弹塑性力学习真题答案

1、 22 北京工业大学2019-2012年攻读博士学位研究生入学考试试题历年真题汇编考试科目：弹塑性力学科目代码：2220考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）23试求图示单元体斜截面上的o30。和t30。（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知o=-10o=-4t=-2（以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得:o+oooo=xy+xycos2aTsin2a3022xyn2TX!3010XTxy530ydPz!+cos60+2sin

2、60=73x1+2x豆22228y题1-3图=6.7686.77(MPa)oo10+4y-sin2a+Tcos2a=-sin60一2cos602Xy231o=3x2x=3.5983.60(MPa)22T30代入弹性力学的有关公式得：己知=-10ov=-4J=+2o+oooo=y+(A)cos2a+Tsin2a3022xy10410+413=+cos60+2sm60=7一3x+2x-222=6.7686.77(MPa)o10+4t=一一xsin2a+tcos2a=-sin60+2cos60302Xy2o=3x+2x1=3.5983.60(MPa)由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时

3、，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。26.悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为Y弹性模量为E横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变寫与杆的总伸长量Z。解：据题意选点如图所示坐标系xoz,在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面的内力：Nz=YAz；NYA-zc截面上的应力：巳=7=a=Yz；所以离下端为z处的任意一点C的线应变z为：_YzzEE则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：l_Jzd（Al）_Jzd_Jz土d_YJzzd_E；zzzEzEy2E显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移

4、）：A1Jld(Al)_等Y-A-1-1_W-12EA_2EA；(W=yA1)x题16图_50030080029己知物体内一点的应力张量为：o.=ij+30003008003001100应力单位为kgcm2。试确定外法线为叫（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力Pn、正应力on及剪应RTn解：首先求出该斜截面上全应力P在x、y、z三个方向的三个分量：n1=nx=ny=nnxyzPx=(g+t+txxxyxz)d=5+3+(-8爪102x丄=0J3P=U+G+Tyyxyyz)d=3+0+(-3)x102V=0P=U+T+Gzxyzz)d=(-8)+(3)+11所以知该斜截面上的全应力匚

5、及正应力0、剪应力Tn均为零也即P=o=T=0nnn215如图所示三角形截面水坝材料的比重为Y，水的比重为Y。己求得应力解为:oy=cx+dy-Yy，工与=么切；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：片=-1；Z2=0；Tx=Yy;Ty=0则。兀=-丫;txy=0 xy代入：ox=ax+by；t与=-dr-gy并注意此时：x=0得：b=-Yra=0;OB边：l=cosB；l2=-sinB,T=Ty=Oox=ox+y,oy=cx+dy-Yy，gcosp+tsinp二0 xxytcosp+gsinP二0yxyYa）O/yjyJcos

6、p+dxsinp=0-dxcosp-(ex+dy-yy)sinp=0(b)(c)化简（b）式得：d=YCg2B；化简(c)式得：c=YctgB-2Y、ctg3Byoy=cx+dy-Yy代将己知条件：ox=-Yy；Txy=-dx入S）式得：217.己知一点处的应力张量为12606100 x103Pa试求该点的最大主应力及其主方向。解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：o12X103Ov=10X103t=6X103,xyxy且该点的主应力可由下式求得：o+o1o-oA212+10If1210A2厂ox弘土xy+T2+621.22I2Jxy2JJI2丿x103IQ)x103川6.0828)x1。3

7、=(Pa)则显然：O=17.083x103Pao=4.917x103Pao二0123J与兀轴正向的夹角为：(按材力公式计算)tg20二x-o-oxy-2x(-6)+12*212-10sin20+cos20+显然2&为第I象限角：2&=arctg(+6)=+80.5376则：&=+40.26884016，或(-13944)219己知应力分量为：ox=oy=oz=txy=0,tzy=a,冷切，试计算出主应力。广J、。3并求出。2的主方向。解：由211题计算结果知该题的三个主应力分别为：oa2+b2；o=0；o=弋a2+b2；TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark108

8、 123设o2与三个坐标轴X、y、Z的方向余弦为：121、122、l23,于是将方向余弦和o2值代入下式即可求出。2的主方向来。l(o-o)+1T+1TlT0(1)21x222yX23xz23xz1T+1VC-o)+1T1T0(2)21yx22y223yz23zy1T+1T+1(o-o)=1T+1T0(3)J21zx22zy23z221yx22zy以及：1221+1222+1223=1(4)1b22-，1a21由(1)(2)得：l23=01a由(3)得：尹=-；1b22c+cc+cc1xyyzzx 将以上结果代入（4）式分别得：l=ll21b2222a2+b2a；a2+b2同理l；a2+b22

