双曲线焦点三角形面积公式在高考中妙用

1、双曲线焦点三角形面积公式在高考取的妙用双曲线焦点三角形面积公式在高考取的妙用5/5双曲线焦点三角形面积公式在高考取的妙用双曲线焦点三角形面积公式的应用定理在双曲线x2y21（a0，b0）中，焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上随意a2b2一点，F1PF2，则SFPFb2cot.yP122证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，由双曲线的第必定义得|r1r2|2a,(r1r2)24a2.F1OF2x在F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方得：(r1r2)22r1r222cos4c2.r1r即422r1r2(1cos)4c2.ar1r22(c2a2)2b2.1co

2、s1cos由随意三角形的面积公式得：1sin2sin2cosSF1PF2r1r2sinb2b22b2cot.2sin221cos22SFPF2b2cot.12同理可证，在双曲线y2x21（a，b）中，公式仍旧建立.a2b200典题妙解例1设F1和F2为双曲线x2y21的两个焦点，P在双曲线上，且知足F1PF290，4则F1PF2的面积是（）A.1B.5C.2D.52解：SF1PF2b2cotcot451,选A.2例2(03天津)已知F1、F2为双曲线x2y21的两个焦点，P在双曲线上，若F1PF2的4面积是1，则PF1PF2的值是_.解:SF1PF2b2cotcot1,45,即90.222PF

3、1PF2，进而PF1PF20.例3已知F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF260，F1PF2的面积是123，离心率为2，求双曲线的标准方程.解：由SFPFb2cotb2cot30123得：b212.122又e1b22,a21124.进而a24.a2所求的双曲线的标准方程为x2y21，或y2x21.412412金指点睛1.已知双曲线x2y21的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且F1PF2的面积为3，则4PF1?PF2的值为()A.2B.3C.2D.32.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为F1(5,0),F2(5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1PF2,|PF1|P

4、F2|2，则该双曲线的方程是（）A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y212332443.（05全国）已知双曲线x2y21的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且MF1MF20，2则点M到x轴的距离为（）A.4B.523D.333C.34.双曲线x2y21两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为,则9163F1PF2面积为()A163B323C32D425.双曲线16x29y2144，F1、F2为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小.6.已知双曲线x2y2（a，）的焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，且PF1PF

5、20，2b210b0a|PF1|PF2|4ab，求双曲线的离心率.参照答案1.解：SFPF2b2cot2cot23，230,60.1又SFPF21|PF1|PF2|sin3，|PF1|PF2|4.121PF1?PF2=|PF1|PF2|cos42.2故答案选A.2.解：PF1PF2,SF1PF21|PF1|PF2|121.22又SF1PF2b2cotb2cot45b21，b1，而c5，a2.2故答案选C.3.解：MF1MF20，MF1MF2.SFMF2b2cot22cot452.1点M到x轴的距离为h，则SF1MF21|F1F2|hch32，h232h.3故答案选C.4.解：设F1PF2，则.SFPFb2cot16cot163.31226故答案选A.5.解：由16x29y2144得x2y21.设F1PF2（0180）.916SFPF2b2cot16cot.122又SFPF21|PF1|PF2|sin16sin.12cossincot，即2sin2cos2.22sin2整理得：sin21，sin22，45，90.2222故F1PF2的大小为90.6.解：设