初中数学竞赛培训讲义-第六讲-等腰三角形的性质和判定

1、第 PAGE 9 页 共 NUMPAGES 9 页初中数学学竞赛培培训讲义义第十讲 等腰腰三角形形的性质质研究一 竞竞赛知识识简介（）等等腰三角角形的性性质1. 有有关定理理及其推推论 定理：等腰三三角形有有两边相相等； 定理：等腰三三角形的的两个底底角相等等（简写写成“等边对对等角”）。 推论11：等腰腰三角形形顶角的的平分线线平分底底边并且且垂直于于底边，这这就是说说，等腰腰三角形形的顶角角平分线线、底边边上的中中线、底底边上的的高互相相重合。 推论22：等边边三角形形的各角角都相等等，并且且每一个个角都等等于600。等腰腰三角形形是以底底边的垂垂直平分分线为对对称轴的的轴对称称图形； 2

2、. 定理理及其推推论的作作用 等腰三三角形的的性质定定理揭示示了三角角形中边边相等与与角相等等之间的的关系，由由两边相相等推出出两角相相等，是是今后证证明两角角相等常常用的依依据之一一。等腰腰三角形形底边上上的中线线、底边边上的高高、顶角角的平分分线“三线合合一”的性质质是今后后证明两两条线段段相等，两两个角相相等以及及两条直直线互相相垂直的的重要依依据。（二）等等腰三角角形的判判定 1. 有关关的定理理及其推推论 定理：如果一一个三角角形有两两个角相相等，那那么这两两个角所所对的边边也相等等（简写写成“等角对对等边”。） 推论11：三个个角都相相等的三三角形是是等边三三角形。 推论22：有一

3、一个角等等于600的等腰腰三角形形是等边边三角形形。 推论33：在直直角三角角形中，如如果一个个锐角等等于300，那么么它所对对的直角角边等于于斜边的的一半。 2. 定理理及其推推论的作作用。 等腰三三角形的的判定定定理揭示示了三角角形中角角与边的的转化关关系，它它是证明明线段相相等的重重要定理理，也是是把三角角形中角角的相等等关系转转化为边边的相等等关系的的重要依依据，是是本节的的重点。 3. 等腰腰三角形形中常用用的辅助助线等腰三角角形顶角角平分线线、底边边上的高高、底边边上的中中线常常常作为解解决有关关等腰三三角形问问题的辅辅助线，由由于这条条线可以以把顶角角和底边边折半，所所以常通通过

4、它来来证明线线段或角角的倍分分问题，在在等腰三三角形中中，虽然然顶角的的平分线线、底边边上的高高、底边边上的中中线互相相重合，添添加辅助助线时，有有时作哪哪条线都都可以，有有时需要要作顶角角的平分分线，有有时则需需要作高高或中线线，这要要视具体体情况来来定。二 赛赛题讲解解1 利用用“等边对对等角”性质求求角例1 如图图，分别别是的平平分线，若若，求的度度数.拓展训练练1、如图图，在中中，,在在上取点点，在上取点点，使，若，求求的度数数.2、如图图，是直直线，且且，求的值值.3、已知知的三角角形的边边长的长长分别为为，且，试试判定的的形状.4、在中中，已知知，且过过某一顶顶点的直直线可将将分成

5、两两个等腰腰三角形形，求各各内角的的度数.5、四边边形中，,分别是是的中点点，交于,求证证：.2、等腰腰三角形形中的全全等构造造例2 在中，是的平分分线，垂垂足是，已已知，求求证：.例3 如图，在在四边形形中，,若若,求证：例4 如图，在在中，,是上一点点，求证证：.拓展练习习1、如图图，在中中，,点点是的中点点，是的平分分线，,求的长长. 22、如图图，中，于，,求证证：3、如图图，在中中，,是上一点点，,求的度度数.3、等边边三角形形中的几几何问题题例5如图图，中，分分别以为为边向外外作等边边三角形形，记分分别是等等边三角角形的中中心.(1)求求证：是是等边三三角形.(2) 若，求求的面积

6、积.例6边长长为等边边中，是边边上的点点，与交于点点.(1) 若,的度数数.(2) ，求证证：.拓展训练练1、一个个六边形形的六个个内角均均为，连连续四边边的长依依次是，求求该六边边形的周周长和面面积.2、是等等边内一一点,，求求的长.3、如图图，菱形形中，,是边上的的点，若若中有一一个内角角是，求求证：是是等边三三角形.4、构造造等边三三角形解解题例7 如图，中中，,为内一点点，使得得，求的度度数.拓展练习习1、中，,为内一点点，且求的度数数.2、如图图，在等等腰中，,在边边上取点点，使得得，求的度度数. 例8 如图图，在中中，.求证：.拓展练习习1、如图图，在中中，,是内一点点，且，求求证：.练习题1、在中中，和分别是是这两个个角的外外角平分分线，且且点分别别在直线线和上，则则（ ）的大小关关系不能能确定.2、如图图，已知知等腰中中，分别别是上的点，且且，求的度度数.3