9、1a2+b2于是主应力02的一组方向余弦为：（土，=，0）a2+b2a2+b2。3的一组方向余弦为（土纟,+,+2ja2+b22：a2+b2220.证明下列等式：(3)：I=1(cc-cc)；22iikkikik证明：等式的右端为：-+3l2一（于2+c2c3+c3c13严2+匕=2+c2+c2+2cc+2cc+2cc)-(cc+cc+cc)3123122331122331=(c2+c2+c2)+(cc+cc+cc)(cc+cc+cc)612361223316122331=Pc2+c2+c2cccccc6l123122331=lc2-2cc+c2+c2-2cc+c2+c2-2cc+c26l11

10、2222333311=1r(c6-c)2+G匕+G122331故左端=右端证明(3)：I=-(cccc)22iikkikik右端=1(cccc)2iikkikik=1c2+c2+c2+2C2+T2+T22xyzxyyzzx+c+c)(y+c+c)1xyzxyz=丄c2+c2+c2+2C2+T2+T2)c2c2c22C2xyzxyyzzxxyz =G+GG+GG-T2T2T2)=Ixyyzzxxyyzzx2u=a+ax+ay+azTOC o 1-5 h z0123228:设一物体的各点发生如下的位移。v=b+bx+by+bz0123w=c+cx+cy+cz0123式中a0、a】C、c2均为常数，

11、试证各点的应变分量为常数。证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：dudvy=+=b+axydydx12duTOC o 1-5 h z=axdx1dv=b HYPERLINK l bookmark22 ydy2dw=c HYPERLINK l bookmark24 zdz3dvdwy=+=c+b；yzdzdy23dudwy=+=a+c； HYPERLINK l bookmark34 zxdydx3129:设己知下列位移，试求指定点的应变状态。1):2):v=+20)x102C4yx)x102+15)x102w=(3z2-2xy)x10-2在（0，2）点处；在（1，3，4）点处v=C8zy

12、)x102解：=6x10-2dxxdv=dyy=4x-10-2y旦+竺=0+4y-10-2xydydx在（0，2）点处，该点的应变分量为:=0；y=8x102；xyxy040写成张量形式则为:ij400 x10-2.000解（2）:将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（13,4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。=du=12x10-2=12x10-2；=丄=8z10-2=32x10-2xdxydy=dw6z10-224x10-2.zdzduQv八y+0 xydydxy竺+dw8y+(_2x)10_2=(24-2)x10-222x10-2yzdzdyy=dW

13、+dU=(-2y+0)10-2=-6x10-2；zxdxdz用张量形式表示则为：120-303211-31124xlO-2ij232:试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c均为常数）+y2)(1):ijcxy0cy2000axy20(ax2+by2)(2):ij0ax2y(az2+by2(ax2+by2(az2+by2(3):ij+y2)zcxyzcxyz0cy2z000cxy解（1）：由应变张量知：*=e=e=e=e=0而8、8、8及8又都是x、yijxzyzzxzyzxyxyyx坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。将e、e、e代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：xyxy

14、TOC o 1-5 h zd28d28讷x+亠二呼也即：2c+0=2c知满足。dy2dx2dxdy所以说，该应变状态是可能的。解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：d28d28d纠x+y=xydy2dx2dxdyd28d28d纠y+z=yzdz2dy2dydzd28d28d纠z+x=zxdx2dz2dzdxdfdydy+xydxIdydzydx丿d28xdydz1）dfdydy+yzdy(dzdxd28=2adzdxdfdyyzdz(dxdy+zxdydzd28zdxdy2ax+2ay=00+0=0得：0+0=00=0不满足，因此该应变状态是不可能的。2b丰00=0解

15、（3）：将己知应变分量代入上（1）式得：2cz+0=2cz0+0丰00=0不满足，因此该点的应变状态是不可能的。2cy=2cy2cx丰0第三章：弹性变形及其本构方程5.试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为01VVV2；证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：11=22=33=P12=23=31=0如果我们定义材料的体积弹性模量为b则显然：ke,e为体积应变。将上述应力分量的值代入广义胡克定律：二2G8+X5e得:iiip=2Ge+Xe0,E0,G0。因：u=u+u=丄12+J=1ke2+Gee0orod18k12G22iiii我们知道体

