考研数学32011年三真题

1、年2011数学三一选择题1.已知当 x 0 时，3函s数insi3)n(是k与cx等价无穷小，则） （Ak c1,k , c1 44 ）B （）C （k ,c3k ,c3 44 ）D （ 3xf2x fx 2fxf 0在，x且可0 处导0则，mil已知23xx02 f 0f 0 f 0） （A）B （)D( 0)C(正确命设题下3 列，则un数是列的是（则u敛n 收，n1u2n1 u2n1n敛收若）Au2n1 u则2n1u敛n 收n1n敛收，若）B（则u敛n 收，n1u2n1 u2n1n敛收若）Cu2n1 u则2n1n敛收，u敛n 收n1若）D（40ocsnlK I ni snl Jdx4,

2、dxoctn,l4dx则，是 IJ关K, ,系大的小设400I JK I KJ JIK KJI）A）B）C）D（A5A的第二列加到第一.列 矩阵 B，再交换B的第二行与第一行得100 设阶得3 矩为阵，将100 记P 110, P 001,则 A00101012P1） （A PP）B （121 21P1） （C P）D（212 16设 A为34 矩阵3，,21性方的程解组，Ax个3 线的性无关k,21k为任意常非是线数，则xA为通的解2 32 3 ）kk（A）B （1 212 21222 32 3 k）k（C） （D1 3 12 212 213 3122x设7Fx1 函布, 分度个密两率为概的

3、应相其，数xf1，fx,函续连是密率概为必则数22的度是 xF）f1 f x2 f2 x（A）B （21 2 x xFx）（C f1）D （f1Fx2128设总体 X 服从参数为 0的泊松分,布,，机, 样本Ln221 n 为来自总体的简单随，nn11111T XX Xi，T计量的统对则应i21nnnni1i1） （ATTDE 1 , 1 T2 D2） （BTTDE 1 , 1 T2 D2） （CTTDE 1 ） （DTTDE 1 , 1 , 1 T2 D2T2 D2二、填空题x设9fx()mil x t1)3则t ， xf() t0 xxz1( )则y ， dz 数 设函010, )1(y

4、曲线11( atnxy)e点y程在为, 线0( 方) 0的处切4yx 2 绕直1 ，线图形平x面成2 的及所x轴围 的体转体的旋所成旋x轴转曲线21积为(,型,)的f秩x 为AT，则f中在行正元交变换下QxyA二次13设1，3 和为的标321准为2YX维随2 2)2 量 (X, )从服 N(, ; ,0;)则， E(设二41三、解答题ni s121xxmli限 求极511x)nl( xx0fvu(二,)的续连有具) 12,f1(是fvu(,) ，值极的已.61数函知，数导偏阶 z2(fx ,)(, )y求 。xyfzxy) 1, 1(xnlxni scr adx求71x4n xx 证明81at

5、 cr a4302 有恰根实.3)fxy dd( y)Dt，且 91fx() 在连续的导数，f01()(0,1有Dty(,0|)yt , x0(t,) 1()t0 xDtf求x的表达式。31,0,1 , 1, 1,5, 03, 1 ,1,1 a3,2,5,13, 1 TTTTTT02能不由123123将a；1, ,2由 1出, 。2 3性线表求出。性线表3 1 1 1A 0 0 AR() 2且，0 0阵，12实矩三A 为阶 1 1 1 A（2 求向）量特（征1 值与特A的征求）.22XPY）1 （求：）2 2 1（2YX, 分的布；）3 （ZYXYX分的布；.32 ，YX,布 均在匀G服上从G

6、由xyyx,0与 y成0 围。2分fXx()；求fYX| x(y| )密度边缘求4Y1-01P3/13/113/X01P3/1/2 32011 年数学三试题及入学详解一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1） 已知当 x 0 时，函数 fx 与cxk 是等价无穷小，则（）（A） k 1, c 4（B） k 1, c 4（C） k 3, c 4（D） k 3, c 4【】应选（C）【分析】由公式及无穷小阶的比较。x3 3o(x )【详解一】sin33)4x33sin lim 1limx0 cxk

7、所以c 4, k 3x)3sinx3cos 3【详解二】limk 1xk 1x0 ckx2 12 1limx0 xk 1ck所以 k 1 2, ck 12 ，即k 3, c 4x2 f (x) 2 f (x3 )（2） 已知 f (x) 在 x 0 处可导，且f (0) 0 ，则lim等于（）x3x0（A） 2 f (0)（B） f (0)（C） f (0)（D） 0【】应选（B）【分析】根据导数在某点的定义求解。x2 f (x) 2 f (x3 )x2 f (x) x2 f (0)2 f (x3 ) 2 f (0)【详解】limx3因为 f (x) 在 x 0 处可导，所以第 1 页 共 1

