专题22 三点共线充要条件的应用-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

1、专题22 三点共线充要条件的应用【方法点拨】在平面内, 是不共线向量,设，P、A、B三点共线说明：1.上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值.2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是“1”时，应化“1”.3.遇到条件“两条线段相交于一点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置【典型题示例】例1 在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】0或.【分析】条件中向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1，应先变形为系数和是1的情形

2、，求出.继而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底边.【解析】可化为当，且时三点共线，故，在，.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.例2 在中，为上一点，为上任一点，若，则的最小值是（ ）A9 B10 C11 D12【答案】D【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出m、n间的等量关系，再使用基本不等式求解.【解析】因为，所以又因为B、P、E三点共线所以m3n=1所以，当且仅当时，“=”成立所以的最小值是12例3 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为_.【答案】【分析】凑系数使其代数和为1，取、，即，而可得M、E、F三点

3、共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），所以 的最小值为.例4 在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为 .【答案】【分析】设，则如图，延长至，使为求的取值范围，只需求点的轨迹.遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设中，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即的取值范围为.点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；（2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”；（3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？例5 若是锐角的外心，则.【答案】【分析】由得，将变形为.如图，

4、作，则 三点共线，且.在，故.OAOACBDE例6 已知中， ,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是 .【答案】【解析】由条件 ，设，则，其系数和为1设，则，故三点共线由的最小值为，即点到的距离是故中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而. 的最小值是 .【巩固练习】1. 如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则 .2.如图，在平行四边形中， 为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（ ） 3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为 .4.在平面直角坐标系中，是圆上两

5、动点，且，点坐标为，则的取值范围为 5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是_.6.在四边形中，.若，则 7. 在ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BEeq f(1,2)EC，AE与BD交于点O，则eq o(AO,sup6()等于()A.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup 6() B.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup 6() C.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6() D.eq f(1,2)eq o(AB,su

6、p6()eq f(1,2)eq o(AC,sup 6()8. 在ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设eq o(AM,sup6()xeq o(AB,sup6()， eq o(AN,sup6()yeq o(AC,sup6()(xy0)，则4xy的最小值是_9.在中，点是的三等分点，过点的直线分别交直线 于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）A1B2CD10. 已知点是的外心，且，若，则的值为 .11. 在中，BC是定长，且，若面积的最大值为2，则边的长为 .12.已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为ABCD13.如图所

7、示，过的重心作一直线分别交于点.若，则的值为( )A.4B.3C.2D.114.已知中， , ， CD与BE交于点P，AP=1，BC=4，则的值是 .15.已知中， , ， BM与AN交于点P，则的取值范围是 .16.已知A，B是圆上的动点，满足对于任意A，B两点恒成立，则实数的取值范围是 .【答案与提示】1. 【答案】【解析】因为是的中点所以，即因为三点共线，所以，.2. 【答案】A【分析】从三点共线入手，将用线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.【解析】三点共线（其中）又，所以所以，解之得，选A.3.【答案】【解析】根据题意，的终点在线段BC上，；又O是MN的中点，的最小值是4.【答案

8、】【简析】设，则，如图，设则，由勾股定理得，故5.【答案】【分析】由可得在线段上，故，而 ，有基本不等式立得.【解析】由，得，因为，所以在线段上所以，又因为，则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）故的最小值是6.【答案】16【解析】由中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”设E为上一点，且，则所以，则四边形是平行四边形，所以.7.【答案】A【解析】如图，设eq o(AO,sup6()eq o(AE,sup6()(0)，又eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1

9、,3)eq o(AC,sup6()，eq o(AO,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().又B，O，D三点共线，eq f(2,3)eq f(2,3)1，eq f(3,4)，eq o(AO,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6().8.【答案】eq f(9,4)【解析】由D为BC的中点知，eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,

10、2)eq o(AC,sup6()，又eq o(AM,sup6()xeq o(AB,sup6()，eq o(AN,sup6()yeq o(AC,sup6()(xy0)，E为AD的中点，故eq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,4x)eq o(AM,sup6()eq f(1,4y)eq o(AN,sup6()，M，E，N三点共线，eq f(1,4x)eq f(1,4y)1，4xy(4xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4x)f(1,4y)eq f(y,4x)eq f(x,y)eq f(5,4)2eq r(f(y,4x)f(x,y)

11、eq f(5,4)eq f(9,4)，当且仅当eq f(y,4x)eq f(x,y)，即xeq f(3,8)，yeq f(3,4)时取等号4xy的最小值为eq f(9,4).9. 【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.【解析】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，则，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为 ，则有,解可得或(舍），故，故选：B.10. 【答案】【提示】解法同例5.11.【答案】2【解析】两边同时除以3得设，则故BC是定长，且面积的最大值为2当为BC边上的高时，面积取得最大值，此时故.12.【答案】D【解析】因为，所以，由此可知，向量与向量，的一端三点共线，由图象及平面向量共线定理易知的取值范围为13.【答案】B【解析】欲求的值，可依据题设建立关于的等式(方程思想).因为三点共线，所以可设.因为，所以.因为为的重心，所以.又，故可得，整理得，由此可得，故选B.14.【答案】【分析】关键是求出点P分线段CD所成的比，方法有二，一是利用相似三角形、成比例线段，通过作平行线，二是抓