微积分a1第8次习题课题目

1、微积分 A(1)第八次习题课题目（第十三周）教学目的:本次习题课是定积分的应用，主要包含两方面：1.的函数以积分的形式出现，这样就将闭区间连续函数基本性质、洛必达法则、中值定理、泰勒公式、变上限积分求导、积分估值（不等式）、函数的凸性等问题结合起来，较为综合；2.定积分的在求面积、旋转体体积、物理方面的应用。积分应用的范围很广，与后续应用课程的联系紧密，应当引起大家重视。定积分的应用 1设函数 f (x) 连续，试证 0 xf (sin x)dx 0f (sin x)dx 2f (sin x)dx ，并求20 x sin x dx 的值dx ，01 sin2 x01x2.设函数 f (x) (

2、x t) g(t)dt ，其中函数 g(x) 在(,) 上连续，且 g(1) 5 ，2201xxg(t)dt 2 ，证明 f (x) xg(t)dt tg(t)dt ，并计算 f (1) 和 f (1) 。0003.设 f ( x ) 为0,2 上的单调减少函数, 证明：对任何正整数n 成立20f (x) sin nxdx 0 。 1e x dx1xn2 n4.求极限： lim2n n15. f 为0,1 上的连续函数，证明 lim (n 1) x f (x)dx f (1) .nn0 x sin t dth*1f (x)dx ，其中 f (x) C1,1；（2） 0 x6求极限 （1 ） l

3、im1limx h0h2 x27设 I 是一个开区间， f (x) , b I , a b ，f (x h) f (x)bdx f (b) f (a) .求证： limhh0 a提示：不可以将极限号和积分号换序！8.设 f (x) 在a, b 上连续。证明 1 b abb| f (x) | dx 。max | f (x) |a xbf (x)dxaax9.设 f (x) 在a,b 单调增，证明： F (x) f (t)dt(a c b) 为a,b 上的下凸函数。cPage 1 of 410.设 f ( x ) 在( , ) 上连续，证明x0 xuf (u)( x u) du (f (x)dx)

4、du 。 0011设 f (x) 在0, 上连续，在(0,) 内可导，且满足cos x f (x) dx 0 ,证明:至22220少存在一点 (0, ) ，使得 f ( ) 2 f ( ) tan .212已知函数 f (x) 在0,1 上导数存在，且当 x (0,1) 时， 0 f (x) 1， f (0) 0 ，证11f (x)dx f (x)23dx 明0013.设函数 f (x) 在0, 上连续，且 0 f (x)dx 0 ，0 f (x) cos xdx 0 。证明：在(0, )内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0 。14.设 f ( x )

5、 在0, a 上二阶可导（ a 0 ），且 f (x) 0 ，证明：f (x)dx af a 。a 2 0 ， x 0,1 ,015.设函数 f (x) 在0,1 上二阶可导，且 f (x) 证明：f 1 。1f (x )dx 23 0 a b(b a)3bf (x)16.设 f (x) 在a,b 上二阶可导， f0。证明：f (x)dxsupxa,b 224a17.设 f (x) 在a,b 二阶可导， f (a) f (b) 0 ，证明：存在 (a,b) 使得b( )f (x)dx (b a)a:Dl tLb/-vuL 11f (x) f (a) f (a)(x a) f ( )(x a)2

6、 f (a) f ( )(x a)2112!2!11f (x) f (b) f (b)(x b) f ( )(x b)2 f (b) f ( )(x b)2222!2!# f (x) f (a) f (b) 1 f ( )(x a)2 f ( )(x b)2 1224a!f (x)dx (b a)f (b f (a) f (b)1 )(x a)2 f ( )(x b)2 dxb1224aaa) f (a) f (b) 11bb(b) (x a) dx f () (x b) dx22f (12244aaPage 2 of 4( 2 )( 2 ) G6 I 3 1, 2 ,b ( )f (x)dx

7、 (b a)a18.求下列曲线所围的图形面积 x 2t t 2 ,0 t（2）阿基米德螺线r a , 0, 22（1）叶形线y 2t t 3 ,2（3） x 4 a 2 ( x 2 y 2 )y 419.求下列曲线的弧长x a cos3 t,0 t2（2）心脏线r a(1 cos) ， 0 2 ；（1）星形线y a sin3 t,2r2解： L r 22过原点作其切线, 求此曲线,切线及 x 轴为成的平面区域绕 x 轴020.设有曲线 y x 1 ,旋转一周所得到的旋转体表面积.22221.（1）求由星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋转所成旋转体体积.（2）求心星线r a

8、(1 cos ) 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积22.设函数 f (x) 在0,1 上连续，在0(,1) 内大于零，并满足 xf (x) f (x) 3a x2 （ a 为常2数），又曲线 y f (x) 与直线 x 0, x 1, y 0 所围的图形 S 的面积为 2.求函数 f (x) ； a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小。23.在极坐标下，由0 , 0 r r() 所表示的区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积为2V r ( ) sind 。33垂直放入水中, 直径与水平面重合,水的密度为 1,求24.（1）将半圆形平板力.受的压（2）将一半径为 R 的圆球压入水中, 使球体刚好与水平面相切, 求克服水的浮力作的功(设水的密度为 1).Page 3 of 4（3）一个圆柱形水池半径 10m，高 30m，内有一半的水，求将水全部抽干所要做的功。（4）使某个做多少功？长度为 1m 的弹簧伸长 2.5cm 需费力 15N，现将它从 1.1m 拉至