三角形专题知识讲解 初升高数学人教A版

1、三角形专题知识专题综述专题综述课程要求三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它

2、们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形

3、结合，以形助数，以数解形.课程要求课程要求初中课程要求1、三角形及其性质2、全等三角形3、相似三角形4、直角三角形高中课程要求1、三角变换与解三角形的综合问题2、解三角形与平面向量结合3、以平面图形为背景的解三角形问题知识精讲知识精讲高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平

4、分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.高中必备知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相

5、等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.典例剖析典例剖析高中必备知识点1：三角形的“四心”【典型例题】如图，在O中，AB是的直径，PA与O 相切于点A，点C在O 上，且PCPA， （1）求证PC是O的切线；（2）过点C作CDAB于点E，交O于点D，若CDPA2， 求图中阴影部分面积；连接AC，若PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为 【答案】（1）详见解析；（2）S阴影 【解析】（1）证明：连接OCOP，点C在O上，OC为半径 PA与O相切于点A，OAPAPAO90OCOA，OPOP，PCPA，PCOPAO PCOPAO90PCOCPC是O的切线（2）作CMAP于点

6、M，CDAB，CEDE ，CEA90四边形CMAE是矩形AMPMAMPCACPCPA，PCA是等边三角形PAC60CAB30COE60COD120在RtCOE中，sin60 ，OC2S阴影 AP=2 ,AH=CE=CH=AH=3又I为正PAC的内心CI= CH=2IE= = =【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2ADC=60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图，若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF的外心为点P猜想验证：如图猜想AEF的外心P落在哪一

7、直线上，并加以证明；拓展运用：如图，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM【答案】（1）见解析；（2）外心P一定落在直线DB上，见解析；1DM+1【解析】（1）证明：如图I，分别连接OE、0F 四边形ABCD是菱形 ACBD，BD平分ADCAD=DC=BC， COD=COB=AOD=90 ADO=12ADC=1 又E、F分别为DC、CB中点 OE=12CD，OF=12BC，AO= 0E=OF=OA ， 点O即为AEF的外心，（2）猜想：外心P一定落在直线DB上， 证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，P JAD于JPI

8、E=PJD=90，ADC=60IPJ=360-PIE-PJD-JDI=120点P是等边AEF的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPAPIEPJA， PI=PJ，点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上，1DM当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心，解法：如图3设MN交BC于点G设DM=x，DN=y(x0yO)，则 CN=y-2由BCDA 易证GBPMDPBG=DM=xCG=2-x，BCDA，NCGNDMCNDN=CGx+y=xy.1x+1y【能力提升】定义：到三角形的两边距离相等的点，叫

9、做此三角形的准内心，例如：如图1，PDAC，PEAB，垂足分别为点D、E，若PDPE，则点P为ABC的准内心（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD12AB，求（2）探究：如图3，已知ABC为直角三角形，斜边BC5，AB3，准内心P在AC边上（不与点A、C重合），求PA的长【答案】（1）APB90；（2）PA=3【解析】（1）准内心P在高CD上，点P为CAD的角平分线与CD的交点，ABC是等边三角形，PADPAC30，CD为等边三角形ABC的高，AD3DP，ADBD，与已知PD12点P不可能为CAD的角平分线与CD的交点，同理可知点P不可能为CBD的角平分线与

10、CD的交点，CDAB，点P为BCA的平分线，此时，点P到AC和BC的距离相等，PD12PDADBD，APDBPD45，APB90；（2）BC5，AB3，ACBC准内心在AC边上，（不与点A，B重合），点P为CBA的平分线与AC的交点，作PDBC与点D，PAPD，BDBA3，设PAx，则x2+22（4x）2，x32，即PA3高中必备知识点2：几种特殊的三角形【典型例题】问题发现：如图1，ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DEBC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将ADE绕点A逆时针旋转角（0360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加

11、以证明问题解决：如果ABC的边长等于2，AD2，直接写出当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长【答案】问题发现：BDCE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和2【解析】 问题发现：如图1,BD=CE,理由是ABC是等边三角形,AB=AC,DEBC,BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图2,由图1得,ADE是等边三角形,AD=AE,由旋转得BAD=CAE,BADCAE,(旋转的性质)BD=CE,问题解决：当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况:如图3,ADE是等边三角形,AFDE,DAF=EAF=30,BAD=30,过D作DGAB,

