人教版高一数学函数的单调性 苏教

1、2021/8/9 星期一1函数的单调性2021/8/9 星期一2 创设情境，引入新课 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质函数的单调性2021/8/9 星期一3下面是某一天温度的变化图象：tTo3691215182124134-12-25(小时)（ OC ）141、在上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？2、什么时刻气温是0度？3、在什么时段内，气温在0度以上？4、说出这一天的气温变化趋势，怎样用数 学语言刻画这一

2、特征。问题1:2021/8/9 星期一4问题1、观察自己所作函数图象，并指出图象的变化的趋势学生活动自己作出下列函数的图象：2021/8/9 星期一5OxyyOxOxy-1yOx2021/8/9 星期一6问题2：你能明确说出“图象呈下降趋势”的意思吗？在某一区间内；当x的增大时，函数值y反而减小学生讨论图象在该区间内呈下降趋势；2021/8/9 星期一7问题3：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗？在某一区间内；当x的增大时，函数值y也增大学生讨论结论图象在该区间内呈上升趋势；2021/8/9 星期一8在某一区间内当x的增大时，函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势；在某一区间内当x的增大

3、时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势；函数的这 种性质称为函数的单调性。2021/8/9 星期一9 X不断增大，f(x)也不断增大0 XYX1X2f(X1)f(X2)2021/8/9 星期一10Y X0 X不断增大，f(x)不断减小X1X2f(X2)f(X1)2021/8/9 星期一11函数f (x)在给定区间上为增函数。Oxy如何用x与 f(x)来描述上升的图象？如何用x与 f(x)来描述下降的图象？函数f (x)在给定区间上为减函数。Oxy2021/8/9 星期一12如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1x2时，都有f（x1） f（x2），那么就说

4、f（x）.在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1x2时，都有f（x1） f（x2），那么就说f（x） .在这个区间上是减函数.增函数与减函数定义建构数学2021/8/9 星期一13说明1函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，就称函数y=f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数的单调区间。2021/8/9 星期一14说明2 说函数的单调性必须指出所对应的单调区间,单调区间可能是定义域的一部分(如:y=x2),也可能是全部定义域(如:y=x3);一个函数在定义域内可以划分出若干个单调区间,不同的单调区间上可以表现出不同的单调性.增函数

5、和减函数的定义中两个变量x1,x2:1. 必须在同一单调区间上;2. 必须是任意的,不能用定值代替;3. 必须设定它们的大小关系后,比 较y1,y2 的大小才有意义.2021/8/9 星期一15例:下图是定义在5，5上的函数yf（x）的图象，根据图象说出yf（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， yf（x）是增函数还是减函数.解：yf（x）的单调区间有5，3），3，1）1，3），3，5.其中yf（x）在5，3）， 1，3）上是减函数，在3，1）， 3，5）上是增函数.xyo31-35-5数学应用2021/8/9 星期一16 1. 如图,已知y=f(x) 的图象(包括端点),根据图象说出函数的

6、单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.12-2-1-11o 作图是发现函数单调性的法之一演练反馈2021/8/9 星期一17单调递增区间：单调递减区间：xy21o2021/8/9 星期一18例1：证明函数f(x)=2x+1在区间(-,+)上是增函数。注意：我们在证明函数的单调性时，不能“以图代证”, 而是严格按照定义证明. 回想一下,定义的本质是什么?本题怎样用定义来证明?2021/8/9 星期一19证明：（条件）（论证结果）（结论）例1：证明函数f(x)=2x+1在区间(-,+)上是增函数。2021/8/9 星期一20证明函数单调性的步骤：第一步：取值.即任取区间内的两个值

7、，且x1x2第二步：作差变形.将f(x1)f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。第四步：判断.根据定义作出结论。取值作差变形定号判断2021/8/9 星期一21证明：设x1，x2（0，+），且x1x2，则111Ox y1减函数例2：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。 f(x)在定义域上是减函数吗？2021/8/9 星期一22Ox y11解：函数 f（x） x21 在（0，）上是增函数.下面给予证明：设x1，x2（0，），且x1x2函数f（x）x21在（0，）上是

8、增函数.例3：判断函数f(x)=x2+1在区间(0,+)上是增函数还是减函数？并给予证明。2021/8/9 星期一23演练反馈2.求证：函数y= - 5x+3在R上为减函数.3.求证：函数f (x) = -x3 + 1在(- , + )上是减函数. (能力提高题)2021/8/9 星期一24证明: 设x1 ,x2R 且 x1 x2 x1 x2 x1 x2 f (x2) f(x) = x3 + 1在(, + )上是减函数. 2021/8/9 星期一25小结：（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。（2）单调递减函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。2021/8/9 星期一26 增函数 减函数图象图象特征自左至右，图象上升.自左至右，图象下降.数量特征y随x的增大而增大.当x1x2时，y1y2y随x的增大而减小.当x1x2时，y1y2O