浙江专版2022学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案新人教A版必修4

1、（浙江专版）2021学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案新人教A版必修4PAGE PAGE 2824.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106107，思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么？ (2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？ eq avs4al(新知初探)1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20点睛记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算

2、和”2与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a(x，y)，则|a|eq r(x2y2).(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq r(x1x22y1y22).(3)向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).eq avs4al(小试身手)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，

3、则abx1x2y1y20.()(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()答案：(1)(2)(3)2已知a(3,4)，b(5,2)，则ab的值是()A23B7C23D7答案：D3已知向量a(x5,3)，b(2，x)，且ab，则由x的值构成的集合是()A2,3 B1,6 C2 D6答案：C4已知a(1，eq r(3)，b(2,0)，则|ab|_.答案：2平面向量数量积的坐标运算典例(1)(全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)aA1B0C1 D2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5

4、B4C3 D2解析(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(2)由(1，2)(2,1)(3，1)，得(2,1)(3，1)5.答案(1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算活学活用已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.解：(1)因为a与b同向，又b(1,2)，所以ab(，2)又ab10，所以12210，解得20.因为2符合a与b同向的条件，所以a(2,4)(

5、2)因为bc122(1)0，所以(bc)a0a0.向量的模的问题典例(1)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A.eq r(5) B.eq r(10)C2eq r(5) D10(2)已知点A(1，2)，若向量与a(2,3)同向，|2eq r(13)，则点B的坐标是_解析(1)由eq blcrc (avs4alco1(ac，,bc)eq blcrc (avs4alco1(2x40，,2y40)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y2.)a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)|ab|eq r(10).(2)由题意可设a(0)，(2，

6、3)又|2eq r(13)，(2)2(3)2(2eq r(13)2，解得2或2(舍去)(4,6)又A(1，2)，B(5,4)答案(1)B(2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|eq r(x2y2).活学活用1已知向量a(cos ，sin )，向量b(eq r(3)，0)，则|2ab|的最大值为_解析：2ab(2cos eq r(3)，2sin )，|2ab|eq r(2cos r(3)22sin 2)eq r(4cos24r(3

7、)cos 34sin2)eq r(74r(3)cos )，当且仅当cos 1时，|2ab|取最大值2eq r(3).答案：2eq r(3)2已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析：a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)，|c|eq r(8282)8eq r(2).答案：8eq r(2)向量的夹角和垂直问题典例(1)已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数_.(2)已知a(2,1)，b(1，1)，cakb，dab，c与d的夹角为eq f(,4)，则实数k的值为_解析(1)a

8、(3,2)，b(1,2)，ab(3，22)又(ab)b，(ab)b0，即(3)(1)2(22)0，解得eq f(1,5).(2)cakb(2k,1k)，dab(1,0)，由cos eq f(,4)eq f(r(2),2)得eq f(2k11k0,r(2k21k2)r(1202)eq f(r(2),2)，(2k)2(k1)2，keq f(3,2).答案(1)eq f(1,5)(2)eq f(3,2)解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos eq f(ab,|a|b|)求出cos ，也可由坐标表示cos eq f(x1x2y

9、1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2)直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，利用cos eq f(ab,|a|b|)来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.活学活用已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，ceq avs4al()(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n解：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2abnac(3,4)(4，3)(7,1)设m，n的夹角为，则cos eq f

10、(mn,|m|n|)eq f(3741,r(3242)r(7212)eq f(25,25r(2)eq f(r(2),2).0，eq f(3,4)，即m，n的夹角为eq f(3,4).求解平面向量的数量积典例已知点A，B，C满足|3，|4，|5，求的值解法一定义法 如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且Beq f(,2)，cos Aeq f(3,5)，cos Ceq f(4,5)，45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A20eq f(4,5)15eq f(3,5)25.法二坐标法 如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)(3,0)，(0,4)，(

11、3，4)30040，034(4)16，3(3)(4)09.016925.法三转化法|3，|4，|5，ABBC，0，()|225.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式ab|a|b|cos 求解；(2)坐标法：利用坐标式abx1x2y1y2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算活学活用如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cosDOE的值为_解析：法一： 以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得eq blc(rc)(avs4

