组有相同的线性关系。 矩阵的秩定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩规定r A 行（列）向量组的秩。r A 的计算：用初等变换化 为阶梯形矩阵 B ，则 B 的非零行数即命题：r A A的非零子式阶数的最大值。阳光怡茗工作室方程组的表达形式a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1a x a x

34、 a x b 1 21 1 22 2 2 n n 2a x a x a x b m1 1 m 2 2 mn n mA c c2Ax 是解 A3 x 1 1x x 2 2n n有解 , , , 1 2n基础解系和通解1 Ax 0 有非零解时的基础解系 , , , 1 2e是Ax 0的基础解系的条件：每个 i都是 Ax 0 的解 ,1 , ,2e线性无关 Ax 0 的每个解 ,1A/ l n , ,2e通解如果 , 1 , ,2e是Ax 0的一个基础解系，则Ax 0的通解为c c c ， c 1 1 2 2 e ei任意如果 0是Ax 0的一个解， ,1 , ,2 是 Ax 0 的基础解系，则 A

35、x 的通解 e为 c c c 0 1 1 2 2特征向量与特征值 ， ce e i任意定义：如果 0 ，并且 A 与 线性相关，则称是 A的一个特征向量。此时，有数，使得A，称为的特征值。设A是数量矩阵E，则对每个n维列向量，A，于是，任何非零列向量都是E的特征向量，特征值都是 。特征值有限特征向量无穷多若A， cAc 每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算 是 E A x 0的非零解命题： 是A的特征值 E A 0是属于 的特征向量 是 E A x 0的非零解称多项式 xE A 为 A 的特征多项式。是A的特征值 是A

36、的特征多项式xE A的根。的重数： 作为 xE A 的根的重数。n 阶矩阵 A 的特征值有 n 个： ,1计算步骤：xE A求出特征多项式。 , ,2n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。求 xE A 的根，得特征值。对每个特征值 ，求 iiE Ax0的非零解，得属于 的特征向量。in 阶矩阵的相似关系设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U1AU B，则称A与B相似，记作A B。阳光怡茗工作室n 阶矩阵的对角化基本定理A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。设可逆矩阵 U ,1 , ,2n，则 A i i i，i 1,2, , nA判别法则A可对角化对于A的每个特征值，的重数

37、n E A。计算：对每个特征值 i，求出iE A x0的一个基础解系，把它们合在一起，得到 n 个线性无关的特征向量， , ,1n。令U ,1 , ,2n，则U1AU 10000 0 020 0 0000n，其中 为 的特征值。 i i二次型（实二次型）二次型及其矩阵一个n元二次型的一般形式为只有平方项的二次型称为标准二次型。形如： x 2 x 2 x 2 x 1 2 p2p 1x2p q的 n元二次型称为规范二次型。对每个n阶实矩阵 A ，记 x x , x , , x1 2nT，则x T Ax 是一个二次型。称A的秩为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。规范二次型的矩阵是规范对角矩

38、阵。 可逆线性变量替换设有一个 n 元二次型 f x , x , , x1 2n，引进新的一组变量y , y , , y 1 2n，并把x , x , , x 1 2n用它们表示。x c y c y c y 1 11 1 12 2 1n nx c y c y c y 2 21 1 22 2 2 n nx c y c y c y n n1 1 n 2 2 nn n（并要求矩阵 C c11c21cn1c 12c 22 c n 2c1nc2 ncnn是可逆矩阵）代入 f x , x , , x 1 2n，得到y , , y 1n的一个二次型g y, , y 1n这样的操作称为对C AC BQ D Q

39、 f xx 1n作了一次可逆线性变量替换。设 Y y , y , , y 1 2nT，则上面的变换式可写成则 f x x1nxT Ax Y T C TACY g y , , y1n于是 g y , y 1n的矩阵为 C T AC实对称矩阵的合同两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得 T 。称 A与 B合同，记作A B。命题：二次型f x x1nxTAx可用可逆线性变换替换化为二次型的标准化和规范化1每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。 也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使得 QTAQ Q 1