16、积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由叫的正定性可推知：k0,G0。9kG而又知：E=所以：E0。3k+G我们将(1)式变化为:7222GV2G(1-2V)+6GV2G(1+V)2(1+V)EE=3+X=3+1-2V3(1-2V)3(1-2V)=3(1-2V)2-(1+V)=3(1-2V)2G（1+V）=由（2）式及k0,G0,E0知：1+VM0，1-2VN0。解得：-1WVW2。但是由于到目前为止，还没有发现有VV0的材料，而只发现有V值接近于其极限值2的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为2和0,所以得：0V

17、VV2或:0WVW2.3-10直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为5=2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E=70GpV=035，钢的弹性常数E=210Gp。试求筒内的1a1a周向应力。解：设铝块受压q1=q2=-q-40X103而Q3=1兀X42X10-44100则周向应变1=铝E铝1qX4X10-210q=钢E2x0.2x10-2E钢钢=q=28MN/m2铝钢钢套q=qD=28MN/m22tq=qvr2tq=0；qzr1111111111111111,Drlc11111111111;:二二14试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明卩=0。

18、证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。并且可将一点的应力张量鸣和应变张量分解为，球应力张量、球应变张量和偏应ijij力张量、偏应变张量。q=q5+svijmijij=5+eijmijij而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：TOC o 1-5 h zq=3k=k(1)Vm*me(2)Is=2Ge2)ijij式中：e为体积应变e=+,+；丸严严=I由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力。祝确定，由务中的三

19、个正应力之和为mij令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力。祝作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体m积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。31由单位体积的应变比能公式：U=u+u=三。+se；也可说明物体的体变oovod2mm2ijij只能是由球应力分量引起的。当某一单元体处于纯剪切应力状态时其弹性应变比能为：UU+Uoovod=0+丄T22GXy1+vT2Exy由uo的正定性知：E0,1+卩0得：卩-1。由于到目前为止还没有v0。3-16.给定单向拉伸曲线如图所示，s、E、E均为已知，当知道B点的应变为时，

20、试求该点的塑性应变。解：由该材料的。一曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：沪=8户。故：e=-pe（-）=-丄E+E（8-8）eEssa1r口=8=8a+EEEEEEE（E八（.E、8818+8=81-81EsEEsk瓦SkE丿=（8-8）h-自；o3-19.已知藻壁圆筒承受拉应力o及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭z2转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）oo二0，o二0，o=r；T二0，T=T；T二0；

21、9rz2r90zzr于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）P及扭矩M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：o解出t得：t=飞；T就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量为：omm应力偏量为：os=oo=s00m6ooos=oo=ss=zzm263s=s=T=T=0；0rrz0rrzos=T=T=s；z0z02由增量理论知：dep=sd九ijij于是得：dep=d九s=d九：dep=d九s=d九：dep=d九s=sd九：996rr6zz3dep=d九s=0:dep=d九s=0:dep=d九s=sd九9r9rrzrzz9z92所以此时的塑

22、性应变增量的比值为：dep：dep：dep：dep：dep：dep=9rz9rrzz9oI6丿oI6丿oos：0：0：=32也即：dep:dep:dep:dYp:dYp:dY0=（-1）：（-1）：2：0：0：6：9rz9rrzz93-20.藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，v=*；讨论下列三种情况：1）：管的两端是自由的：管的两端是固定的;：管的两端是封闭的;分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验J值。解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，S0,据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态:pr：C=；

23、Q=0=0TOC o 1-5 h z0t1rz23prvprpr：=C；Q=0=；c=v=c；.0t1，r3，z0t2t2prpr：C=C；Q二0=Q；C=C；0t1r3z2t2显然知，若采用Tresca条件讨论时，(1)、(2)、(3)三种情况所得结果相同，也即：QQQprQT=k=T=13=0=s；maxs222t2Qt解出得：P=f；r若采用mises屈服条件讨论时，则(2)(3)两种情况所得结论一样。于是得：1)：2Q2=(QQQ匕+(QQpr、2pr、3qr2t若采用mises屈服条件，则有：2o2一6t2=(oo)2+(oo)2+(oo122331=(oo)2+(oo)2+(ooe

