专题11 双变量方程类存在性、任意性问题-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

1、专题11 双变量方程类存在性、任意性问题【方法点拨】解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有： = 1 * GB3 x1D， x2E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； = 2 * GB3 x1D，x2E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.【典型题示例】例1 已知函数，实数，满足，若，使得成立，则的最大值为（ ）A 4 B. C. D. 【答案】A【解析】，则当 时，；当 时， .，作函数 的图象如图所

2、示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A. 例2 已知函数g(x)ax2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)xe，e为自然对数的底数)与h(x)2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_.【答案】1，e22【解析】函数g(x)ax2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)xe，e为自然对数的底数)与h(x)2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，等价于ax22ln x在eq blcrc(avs4alco1(f(1,e)，e)上有解，即a2ln xx2在eq blcrc(avs4alco1(f(1,e)，e)上有解.设f(x)2ln

3、 xx2，xeq blcrc(avs4alco1(f(1,e)，e)，则f(x)eq f(2（1x）（1x）,x).f(x)0在eq blcrc(avs4alco1(f(1,e)，e)上有唯一的零点x1.故f(x)在eq blcrc)(avs4alco1(f(1,e)，1)上单调递增，在(1，e上单调递减.f(x)maxf(1)1，又feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)2eq f(1,e2)，f(e)2e2，知f(e)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e).函数f(x)的值域为2e2，1.故方程a2ln xx2在eq blcrc(avs4alco1(f(1

4、,e)，e)上有解等价于2e2a1，即1ae22，实数a的取值范围是1，e22.例3 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】令，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围.【解析】令，.当时，故在为增函数，故在上的值域为.又当时，当时，所以在上为减函数，在上为增函数.令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，而，且在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即.故答案为：.例4 已知函数 ，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，单调递减，；当

5、时，成立，单调递增，所以的值域为设的值域为，因为存在，使得成立，所以，任意，成立，在单调递增，所以，因为，所以，；，任意，成立，在单调递减，所以，则，不合题意；，令，在递减，递增，所以，又，则，不合题意综上所述，点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.例5 已知f(x)是定义在2，2上的奇函数，且当x(0，2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm，且如果对于任意的x12，2，都存在x22，2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_【答案】 5，2【分析】易得，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m13且m83，解得【解析】x(0，2时，f(x)

6、2x1为增函数，值域为(0，3，因为f(x)是定义在2，2上的奇函数，所以f(x)在2，2上的值域为3，3，函数g(x)x22xm在x2，2上的值域为m1，m8因为对任意的x12，2，都存在x22，2，使得g(x2)f(x1)，所以f(x)在2，2上的值域是g(x)x22xm在x2，2上的值域的子集，所以，解得即实数m的取值范围是5，2 点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.例6 已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(x22x1,x2)，xf(1,2)，,logf(1x,2)，xf(1,2)，)g(x)x

7、22x2若存在aR，使得f(a)g(b)0，则实数b的取值范围是_【答案】(2,0)【解析】当xeq f(1,2)时，f(x)1eq f(2x1,x2)1，此时f(x)1eq f(2x1,x2)1eq f(2,x)eq f(1,x2)在eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)上单调递减，易求得f(x)7,1)；当xeq f(1,2)时，f(x)logeq f(1x,2)，此时f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上单调递减，易求得f(x)(，2)，f(x)的值域为(，2)故存在aR，使得f(a)g(b)0g(b)f(a)(，2)b22b22b(2,0

8、)例7 已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】对任意，则，即函数的值域为，若对任意，总存在，使，设函数的值域为A，则满足，即可，当时，函数为减函数，则此时，当时，当时，（红色曲线），即时，满足条件，当时，此时，要使成立，则此时，此时满足（蓝色曲线），即，得，综上或，故选：C例8 若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】对进行“完全分参”，两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，再设，只需的值域.【解析】对两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，设，只需的值域.猜根，往与的方向猜，

9、可得再设，则故在区间单减所以在区间只有一个零点为且当时，故有当，单增；当，单减故当时，取得极大值也就是最大值为，无最小值故即为所求.【巩固训练】1.已知函数f(x)3x22xa22a，g(x)eq f(19,6)xeq f(1,3)，若对任意x11,1，总存在x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是 2.已知函数f(x)2x，xeq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)，函数g(x)kx2k2(k0)，xeq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)，若存在x1eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)及x2eq blcrc(avs4alc

10、o1(0，f(1,2)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围3.已知函数f(x) eq sdo1(f(1,2)x2x，g(x)ln(x1)a ，若存在x1，x20，2，使得f(x1)g(x2) ，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)eq f(x2x1,x1)(x2)，g(x)ax(a1，x2)(1)若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为_；(2)若x12，)，x22，)，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为_5.已知函数，若存在实数，使得 成立，则实数的取值范围是 。6.已知函数f(x)=，g(x)= x22x2，若存在aR，使得f(a)+g(b)=0

11、，则实数b的取值范围是_.7.若，总使得成立，则实数的取值范围是 .【答案或提示】1.【答案】2,0【解析】f(x)3x22xa(a2)，则f(x)6x2，由f(x)0得xeq f(1,3).当xeq blcrc)(avs4alco1(1，f(1,3)时，f(x)0，所以f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a22aeq f(1,3).又由题意可知，f(x)的值域是eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)，6)的子集，所以eq blcrc (avs4alco1(f16，a22af(1,3)f(1,3)，f16，)解得实数a的取值范围是2,02.【答案】

12、eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(4,3)【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为0,1，g(x)的值域为eq blcrc(avs4alco1(22k，2f(3k,2)，并且两个值域有公共部分先求没有公共部分的情况，即22k1或2eq f(3,2)k0，解得keq f(4,3)，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(4,3).3.【答案】4,ln3【解析】f(x)值域A=0，4，g(x)值域B=a，ln3a，由存在x1，x20，2，使得f(x1)g(x2) 知：AB正难则反，先求出AB时，a的取值范围由AB得：4a或ln3a0，解之得：a4或aln3，故AB时，4aln3，所以a的取值范围是4,ln3.4.【答案】(1)3，)(2)(1，eq r(3)【解析】(1)因为f(x)eq f(x2x1,x1)x