12、垂足为G,AD=2,DG=1,AG=,AB=2,BG=AB-AG=,BD=2（勾股定理）,如图4,同理得BADCAE,BD=CE,ADE是等边三角形,ADE=60,AD=AE,DEAC,DAF=EAF=30,EF=FD=AD=1,AF=,CF=AC+CF=2+=3,在RtEFC中,EC=,BD=EC=2.综上所述,BD的长为2和2.【变式训练】如图，两条射线BA/CD，PB和PC分别平分ABC和DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D（1）求BPC的度数；（2）若，求AB+CD的值；（3）若为a，为b，为c，求证：a+b=c【答案】（1）90；（2）4；（3）证明见解析【解析】（1）BA

13、CD，ABC+BCD=180PB和PC分别平分ABC和DCB，PBCABC，PCBBCD，PBC+PCB（ABC+BCD）=90，BPC=90；（2）若BCD=60，BP=2，ABC=18060=120，PCDBCD=30，ABPABC=60在RtABP中，BP=2，AB=1在RtBCP中，CP=2在RtPCD中，PD，CD=3，AB+CD=4（3）如图，作PQBCABP=QBP，BAP=BQP，BP=BPABPBQP（AAS）同理PQCPCD（AAS），SBCP=SBPQ+SPQC=SABP+SPCD，a+b=c【能力提升】如图，ABC、DCE、FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、

14、EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R (1)求证：BFGFEG (2)求sinFBG的值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】解：(1)依题可得：BC=CE=EG=1，FG=AB=， BG=3，在BFG和FEG中，G=G，BFGFEG. (2)过点F作FHBG于点H，如图， 则FHG=90，FEG是等腰三角形，EG=1， FH= ， BFGFEG，BFG=FEG=G，BF=BG=3BC=3，在RtFBH中，sinFBG=.对点精练对点精练1如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等

15、边的顶点的坐标为（ ）ABCD【答案】D过点作交于点 等边 ， 第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得2021为奇数第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；故选：D2如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接若，则点C到的距离为（ ）ABCD【答案】C连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CHAB于H，如图所示由折叠的性质

16、，得：BD=ED，CB=CECG是线段BE的垂直平分线BG=BED点是AB的中点BD=AD，AD=EDDAE=DEA BD=ED DEB=DBE DAE+BEA+DBE=180即DAE+DEA+DEB+DBE=1802DEA+2DEB=180DEA+DEB=90即AEB=90在RtAEB中，由勾股定理得： 故选：C3在中，点D为中点，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：；始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）ABCD【答案】D解：连接，点为中点，在和中，始终为等腰直角三角形，正确的有故选D4如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是ACB的角平分

17、线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）ABE的面积BCE的面积；FAGFCB；AFAG；BHCHABCD【答案】D解：BE是AC边的中线，AECE，ABE的面积，BCE的面积AB，ABE的面积BCE的面积，故正确；AD是BC边上的高，ADC90，BAC90，DAC+ACB90，FAG+DAC90，FAGACB，CF是ACB的角平分线，ACFFCB，ACB2FCB，FAG2FCB，故错误；在ACF和DGC中，BACADC90，ACFFCB，AFG180BACACF，AGFDGC180ADCFCB，AFGAGF，AFAG，故正确；根据已知不能推出HBCHCB，即不能推出HBHC

18、，故错误；即正确的为，故选：D5已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（ ）A12B13C14D15【答案】B解：如图所示，构造RtBEA和RtAFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB=和AC=，所以：，当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，在RtBDC中故选：B6已知、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）A6B7C-7或6D6或7【答案】D解：a、b、4分别是等腰三角形三边的长，当a4或b4时， 即：4264k20，解得：k6，此时，的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；当ab时，即（6）24（k2）0，解得

