高数第十二章全微分方程

1、高数第十二章全微分方程第1页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四2一、全微分方程及其求法第2页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四3例如对于方程所以方程是全微分方程.全微分方程的判别第3页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四4第4页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四5第5页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四6第6页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四7第7页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四8第8页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星

2、期四9第9页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四10解方程是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2凑全微分法第10页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四11第11页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四12二、积分因子法问题: 如何求方程的积分因子?第12页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四13第13页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四14第14页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四15第15页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四16可降阶高阶微分

3、方程 第六节一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第十二章 第16页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四17一、解法：连续积分n 次, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程 例1. 解: 第17页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四18例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度

4、为0, 且对方程两边积分, 得 第18页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四19利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为第19页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四20型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、第20页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四21例3. 求解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第21页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四22例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到( : 密

5、度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得第22页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四23则得定解问题: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为第23页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四24三、型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解第24页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四25例5. 求解代入方程得两端积

6、分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:第25页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四26M : 地球质量m : 物体质量例6. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 第26页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四27两端积分得因此有第27页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四28由于 y = R 时由原方程可得因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为第28页，共33页，2022年，5月20日，

7、20点51分，星期四29说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 解方程可得问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为第29页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四30例7. 解初值问题解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第30页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四31内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令第31页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四32思考与练习1. 方程如何代换求解 ?答: 令或哪个方便用哪个. 均可. 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例6例7第32页，共33页，2022年，5月20日，20点51分，星期四