12、alco1(1，f(1,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1).故cosDOEeq f(,|)eq f(1f(1,2)f(1,2)1,f(r(5),2)f(r(5),2)eq f(4,5).法二：eq f(1,2)，eq f(1,2)，|eq f(r(5),2)，| |eq f(r(5),2)，eq f(1,2)2eq f(1,2)21，cosDOEeq f(,|)eq f(4,5).答案：eq f(4,5)层级一学业水平达标1已知向量a(0，2eq r(3)，b(1，eq r(3)，则向量a在b方向上的投影为()A.eq r(3)B3Ceq r(3) D3解析：选

13、D向量a在b方向上的投影为eq f(ab,|b|)eq f(6,2)3.选D.2设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A.eq r(5) B.eq r(10)C2eq r(5) D10解析：选B由ab得ab0，x11(2)0，即x2，ab(3，1)，|ab|eq r(3212)eq r(10).3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则kA12 B6C6 D12解析：选D2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得4a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，bAeq f(8,65

14、) Beq f(8,65)Ceq f(16,65) Deq f(16,65)解析：选C设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以eq blcrc (avs4alco1(8x3，,6y18，)解得eq blcrc (avs4alco1(x5，,y12，)故b(5,12)，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(16,65).5已知A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析：选A由题设知(8，4)，(2,4)，(6,8)，28(4)40，即.BAC90，故ABC是直角三角形6设向量a(1,2m)

15、，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|解析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m1)3m0，解得meq f(1,2)，则a(1，1)，故|a|eq r(2).答案：eq r(2)7已知向量a(1，eq r(3)，2ab(1，eq r(3)，a与2ab的夹角为，则_.解析：a(1，eq r(3)，2ab(1，eq r(3)，|a|2，|2ab|2，a(2acos eq f(a2ab,|a|2ab|)eq f(1,2)，eq f(,3).答案：eq f(,3)8已知向量a(eq r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且abeq r(3)，则向量b的坐标为_

16、解析：设b(x，y)(y0)，则依题意有eq blcrc (avs4alco1(r(x2y2)1，,r(3)xyr(3)，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,yf(r(3),2)，)故beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)

17、x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|eq r(416)2eq r(5).综上，|ab|2或2eq r(5).10在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)(1)求及|；(2)设实数t满足(t)，求t的值解：(1)(3，1)，(1，5)，31(1)(5)2.(2，6)，|eq r(436)2eq r(10).(2)t(32t，1t)，(2，1)，且(t)，(t)0，(32t)2(1t)(1)0，t1.层级二应试能力达标1设向量

18、a(1,0)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，则下列结论中正确的是()A|a|b|Babeq f(r(2),2)Cab与b垂直 Dab解析：选C由题意知|a|eq r(1202)1，|b|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(2),2)，ab1eq f(1,2)0eq f(1,2)eq f(1,2)，(ab)bab|b|2eq f(1,2)eq f(1,2)0，故ab与b垂直2已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A(3,0)

19、 B(2,0)C(3,0) D(4,0)解析：选C设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当x3时，最小，此时点P的坐标为(3,0)3若a(x,2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(10,3) B.eq blc(rc(avs4alco1(，f(10,3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,3)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(10,3)，)解析：选Cx应满足(x,2)(3,5)0且a，b不共线，解得xeq f(10,3)，且

20、xeq f(6,5)，xeq f(10,3).4已知(3,1)，(0,5)，且， (O为坐标原点)，则点C的坐标是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(29,4) B.eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(29,4)C.eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(29,4) D.eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(29,4)解析：选B设C(x，y)，则(x，y)又(3,1)，(x3，y1)，5(x3)0(y1)0，x3.(0,5)，(x，y5)，(3,4)，3x4(y5)0，yeq f(29,4)，C点的坐标是eq blc(rc)(avs4a

21、lco1(3，f(29,4).5平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析：因为向量a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m4,2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以eq f(ca,|c|a|)eq f(cb,|c|b|)，即eq f(ac,|a|)eq f(bc,|b|)，所以eq f(5m8,r(5)eq f(8m20,2r(5)，解得m2.答案：26已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析： 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A