24、zzrreqrqrqr)2qr)23q2r22t丿2t2故得：o一-3qr2t或.t-乞或：2tb解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）o-P+My=oxFJ1o=o=o=o一0yz23且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知y=+2得.o=o丄+6M；o=o-01xbhbh2，23若采用Tresca屈服条件，则有:Ptmax+bhbh2丿21r6M1(6Mo一P+；或：T-P+sbhkh丿s2bhkh丿故得：若采用mises屈服条件，则有：2o2一6t2=(oo)2+(oo)2+(oo)2一2o2一2二+1223311kbhbh2丿6Mbh；或：6M一般

25、以os为准（拉伸讨验）第五章平面问题直角坐标解答5-2：给出9二axy；（1）：捡査p是否可作为应力函数。（2）：如以9为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示）解：将p=axy代入V49=0式得：V2V29二0满足。故知9二axy可作为应力函数。求出相应的应力分量为：d29Q=-xdy2込0dx2Txyd29dxdy上述应力分量o二0；t=-a在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该xyxy板处于纯剪切应力状态。5-4：试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。y2h2td293FTxydxdy4cz显然上述应

26、力分量在ad边界及be边界上对应的面力分量均为零，而在ad边界上则切向面力分量呈对称于原点。的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷5显然法向均布载荷q在该面上可合成为一轴向拉力p且p=2eq；而切向面力分量在该面上则可合成为一切向集中力：fhh.6FJ2Fdy二J2-tdy二+-h2-h2Xyh32F(h3h3)+I88丿h3-h246Fh2(hh、+4h3(22丿Jh2,dyJh2y2dy4-h2F3F+二+F22-6Fh2+6Fh2-h24h3而cd边界则为位移边界条件要求，u=0,v=0,w=0以及转角条件。由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图示），可解

27、决在自由端受轴向拉伸（拉力为p=2cq）和横向集中力F作用下的弯曲问题。（如图示）5-6：已求得三角形坝体的应力为：Q=ax+byxQ=cx+dyvyt=t=dxayyxxyyxt=t=t=t=0Jxzxzzyyzz其中Y为坝体的材料容重，Y为水的容重，试据边界条件求出常数a、b、c、d的值BBY.BA解：据图示列出水坝OA边界和OB边界面上的应力边界条件：OB边：兀=0,l=cos(180)=-1,m=0,Tx=Yy,Ty=0卜0=t=yy(a)故得：-tx=Tx=01xyy(b)OA边：兀=ytgB,l=cosB,m=cos(90+B)=-sinB,T=T=0 xy故有：ccosP-tsi

28、nB=0 xxytcosP-csinP=0yxy(c)(d)将：x=0=aX+by=by代入式得：btxy=ay代入(b)式得：(ay)=0得a=0；x=0将c、t代入（c）式得：d=Yctg20-Y；xxy1将c、t代入(d)式得：c=Yctgp-2丫ctg3p；yyx15-7：很长的直角六面体，在均匀压力q的作用下，放置在绝对刚性和光滑和基础上，不计体力。试确定其应力分量和位移分量。解：由题意知，该问题为一平面应变问题。由于不计体力所以平面应力与平面应变的变形协调方程是一样的，故可取一单位长度的直角六面体来研究其应力状态。当求知应力分量函数后，再由平面应变的本构关系求得应变分量，进一步积分

29、再利用有关位移边界条件确定积分常数后求得位移分量。这里我们采用逆解法，首先据题目设应力函数P=ay2显然p式满足双调和方程式V=0。相应应力分量为：c=2a，c=0，t=0显然直角六面体左右两面的应xyxy力边界条件自动满足。对于项边：尸,l=1,m=0,Tx=-q,Ty=0则可定出：a=q；q对于底边：y=0,l=-1,m=0,T,Ty=0同样定出：a=；x 因此满足该问题所有应力边界条件的解为：=Tyxxy应这分量为：1v2v21(1q，=0 xy积分得：v=(1+v)vqy+f(X)+B1v2_1qxu=w=0利用位移边界条件确定积分常数：(1)当x=0，丁=0时，“=0贝J：A=0(2

