数学建模 糖果匹配

1、论文题目:糖果配比问题姓名专业班级学号摘要:由于这个问题是一个优化问题，所以我们采用优化模型方案，优化模型是：为了使在原材料固定的前提下使得决策的问题达到最优。在糖果配比销售这个问题上，要求我们决定在各品牌果仁糖的总周利润最大的前提下，需购进杏仁、核桃仁、腰果仁和胡桃仁的数量以及各果仁糖中果仁的配比问题，这里我们在假设购进量的数量等于销售的数量的前提下，对问题进行优化处理，然后通过lingo软件求解可以知道答案：问题一的最优周利润为10069.70美元，又分析了每千克各品牌果仁糖中含各种果仁的量；在问题二中，我们首先假设当在圣诞节时豪华和蓝带销售量会增加，然后在分普通品牌销售量不变与普通品牌销

2、售量可变两种情况进行讨论，它们的最优周利润分别为14026.36美元和15289.33美元，并且列出了详细的参量表，通过对表的分析，可以知道某些果仁的增加不会对周利润产生影响；而有些果仁的增加会对周利润产生影响。通过对上述分析，决策者可以在此找到一个最优方案，不论是在淡季还是在圣诞节，都可以有效的掌握市场动态，使自己获得更大的利润。关键词：优化模型、果仁配比、销售量、周利润一、提出问题某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示：品牌含量需求售价/美元/kg普通腰果仁

3、不超过20%0.89胡桃仁不低于40%核桃仁不超过25%杏仁没有限制豪华腰果仁不超过35%1.10杏仁不低于40%核桃仁、胡桃仁没有限制蓝带腰果仁含量位于30%50%之间1.80杏仁不低于30%核桃仁、胡桃仁没有限制每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下表:售价/美元/kg母周最大供应量/kg杏仁0.452000核桃仁0.554000腰果仁0.705000胡桃仁0.5030001）商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。2）若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加10

4、%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分情况说明。二、模型的假设1、各品牌的产量等于销售量；2、在旺季时，只有豪华和蓝带品牌的销售量会增加，而普通品牌的销量不定；生产者资金充足，不会出现资金短缺现象。生产者在生产过程中不会随时增加销售或生产人员，也就是说不管在淡季还是在圣诞节，不会为生产者支付工资，人员不会增加。三、符号说明z:周利润各品牌中所含果仁(腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁)的量X(kg):i=l、2、3,ijj=l、2、3、4普通、豪华、蓝带的销售量y(kg)：i=l、2、3im:果仁的增加量果仁(腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁)的增量m(kg)：i=l、2、3、

5、4i四、问题分析由题意知，此问题为优化问题，我们可以建立优化模型一，首先我们来建立目标函数，由于问题要求确定杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的购进量来使得周利润最大，而周利润等于销售额减去成本，这里我们由假设和问题可以得出，目标函数为：Maxz=0.89y+1.10y+1.80y一0.70(x+x+x)一0.50(x+x+x)一1231121311222320.55(x+x+x)-0.45(x+x+x)132333142434然而，问题要求的各个量有一定的约束条件，在普通品牌中要求腰果仁不超过20%、胡桃仁不低于40%、核桃仁不超过25%、杏仁没有限制，又普通品牌的销售量为y，所1x0.40(x+

6、x+x+x)1211121314x0.25(x+x+x+x)1311121314以我们有：，所以我们有:同理，在豪华品牌中要求腰果仁不超过35%、杏仁不低于40%、核桃仁、胡桃仁没有限制，又豪华品牌的销售量为y2x0.40(x+x+x+x)2421222324在蓝带品牌中要求腰果仁含量位于30%-50%之间、杏仁不低于30%、核桃仁、胡桃仁没有限制，又蓝带的销售量为y，所以我们有:3x0.(0+x+x+)xTOC o 1-5 h z3131323334x0.30(x+x+x+x)3431323334又由对果仁的供应商来说，每周有一个最大供应量，腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁的周最大供应量分别为5

7、000kg、3000kg、4000kg、2000kg，所以每周用于生产各品牌x11+x21+x315000 x+x+x3000122232x+x+x4000132333x+x+x0i=l、2、3，j=l、2、3、4五、模型建立及求解模型一：0.55(x13+x+x)-0.45(x+x+x)2434233314S.T：Maxz=0.89y+1.10y+1.80y一0.70(x+x+x)一0.50(x+x+x)一12311213112223214由以上的分析，我们可以建立以下的优化模型:x0.40(x+x+x+x)1211121314x0.25(x+x+x+x)1311121314x0.40(x+