8、1 页x2 f (x) 2 f (x3 )x2 f (x) x2 f (0)2 f (x3 ) 2 f (0)limx3f (0)（3）设un 是数列，则下列命题正确的是（）（A）若un 收敛，则(u2n1 u2n ) 收敛n1n1（B）若(u2n1 u2n ) 收敛，则un 收敛n1n1（C）若un 收敛，则(u2n1 u2n ) 收敛n1n1（D）若(u2n1 u2n ) 收敛，则un 收敛n1n1【】应选（A）【详解】un 收敛，则对它的任意n1括号后所成的级数仍收敛，逆命题不一定正确，所以选（A）。（4）设 I ln sin xdx, J ln cot xdx, K ln cos xd

9、x ，则 I , J , K 的大小关系是444000（A） I J K（B） I K J（C） J I K（D） K J I【】应选（B）【详解】在区间0, 上， sin4ln sinx, ln x 是增函数，所以,积分比较大小的性质可知，应选（B）（5）设A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行10 010 0得到矩阵，记 P 1 1 0 , P 0 0 1 ，则 A=（ ）12 01 00 01(A) PP ;(B) P1P ;(D) P P1 .(C) PP ;1 2122 12 1【】应选(D).，从而 A P1P1 P P1 ，【详解】由

10、初等变换及初等矩阵的性质P应212 1第 2 页 共 11 页选(D).（6）设A 为4 3 矩阵，1，2，3 是非k1, k2 为任意实数，则 AX 的通解为（线性方程组 AX 的三个线性无关的解，） 2 3 k ) ;( ) ;k (23(A)(B)12122122 ) k( ) ; ) k ( ) .k (k (2323(C)(D)13122113122122【】应选(C).【详解】由 1，2，3 是非 线性方程组 AX 的三个线性无关的解，知 3 1，2 1 为 AX 0 的基础解系.非线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非 线性方程组解，从而 23 为 AX 的解.线性方程组解的

11、结构，知2 k ( ) k ( ) 为 AX 的通解，故应选(C).231312212（7）设 F1 (x), F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 (x), f2 (x) 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（A） f1 (x) f2 (x) （B） 2 f2 (x)F1 (x) （C） f1 (x)F2 (x) （D） f1 (x)F2 (x) f2 (x)F1 (x)【】应选(D).f x dx 1 ，故由题知】由概率密度的性质知，概率密度必须满足【(x)F (x)dx dF (x)F (x) F (x)F (x)故选择 D.f (x)F (x) f 112211212（

12、8）设总体 X 服从参数为( 0) 的泊松分布，n (n 2) 为来自正态总体的n11n111 ii1简单随机样本，则对应的统计量T X ,T X X 满足（ ）2n 1innni1（A） ET1 ET2 , DT1 DT2（B） ET1 ET2 , DT1 DT2（C） ET1 ET2 , DT1 DT2（D） ET1 ET2 , DT1 DT2【】应选(D).】由题知 EXi , DXi (i 1, 2,L, n) ，故有【第 3 页 共 11 页n1 1 EXn 1 1 EX 1 EX , ETET1i2inn 1nnni1i1n1DX 1 , ET 1 DX 1 DXn 1 1 1 D

13、T1i2inn2(n 1)2n2n 1n2ni1i111由于 ，故有 ET ET , DT DT ，所以选择 Dnn 11212二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将x写在答题纸指定位置上.（9）设 f (x) lim x(1 3t) t ，则 f (x) t 0】1 3x e3x【f (x) 1 3x e3x【详解】 f (x) xe3x ，xx y（10）设函数 z 1，则 dz(1,1) y【】(2 ln 2 1)dx (2 ln 2 1)dy【详解】 dz z dx z dyxyx 1 zx1x y x yy)y y1yx zxx1xy y) yy (y2 ln

14、(1) xy2y1将(1,1) 点代入即。（11）曲线tan(x y ) e 在点(0, 0) 处的切线方程为4【】 y 2xy【详解】等式两边同时求导数，得到 y (0) 2 ，所以切线方程为 y 2x（12）曲线 y x2 1 ，直线 x 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为第 4 页 共 11 页4】 【342【详解】V y dx 233 ) X AX 的秩为 1，A 的行元T1f和为 3，则 f 在正交变换（13）设二次型X QY 下的标准形为.【】应填3y2 .111【详解】由 A 的行元和为 3，得 A1 31 ，从而 3 为其特征值.因为 r( A)

15、1，所 11 以 f 在正交变换 X QY下的标准形为3y2 .1（14）设二维随量( X ,Y ) 服从 N (, , 2 , 2 , 0) ，则 E( XY 2 ) .【】 ( 2 2 )【详解】由题知 X 与Y 的相关系数 XY 0 ，即 X 与Y 不相关.在二维正态分布条件下，X与Y 不相关与 X 与Y 独立等价，所以 X 与Y 独立，则有EX EY , DX DY 2EY 2 DY EY 2 2 2E( XY 2 ) EXEY 2 ( 2 2 )三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 2 sin x x 1