30、)当x=0,j=0时，卩=0贝Q：B=0(3)当兀=0时，u=0贝0：f(y)=0(4)当y=0时，卩=0贝山f)=0因此知该问题的位移分量为：v2_1u=qx；E(1+v)vqyw=05-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p，试用纯三次式9=ax3+bx2y+cxy2+dy3的应力函数求解应力分量？n解:显然9式满足V29=0式，可做为应力函数,相应的应力分量为: c=2cx+6byxd20a）c=一py=6ax+2by一pyydxt=_=2bx-2cy小dxdy边界条件：ox边：y=0,Z=0卿=-1,Fx=轧=0则：2&x=0得:b=0-6ax=0得：a=0oa边：y=

31、xtga,l=cosGo+d)=sina;m=cosa;F=F=0 xy(a)(b)f-(2cx+6dxtga)sina-2cxtga-cosa=0则：I2cxtgasina-pxtgacosa=0由（c）式得：c=%ctgu；代入（b）式得：d=-彳ctg21；所以（a）式变为：c=pxctga-2pyctg2axc=-pyyt=-pyctgaxy第六章平面问题的极坐标解6-3:在极坐标中取0=AInr+Cr2,式中A与C都是常数。：检查0是否可作应力函数？（11）：写出应力分量表达式？（iii）：在r=a和r=b的边界上对应着怎样的边界条件？解：首先将0式代入V知=0式，其中：竺=A1+2

32、Cr;drr1dordr=+2C;r2空=一A+2C;dr2r2d20故：V40(d21d1d2)+jdrrdrr2d02丿(AA、-_+2C+2C+0=0;Ir2r2丿故：0式可作为应力函数。应力分量为：（A宀）F=b=+2C;F=t=0;rrr=aIa2丿0r0r=a当r=b时（外环）：(l=1，m=0.)（A宀）F=b=一+2C;F=t=0;rrr=b(b2丿0r0r=b6-5：试确定应力函数甲二cr2（cos26-cos2a）中的常数c值。使满足题5图中的条件:（1）在。面上，bg二0t用=s;在。二a面上，珥二0t用二-s;并证明楔顶不有集中力与力偶作用。解：首先将Q式代入V知二0式

33、，知其满足，故可做为应力函数。相应的应力分量为:-=2cr(cos20dr-cos2a);d0=-2cr2sin20;d=2c(cos20-cos2a)沁dr2d02=-4cr2cos20;S=-4crsin20；则得：o=1理+=-2cCos20一cos2a)rrdrr2d02(a)o=_=2cCos20一cos2a)0dr2(b)Tr)=警-r翳=2csin20(c)边界条件:当0=a时，ae=0.t旳-s;贝0：-2c(cos2a-cos2a)二0得0二0.自动满足2csin2a=s.得：c=;0=-a时.o=0,t=-s;当2clcos(2a)cos2al=0.2sin2a0r0因co

34、sCa)=cosa,贝廿0=0,2csin(-2a)=-2csin2a=-s得c=;故得:(e)2sin2a申=sr(cos20-cos2a)2sin2ao=Cos20+cos2a)o=sCos20-cos2a)t=ssin20(f)rsin2aasin2ar0sin2axMoaaRi1y由（e）式可知，该应力函数在r=0处并不适用，所以（f）式也不反映o点处的应力状态。如果我们以a为半径截取一部分物体为研究对象（见右图示），并假设在o点处存在集中力RxRy及xy集中力偶M。,那么这部分物体在Rx、Ry、M。、以及s、o和T这一力系的作用下应保持平衡状rr0态。但事实上，由于s及o力的作用线都

35、通过o点，r所以当考虑工M（F）=0,及工F=0两平衡条件时，要求MoyTr0及or、s的分布又都对称为x轴,=R=0否贝该物体将不y平衡。R=JaIosin0+tcos0rd0=0;M=-JaIosin0+tcos0丄2d0=0y-arr0o-arr0如果存在Rx，则由楔形尖项处承受集中载荷的应力的讨论知（8-25）式，在楔形体内就一定存在有随r和0而变化的应力分量o。然而我们在上述讨论中所得结果（）中第一r式中，并不存在随r而变化的这部分o应力，所以要求R=0。因此知，在楔顶（就题rx8-5图所示问题）不存在集中力与集中力偶的作用。R=ja|ocos0-tsin0ld0=-2srcosa（与边界力s平衡”Vx-arr0丿cc(J=0)和大小等于施的负的切向面力分量F0=-匸.(以逆时针转向为正)。如c果将内圆环上的切向面力分量F