19、：k7，此时，的两个根为：x1=x2=3，符合题意；综上所述，k的值等于6或7，故选：D7如图，在锐角ABC中，AB，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）AB1CD【答案】B如图，作于点H，交于点，作于点，则为所求最小值由角平分线的性质可知，即长为所求最小值，为等腰直角三角形故选B8如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为（ ）ABCD【答案】A解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2AG212225，CG2123210，AC2AG2CG2，CAG90，CAG是等腰直角三角形，ACG45，CFAB，ACFBAC

20、，在CFG和ADE中，CFGADE（SAS），FCGDAE，BACDAEACFFCGACG45，故选：A9如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）A海里B海里C40海里D海里【答案】D解：过作于，如图所示：在中，海里，（海里），（海里），是等腰直角三角形，海里，海里，故选：D10如图，在正方形中，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，当的长为_时，是直角三角形【答案】或当E在AH的上方时，且AEH=90，根据折叠的性质，AEP=D=90，AD=AE

21、，DP=PE，AEP=AEH=90，AD=AE=AB，点P、E、H在同一直线上，在RtABH和RtAEH中，RtABHRtAEH(HL)，EH=BH=3，设DP=x，则PC=8x，HC=8-3=5，PH=PE+HE=x+3，在RtCPH中，即，解得，即DP=；当E在AH的下方时，且AEH=90，如图：此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，DP=；综上，当DP的长为或时，是直角三角形故答案为：或11如图，在中，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（ ）A平分BC平分D【答案】AAD平分CAB，CDAC，EDABCD=ED，BC=BD+CD=BD+ED故选项B正确；AD平分CABCAD=EADC

22、DAC，EDABC=DEA=90ADC=ADE即AD平分EDC故选项C正确； 在ACD中，AC+CDADED+ACAD故选项D正确；若DE平分ADB则有BDE=ADEADE=ADCADE=ADC=BDEADE+ADC+BDE=180BDE=60B=90-BDE=30 显然这里B是不一定为30故选项A错误故选：A12如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作过点轴交直线和直线于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_（用含正整数的代数式表示）【答案】解：点在直线上，点横坐标为2，将代入得，点坐标为为

23、等腰直角三角形，点坐标为过点作轴，的横坐标为3，将分别代入与中得，的纵坐标分别为3，即，点坐标为同理可得，故答案为：13如图，四边形ABCD中，ADBC，连接AC，ACBC，BAD135，E为AC上一点，连接BE，BEC2ACD，AD2，CE3，则线段BE_【答案】5解：如图，过点E作EF/CD交BC于点F，作FGBE于点G，EF/CD，FECACD，BEC2ACDBEF+CEF，BEFCEF，ACBC，FGBE，CFGF，AD/BC，DACACB90，BACBADCAD1359045，ABC45，ABC是等腰直角三角形，ACBC，设AEx，ACBCAE+ECx+3，在RtEGF和RtECF中

24、，RtEGFRtECF（HL），EGEC，DACFCE90，ACDCEF，ADCCFE，CF，GF，BGFBCE90，FBGEBC，BFGBEC，BG2，BEBG+GEBG+EC2+35故答案为：514如图，ABC中，C90，AC4，BC3，将ABC绕点B逆时针旋转一定的角度（090），直线A1C1分别交AB，AC于点G，H当AGH为等腰三角形时，则CH的长为_【答案】或1解：如图1中，当AG=AH时，AG=AH，AHG=AGH，A=A1，AGH=A1GB，AHG=A1BG，A1GB=A1BG，A1B=A1G=5，GC1=A1G-C1G=1，BC1G=90，如图2中，当GA=GH时，过点G作G

25、MAH于M同法可证，GB=GA1，设GB=GA1=x，则有x2=32+（4-x）2，解得，GMBC，GA=GH，GMAH，AM=HM，AH=3，CH=AC-AM=1当HG=AH时，HGA=HAG45ABC（大边对大角，小边对小角），A1HC=HGA+HAG90，C1BC=360-90-90-A1HC90，即旋转角度大于90，不符合题意综上所述，满足条件的CH的值为或1故答案为：或115如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，则可表示为_【答案】解：由等边三角形可知：A1B1A2B2AnBn，B1A2B2A3BnAn+1，