8、x+x+x)2421222324x0.30(x+x+x+x)3131323334x0.50(x+x+x+x)3131323334六、模型分析由结果可知，当有最大利润时，普通果仁糖的销售量为5454.545kg，豪华果仁糖的销售量为0kg，蓝带果仁糖的销售量为6666.667kg，也就是说总的销售额为16854.546美元，又由于需要购进果仁，由结果可知，需购进腰果仁3121.212kg、胡桃仁3000kg、核桃仁4000kg、杏仁2000kg,即购进果仁的成本为6784.8484美元。这样我们就解决了周利润和果仁的购进量，接下来我们说明管理人员如何决定果仁的混合，由结果可以知道，每种品牌每千克

9、果仁糖中果仁的含量，可列下表：每千克果仁糖中果仁含量(kg)普通豪华蓝带腰果仁(kg)0.200.305胡桃仁(kg)0.5500核桃仁(kg)0.2500.395杏仁(kg)000.3七、模型的拓展模型二：以上模型是在通常的情况下(也就是通常说的淡季)建立的，假如遇到节日等情况时(也就是通常说的旺季)，某些品牌销售量会改变，从而果仁的购进量也会改变，当果仁的增加量为m时，这里我们讨论果仁供应量增加10%的情形，也就是说，果仁的购进量在原基础上增加m=1400kg。假设腰果仁、胡桃仁、核桃仁和杏仁的增量分别为m、m、m和m(kg)，这时1234我们假设仍然符合题目的要求含量比，又由假设知，当在

10、旺季时，只有豪华和蓝带品牌的销量会增加，然而普通品牌的情况需要讨论。当普通品牌的销量不变时：由于普通品牌的销量不变，所以我们先除去普通品牌的销量和成本，只需对豪华和蓝带品牌果仁糖的销量、成本以及各果仁配比进行分析，这时由模型一知，普通品牌的销售量为5454.545kg，销售额为4854.5451美元，其中需要腰果仁1090.909kg、胡桃仁3000kg、核桃仁1363.636kg、杏仁0kg，需要的成本为3013.6361美元，所以普通品牌的利润为1840.909美元，从而我们可以建立如下的优化模型：Maxz=1840.909+1.10y+1.80y0.70(x+x)0.50(x+x)0.5

11、5(x+x)TOC o 1-5 h z232131223223330.45(x+x)2434S.Tm=1400 x0.40(x+x+x+x)2421222324x0.30(x+x+x+x)3131323334x0.30(x+x+x+x)3431323334x+x3909.091+m21311x+xm22322x+x2636.364+m23333x+x011x012x013x014x021x022x023x024x031x032x033x034当m=1400kg时，由lingo可解得，圣诞周利润为14026.36美元，比淡季增加3956.66美元，相应的果仁购进只需将杏仁购进量再增加1400kg

12、，见附录，相应的配比为：每千克果仁糖中果仁含量(kg)普通豪华蓝带腰果仁(kg)0.200.393胡桃仁(kg)0.5500核桃仁(kg)0.2500.265杏仁(kg)000.342当普通品牌的销量可以改变时：由于普通品牌的销量可以改变，所以我们只需对模型一进行改进就行，从而可建立如下的优化模型：MaxS.Tz=0.89y+1.10y+1.80y-0.70(x+x+x)-0.50(x+x+x)1231121311222320.55(x+x+x)-0.45(x+x+x)132333142434m=1400 x0.40+x+x+x)1211121314x0.25(x+x+x+x)13111213

13、14x0.40+x+x+x)2421222324x0.30(x+x+x+x)3131323334x0.30(x+x+x+x)3431323334x+x+x5000+m1121311x+x+x5000+m1222322x+x+x5000+m1323333x+x+x011x012x013x014x021x022x023x024x031x032x033x034当m=1400kg时，由lingo可解得，圣诞周利润为15289.33美元，比淡季增加5219.63美元，相应的果仁购进只需将杏仁购进量再增加1400kg，见附录，相应的配比为：每千克果仁糖中果仁含量(kg)普通豪华蓝带腰果仁(kg)0.012

