1.4.2 充要条件（课件）2022-2023学年高一数学同步备课（人教A版2019必修第一册）

1、1.4.2 充要条件第 1 章集合与常用逻辑用语人教A版2019必修第一册01充要条件的判断02充要条件的证明03充要条件的应用目录1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点、难点)2会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(重点)3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点)学 习 目 标充分必要充要互为充要概念56从集合角度看充分、必要条件(1)依据设集合A=x|p(x),B=x|q(x).若x具有性质p,则xA;若x具有性质q,则xB.若AB,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即pq.类似地,BA与qp等价,A=B与pq等价.(2)

2、结论如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题.1. 充要条件的判断下列各组命题中，哪些p是充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy0，q：x0，y0；（4）p：x=1是一元二次方程ax+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a0).解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以p q，所以p不是q的充

3、要条件。（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。（3）因为x0时，x0,y0不一定成立（为什么），所以p q,所以p不是q的充要条件。（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p q，所以p是q的充要条件。典例1总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性.1.“x1”是“x23”的_条件.解析当x

4、1时，x23；当x23时，x1，所以“x1”是“x23”的充要条件.充要练一练2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).(1)p：x20，q：x0；解p：x20，则x0或x0，故p是q的必要不充分条件.(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件.练一练(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；解p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件.(4)p：ABA，q：UBUA

5、.解ABAABUBUA，p是q的充要条件.练一练2. 充要条件的证明已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.（1）充分性( p q):如图，作OPl于点P，则OP=d.若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在RtOPQ中，OQOP=r.所以，除点P外直线l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共点P.所以直线l与 O 相切.（2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O

6、 相切的充要条件.典例2总结：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证pq是证明充分性，推证qp是证明必要性.(2)集合思想：记p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x)，若AB，则p与q互为充要条件.3.求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明必要性：由于方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根.综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac1， Bx|xa.因为p是q的充分不必要条件，所以A B，a1.典

7、例3由p是q的充分不必要条件，可知A B，练一练典例4练一练5.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围256若本例题改为：已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ”的必要条件，求实数a的取值范围解因为“xP”是“xQ”的必要条件，所以QP.所以解得1a5，即a的取值范围是a|1a5课堂基础练习1.“1x2”是“x2”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析设Ax|1x2，Bx|x2，A B.故“1x0”是“ab0”的_条件.解析若ab0，取a3，b2，则ab0不成立；反之，若ab0，取a2，b3，则ab0也不成立，因此“ab0”是“ab0”的既不充分又不必要条件.既不充分又不必要5.求证：一次函数ykxb(k0)的图象过原点的充要条件是b0.证明充分性：如果b0，那么ykx，当x0时，y0，函数图象过原点.必要性：