40、AQ DA D ， A D1AQ是对角矩阵。2标准化和规范化的方法正交变换法配方法3惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于 0 的个数 和小于 0 的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。 用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵 A 合同于唯一规范对角矩阵。,1122 , a bnn定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要 条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。正

41、定二次型与正定矩阵定义：一个二次型 f x , x , , x1 2f x, x , , x 1 2nn称为正定二次型，如果当 0。x , , x 1n不全为 0 时，例 如 ， 标 准 二 次 型 f x , x , , x1 2nd x 2 d x 2 d x 2 1 1 2 2 n n正 定 d 0i，i 1, , n（必要性“”，取x 11，x x 0 2 x，此时f 1,0,0 d 01同样可证每个d 0i）实对称矩阵正定即二次型 x T Ax正定，也就是：当 x 0 时， x T Ax 0。例如实对角矩阵10000 0 020 0 0000n正定 0 i，i 1, , n定义：设A

42、是一个 n 阶矩阵，记 Ar是 A的西北角的 r阶小方阵，称Ar为 A的第 r个顺序主子式（或 r阶顺序主子式）。附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化一向量的内积 1定义两个n维实向量, 的内积是一个数，记作，规定为它们对应分量乘积之和。设a b a b ，则,abab a b T 1 1 2 2 n n, 0, 0 0，且, , 0 0， 0 2性质对称性： 双线性性质： 1 2 1 2正交性： na2ii 13长度与正交向量 的长度 na2ii 1单位向量：长度为1 的向量1 0 0，1 2 2 2 2 ，若0，则是单位向量，称为 的单位化。 1 1两个向量 , 如果内积为 0：,

43、0，称它们是正交的。如果 n 维向量组 ,1 , ,2s两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。例 1如果向量组 , , ,1 2s两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。证：记 A , , , ，则1 2 s则 r ATAs,rAs即r, 1ss。例 2若 A 是一个实的矩阵，则 r ATArA。 二正交矩阵一个实n 阶矩阵 A 如果满足 AAT E，就称为正交矩阵。ATA1定理A 是正交矩阵 A 的行向量组是单位正交向量组。 A的列向量组是单位正交向量组。,A03例 3正交矩阵 A 保持内积，即证： A, AT AT A T 例 4（04） 是 3 阶正交矩阵，并

44、且 a 1111 ，求 Ax 0 的解。三施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。设 ,1 ,23线性无关正交化：令 11（设 k2 21，,21,k,2 1 1 1当,k 2 1 , 1 1时， , 2 1正交。）单位化：令 11 ， 12 2 ， 233则 ,1 ,2 是与 , 3 1 ,23等价的单位正交向量组。四实对称矩阵的对角化设 A 是一个实的对称矩阵，则A的每个特征值都是实数。对每个特征值 ，重数n rE A。即A可以对角化。属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存在正交矩阵Q，使得Q1AQ是对角矩阵。对每个特征值 ，找 EAx0的一个单

45、位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。设 A 是 6 阶的有 3 个特征值 1（二重）， （三重），（一重）2 1找 1的 2个单位正交特征向量 ,12。0 1 312x3 1 2 3 0 0 01VV找 2的3个单位正交特征向量 ,3 ,45。找 3的一个单位特征向量 。6例 5（04）A是3阶实对称矩阵，r A 2，6是它的一个二重特征值，1 2 1 1，1和2都是属于6的特征向量。 求求AA的另一个特征值。 。解：（1）另一个特征值为 0 。x （2）设 x 是属于 0 的特征向量，则此方程组 n 3 ， r A 2 ， n r A 1，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。于是，每个非零解都是属于 0 的特征向量。1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 是一个解。附录二 向量空间1n维向量空间及其子空间记为 Rn由全部 n 维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为 n 维向量空间。设 是 R n的一个子集，如果它满足（1）当 , 1 都属于 V 时， 也属于 V 。 2 1 2（2）对 V 的每个元素 和任何