专题50 圆锥曲线的最值-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

1、专题50 圆锥曲线的最值【方法点拨】综合运用函数知识、向量、基本不等式等求解圆锥曲线中的最值问题.【典型题示例】例1 已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为 【答案】【分析】直接设点P的坐标，转化为的二次函数即可解决.【解析】设点P的坐标则当且仅当，即当点P的坐标时，取得最小值为.例2 已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（ ）.B.C.4 D.6【答案】C【分析】因为，故，再使用定义将转化为到准线的距离，设出点坐标，使用基本不等式求解.【解析】因为，故设，则所以设，则当且仅当，等号成立所以的最小值是4.例3 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）A

2、. B. C. D. 【答案】D【分析】先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案【解析】设点，则，得，圆的圆心，半径为，则，令，对称轴为，所以当时，取得最小值，所以最小值为，所以的最小值为，故选：D.例4 已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点P是抛物线上的动点，则当|PF|A. 2-2B. 2C. 1【答案】A【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系设P到准线的距离为PQ，根据抛物线的性质可知|PF|PA|=|PQ|PA|=sinPAQ.从而当PAQ最小，即AP与抛物线相切时，|PF|PA|的值最小求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面

3、积公式得出面积【解析】抛物线的准线方程为x=-1设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|=|PF|PF|PA|=|PQ|PA|=sinPAQ当PA与抛物线y2=4x相切时，PAQ最小，即|PF|PA例5 已知A、B是圆C1：x2+y2=10上的动点，AB=42，P是圆【答案】28,52【分析】本题的关键是将所求PA+3PB转化为一个向量，这里设PA+3PB=4PE（想一想，这里为什么将系数确定为4，而非其它数？其主要目的在于利用三点共线，使点E在线段AB上，这是遇到两向量和、差的模的常用的策略，其目的仍是化繁为简、合二为一），从而由|PA+3PB|化简得4PE，进一步可求得C1E=2，故E点的轨

4、迹为圆，最终转化成两圆上的点间的距离问题即可求解【解析】设PA+3PB=4PE，则14PA+34PB=PE，取AB中点为D，再取BD中点为E，则由AB=42，得C1D=10-8=2，DE=2，所以C1E=2，即E点的轨迹方程为【巩固训练】1.面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 2.抛物线y2=8x的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点B(-2,0)，当|AF|A. AB的斜率为23 ； B. |AF|=4C. ABF外接圆的面积为8；3.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=14.过抛物线y2 =4x焦点的直线l与抛物线交于

5、A，B两点，与圆(x-1)2 +y2 =r2交于C【答案或提示】1.【答案】1或【提示】设点，转化为函数解决.2.【答案】BCD【分析】由题意利用抛物线的定义可得|AF|AB|=|AC|AB|=sinABC，当|AF|AB|取得最小值时，AB与抛物线相切，再联立直线与抛物线方程，由此可得|AB|，|BF|，设AB的方程为y=k消去y可得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0，则可得ABF为等腰直角三角形，|AB|=2-(-2)2+(4-0)2=42，|BF|=|AF|=4，设ABF内切圆的半径为r，则1解得r=1642+8=4-22ABF的内切圆的面积为S=(4-23.【答案】1,3【分析】由

6、双曲线的定义得PF2-PF1=2a，又PF22PF1的最小值为8，则PF22PF1=(其中PF又设P(x,y)(x-a)，则由第二定义，得PF1=-x-a2c4.【答案】(2,+)【分析】求得抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，可得A，B，C，D，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l方程y=k(x-1).A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A、C、D、B时，当四点顺序为A、C、B、D时，考虑是否存在与直线x=1对称的直线，即可得到所求范围【解析】抛物线y2=4x焦点为(1,0)，(1)当直线lx轴时，直线l：x=1与抛物线交于A(1,2)、B(1,-2)，与