26、直线yx与x轴的夹角B1OA130，OA1B1120，OB1A130，OA1A1B1，A1（1，0），A1B11，同理OB2A230，OBnAn30，B2A2OA22，B3A34，BnAn2n1，可知OB1A290，OBnAn+190，B1B2，B2B32，BnBn+12n1，S1，S2，Sn22n3当n=2021时，故答案为：16如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是_【答案】如下图，连接DE，与相交于点O，将 BDE 沿 DE 折叠，,又D为BC的中点，,即与所夹锐角的度数是故答案为：17如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线

27、交点，则ABC与DBC面积的大小关系为：SABC _ SDBC（填“”，“”或“”）【答案】=3，故填：18如图，_【答案】BAC和DAE分别是ACE和ABD的外角，BAC=C+E，DAE=B+D，CAD+BAC+DAE=180，故答案为：18019如图，在中，平分，则的长是_【答案】5在中， 平分，ABD=DBC，ADB=DBC，ABD=ADB，AB=AD=5故答案为：520如图，将一个含30角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=，则CD的长为_【答案】解：由旋转得：AD=AB=，在RtABC中，C=30，CAB=90，B=60，AD=A

28、D，ADB=B=60，DAB+ADB+B=180，DAB=ADB=B=60，AD=AB=DB=，在RtCAB中，C=30，CAB=90，AB=BC，BC=2AB=2，CD=BC-BD=2-=故CD的长为21如图1，在中，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点（1）若点是中点，求证：；（2）如图2，若求证：；猜想的值并写出计算过程【答案】（1）见解析；（2）见解析；解：（1）证明：，点是的中点，点是中点，；（2）证明：连接，即，；设，则，；猜想：，理由如下：，22如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，点是正方形的中心，连接，（1）求证：；（2）请判断的形状，

29、并说明理由；（3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积为，求关于的函数关系式（写出的范围）；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3），长为或3解：（1）证明：，又，在AMB和BNC中，（2）是等腰直角三角形，理由如下：连接，为正方形的中心，即在AMO和BNO中，是等腰直角三角形（3）在RtABK中，BK=，SABK=AKAB=BKAM，AM=，BN=AM=，cosABK=，BM=，MN=BM-BN=，OM=ON=，SOMN=，SOMN=，当点在线段上时，则，解得：（不合题意舍去），当点在线段的延长线时，同理可求得，解得：，（

30、不合题意舍去），综上所述：长为或3时，的面积为23如图，在正方形中，动点，分别在边，上移动（不与顶点重合），且满足连接和，交于点（1）请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点，的移动，使得点也随之运动请用文字描述并且在图中画出点的运动路径；若，请求出线段的最小值【答案】（1），见解析；（2）点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，）；解：（1），理由是：四边形是正方形，在和中，；（2）如图，点在运动中保持，设正方形的中心为，得出点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，），设的中点（圆心）为，连接交圆弧于点，此时线段的长度最小在中，即线段的最小值是24在平面直角坐标系中，

31、直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点在轴上（点在点的右侧），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动设运动时间为秒（）（1）如图，当点在线段上时求点的坐标：当是等腰三角形时，求的值；（2）是否存在时刻，使得，若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，解：（1），在中，；在中，在中，BP=t，AQ=3t，CP=3-t，CQ=5-3t，当是等腰三角形时，3-t=5-3t，t=1；（2）如图，设运动t秒时， PQAB，则PB=t，PC=3-t,AQ=3t，Q的坐标为3t-；sinCBO=,CBO=30，过点P作PEOC，垂足为E，PEOB，CBO=CPE=30，PE=PCcos30=（3-t），CE=PCsin30=（3-t），点E(t，0)，QE=3t-（t）=t-，延长QP交AB于点D，PQAB，A=A，ADQAOB，AQD=ABO，tanAQD=tanABO，根据（1）知OA=，tanAQD=tanABO=，=，（3-t）：(t-)=，解得t=1.9625如图，在中，点D，E分别在边，上，且，点P与点C关于直线成轴对称（1）求作点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接EP，若，判断点