14、00.437胡桃仁(kg)0.73800核桃仁(kg)0.2500.263杏仁(kg)000.3参考文献：姜启源、谢金星、叶俊，数学建模M,北京：高等教育出版社，2003.8.谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005.7.谭永基等，数学模型，上海：复旦大学出版社，2005.2.附录模型一Model:Max=0.89*(x11+x12+x13+x14)+1.10*(x21+x22+x23+x24)+1.80*(x31+x32+x33+x34)-0.70*(x11+x21+x31)-0.50*(x12+x22+x32)-0.55*(x13+x23+x33)

15、-0.45*(x14+x24+x34);x11-0.20*(x11+x12+x13+x14)0;x13-0.25*(x11+x12+x13+x14)0;x21-0.35*(x21+x22+x23+x24)0;x31-0.30*(x31+x32+x33+x34)0;x31-0.50*(x31+x32+x33+x34)0;x11+x21+x315000;x12+x22+x323000;x13+x23+x334000;x14+x24+x340;x120;x130;x140;x210;x220;x230;x240;x310;x320;x330;x340;end运行结果:Globaloptimalsol

16、utionfound.Objectivevalue:10069.70Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:7VariableValueReducedCostX111090.9090.000000X123000.0000.000000X131363.6360.000000X140.0000003.321212X210.0000001.777778X220.0000002.123232X230.0000001.777778X240.0000000.000000X312030.3030.000000X320.0000000.3454545X332

17、636.3640.000000X342000.0000.000000RowSlackorSurplusDualPrice110069.701.00000020.0000000.34545453818.18180.00000040.0000000.345454550.0000000.00000060.000000-5.444444730.303030.00000081303.0300.00000090.000000-3.666667101878.7880.000000110.0000000.5454545120.0000000.1500000130.0000003.916667141090.90

18、90.000000153000.0000.000000161363.6360.000000170.0000000.000000180.0000000.000000190.0000000.000000200.0000000.000000210.0000000.000000222030.3030.000000230.0000000.000000242636.3640.000000252000.0000.000000模型二1.当普通品牌的销量不变时：Model:Max=1840.909+1.10*(x21+x22+x23+x24)+1.80*(x31+x32+x33+x34)-0.70*(x21+x

19、31)-0.50*(x22+x32)-0.55*(x23+x33)-0.45*(x24+x34);x21-0.35*(x21+x22+x23+x24)0;x31-0.30*(x31+x32+x33+x34)0;x31-0.50*(x31+x32+x33+x34)0;x21+x313909.091+m1;x22+x32m2;x23+x332636.364+m3;x24+x342000+m4;m1+m2+m3+m40;x120;x130;x140;x210;x220;x230;x240;x310;x320;x330;x340;end运行结果：Globaloptimalsolutionfound.O

20、bjectivevalue:14026.36Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:4VariableValueReducedCostX210.0000001.166667X220.0000001.216667X230.0000001.166667X240.0000000.000000X313909.0910.000000X320.0000000.5000000X332636.3640.000000X343400.0000.000000M10.0000000.2500000M20.0000000.000000M30.0000000.10000

21、00M41400.0000.000000X110.0000000.000000X120.0000000.000000X130.0000000.000000X140.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice114026.361.00000020.0000000.00000030.000000-1.1666674925.45450.00000051063.6360.0000006416.36350.00000070.0000001.10000080.0000001.35000090.0000001.250000100.0000001.350000110.00

22、00001.350000120.0000000.000000130.0000000.000000140.0000000.000000150.0000000.000000160.0000000.000000170.0000000.000000180.0000000.000000190.0000000.000000203909.0910.000000210.0000000.000000222636.3640.000000233400.0000.0000002.当普通品牌的销量可以改变时：Model:Max=0.89*(x11+x12+x13+x14)+1.10*(x21+x22+x23+x24)+

23、1.80*(x31+x32+x33+x34)-0.70*(x11+x21+x31)-0.50*(x12+x22+x32)-0.55*(x13+x23+x33)-0.45*(x14+x24+x34);x11-0.20*(x11+x12+x13+x14)0;x13-0.25*(x11+x12+x13+x14)0;x21-0.35*(x21+x22+x23+x24)0;x31-0.30*(x31+x32+x33+x34)0;x31-0.50*(x31+x32+x33+x34)0;x11+x21+x315000+m1;x12+x22+x323000+m2;x13+x23+x334000+m3;x14+x24+x342000+m4;m1+m2+m3+m40;x120;x130;x140;x210;x220;x230;x240;x310;x320;x330;x340;end运行结果：15289.330.00000011Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:Infeasibilities:Totalsolveriterations:VariableValueReducedCost