高数第六章第一次定积分的计算面积

1、高数第六章第一次定积分的计算面积2022/9/81第1页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四一、问题的提出回顾曲边梯形求面积的问题abxyo2022/9/82第2页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四一、问题的提出面积表示为定积分的步骤如下（3） 求和，得A的近似值（4） 求极限，得A的精确值2022/9/83第3页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四一、问题的提出abxyo提示面积元素2022/9/84第4页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四一、问题的提出2022/9/85第5页，共24页，2022年，5月20

2、日，20点51分，星期四一、问题的提出元素法的一般步骤：2022/9/86第6页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四一、问题的提出这个方法通常叫做元素法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等2022/9/87第7页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四二、直角坐标系下求平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积2022/9/88第8页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四二、直角坐标系下求平面图形的面积解两曲线的交点面积元素选 为积分变量问题：积分变量只能选 吗？2022/9/89第9页，共24页，20

3、22年，5月20日，20点51分，星期四二、直角坐标系下求平面图形的面积解两曲线的交点选 为积分变量选 为积分变量2022/9/810第10页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四二、直角坐标系下求平面图形的面积如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积2022/9/811第11页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四二、直角坐标系下求平面图形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积2022/9/812第12页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系1、平面上的极坐标系如图所示：极坐标系O - 称为极点；Ox

4、-称为极轴；设M 是平面上一点，如图所示-称为极径-称为极角，逆时针为正，顺时针为负- 称为点M 的极坐标，记为M 2022/9/813第13页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系2、平面上点的极坐标表示如下列点的表示：平面上点M 与一对实数一一对应极坐标系 表示极点，即极点的坐标为2022/9/814第14页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系2、平面上点的极坐标表示注： 0， 0 02022/9/815第15页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系3、极坐标与直角坐标的互化M(x，y）(1) 由极

5、坐标化直角坐标例 点M的极坐标为 求其直角坐标.解：点M的直角坐标：2022/9/816第16页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系3、极坐标与直角坐标的互化(2) 由直角坐标化极坐标例 点M的直角坐标为 求其极坐标解点M的极坐标：M(x，y）2022/9/817第17页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系4、曲线的极坐标方程1)、极坐标曲线=常数，过原点的射线=常数，以原点为中心的圆 如 =2，为半径为2的圆，直角坐标中的方程为： 如 ，为过原点、与x轴正向夹角为 的半射线，直角坐标中的方程为： 2022/9/818第18页，共

6、24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系4、曲线的极坐标方程2)、极坐标方程的建立由已知的条件，将曲线上动点的坐标 关系式表示出来，从而得到曲线的极坐标方程.例解：试求经过点A(a，0)，a0，而和极轴垂直的极坐标方程如图所示， 设动点为 则或为所求的直线方程2022/9/819第19页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四三、极坐标系4、曲线的极坐标方程2)、极坐标方程的建立例求一圆过极点且圆心在极轴上，半径为a，求极坐标方程解：如图所示，设动点为AA则或另：若一圆过极点且圆心在垂直极轴的直线上，半径为a，则极坐标方程为：2022/9/820第20页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四四、极坐标系下求平面图形的面积面积元素曲边扇形的面积2022/9/821第21页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四四、极坐标系下求平面图形的面积解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积2022/9/822第22页，共24页，2022年，5月20日，20点51分，星期四四、极坐标系下求平面图形的面积解利用对称性知2022/9