16、x ln(1 x)（15）（本题满分 10 分）求极限limx0【详解一】lim 1 2sinx x 1x2x 1 2 sin xlim cos 1 lim( sin x 2 x0cos x) 121 2 sin x第 5 页 共 11 页1 2 six 1)21 2 sin x x 1【详解二】limx0 x2 x 1 1 1 lim 2 sx 1 s2x20（16）（本题满分 10 分）已知函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数， f (1,1) 2 是 f (u, v) 的极2 z值， z f (x y), f (x, y) ，求xyx1, y 1z2 z【详解】 z z v ， z

17、 z v (z z v )v z vxuv xxyuuuv yvuvv yxv xy由于 f (1,1) 2 是 f (u, v) 的极值 fu (1,1) fv (1,1) 0 ，2 z所以xyfuv (1,1)x1, y 1arcsinx ln x（17）（本题满分 10 分）求 dxx【详解】令t x ，则有arcsinx ln xarcsin t ln t 22tdt 2arcsin t ln t dtdx 2tx 12t tdt 2t arcsin t ln t 2 2t 21 t 2 2t arcsin t ln t 2 2 t dt 4t1 t 2d (1 t 2 ) 2t ar

18、csin t ln t 4t 21 t2 2t arcsin t ln t 2 4t 2 1 t 2 Cx 4（18）（本题满分 10 分）证明4 arctan x x 3x 2 1 x C43 0 恰有两个实根.43 x2 3 ，则 f (x) 【证明】设 f1 x233 x2令 f (x) 0 ，得 x 31 x2第 6 页 共 11 页显然当 x (, 3) 或 x ( 3, ) 时，f (x) 0 ，即 f (x) 在(, 3) 或( 3, ) 上单调递减；当 x (3, 3) 时, f (x) 0 ，即 f (x) 在( 3, 3) 上单调递增.f (x) , lim f (x) ，

19、故在 x 3又xx处有一个实根，在区间( 3, ) 内有且仅有一个实根，在(, 3) 和( 3, 3) 内都没有实根.综上所述，方程恰有两个实根.（19）（本题满分 10 分） f (x) 在0,1 内有连续的导数， f (0) 1，且f (x y)dxdy f (t)dxdy,DtDt其中 Dt (x, y) 0 x t, 0 y t, x y t(0 t 1) ，求 f (x) 的表达式.【详解】由题知tt xttDtDf (x y)dxdy dxf (x y)dy f (t) f (x)dx tf (t) f (x)dx0000f (t)dxdy 1 t2 f (t) 2t所以有 tf

20、(t) f (x)dx 1 t 2 f (t) ，得 f (t) Ct（ C 为任意常数）(2 t)2204将 f (0) 1代入，得C 4 ，所以 f (t) (2 t)2(20)（本小题满分 11 分）设向量组1 (1, 0,1) ， (0,1,1) ， (1, 3, 5) ，不能由TTT23向量组 1 (1, a,1) ， (1, 2, 3) ， (1, 3, 5) 线性表出.TTT23(1)求a 的值.(2)将 1，2，3 由1，2，3 线性表出.【详解】(1)1，2，3 线性无关，由其不能被 1，2，3 线性表出，得到 1，2，3线性相关，从而r(1，2，3 ) 3 .第 7 页 共

21、 11 页11 11122-a1a2 3 04由15 03-a 3得 a 1 .(2)1 011 11 0 1 110 11 1由10 111-1120110 024-11200 03 0 1 00 1031 01 01 0 10 21200 4得123123 11 1 1 11 (21)（本小题满分 11 分）A 为三阶实对称矩阵， r( A) 2 且 A 00 0 .0 -1 111 (1)求A 的特征值与特征向量.(2)求矩阵 A. 1 1 特征值-1 对应的特征向量为 0 ，特征值1 对应的特征向量为 0 .由【详解】(1) -11 r( A) 2 知 A 的另一个特征值为 0.因为实

22、对称矩阵不同特征值得特征向量正交，从而特征 0 值 0 对应的特征向量为1 . 0 (2)由0 10 1 110100 1101A 01 0 1 0010 10 00 10 得第 8 页 共 11 页 01 000A 00 10 量 X 与Y 的概率分布分别为（22）（本题满分 11 分）设随1XX01011323131313PP且 P( X 2 Y 2 ) 1.（）求二维随量( X ,Y ) 的概率分布；（）求 Z XY 的概率分布；（）求 X 与Y 的相关系数 XY . Y 2 ) 1，即【】（）由于 P( X 2P( X 0,Y 0) P( X 1,Y 1) P( X 1,Y 1) 1则有P( X 1,Y 0) P( X 0,Y 1) P( X 0,Y 1) 0P( X 0,Y 0) P(Y 0) P(