课时作业与单元检测版第一章

1、数学归纳法(一 2 问题 1.对于数列an，已知 数学归纳法(一 2 问题 1.对于数列an，已知 111an1.不能保证猜想答2， 3， n2.答 (1)；(2)条件(2)K K13.2 1 答(1)n1 时，猜想成立；(2)nk nk1 数学归纳法是用来证明某些与n 2骤验证：n1nk(k1)nk1时，命题成立根据(1)(2)n 都成立.nk nk11n时，f(2k1)比 例已知N )f(2 )n多的项数f(n)f(2k)1nk nk11n时，f(2k1)比 例已知N )f(2 )n多的项数f(n)f(2k)1111 ，而 f(2k1)1111 f(2k1)f(2k)2k规律方法 在书写

2、f(k1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 (nN )，那么 f(n1)f(n)演练 设 11 f(n)111 f(n1)111 1 ，f(n1)f(n) 1 .n 1 1 例已知nN ，证明证明 (1)n1时，左边111，右边2(2)nk(k1kN)1111 1 1 1nk1(2)nk(k1kN)1111 1 1 1nk1左边1111 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nk1由(1)(2)nN规律方法 (1)(2)nk nk1 时须用上假设要注意当 nk1 时，等式两边的式子与 nk n2.3证明 (1)当n2时，左边144，右边4，n2时等式成立(2)nk(k2，kN

3、) k2 ，nk13证明 (1)当n2时，左边144，右边4，n2时等式成立(2)nk(k2，kN) k2 ，nk1111 11k 2221.nk1根据(1)和(2)n2，nN例3(2)(1)a11解a 2 a 3 a 22a 21 2下面用数学归纳法证明当n2时.2时2nk(k下面用数学归纳法证明当n2时.2时2nk(k2，kN)即，nk1，k12 nk1n2n2 (1)数列an既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式an，并用数学归纳法加以证明(2)1数列an满足：a16n2(1)(2)an (1)n21数列an满足：a16n2(1)(2)an (1)n2解2a1a23a2a21 n

4、32a1a2a36a3a31 n42a1a2a3a410a4a41 (2)由(1)的结果猜想，下面用数学归纳法给予证明当n1时，结论成立6假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即nk12222111，k3 111，k3 nk1nN，上述结论都成立 知命题对 nn0(n0N)时命题成立，则有)Bn0n0 立n0 n0 Cnn0(n0N)nn01 n01 n(n01)1 2)(a1)n1时，左端计算所得项为Cn1a2n1 a3312222n12n1(nN )(1)n1时，左边1，右边211112222k12k1(2)1 2k11.nk1 本题在由 n1 2k11.nk1 本题在由 nk 成立，证

5、nk1 1 4nN 时，S n 1 1 1 (1)(2)Sn Tn (1)当nN时，Sn1111 1，Tn 1 1 解1 S1111，S211117 T1 1 1，T2 1 1 7 21111 1 1 1 1 猜想 SnT(nN*)1 n1nk即1111 1 1 1 1 1则Sk1Sk Tk 1 1 则Sk1Sk Tk 1 1 1 1 1 1 1 1 nN，SnTn(1)(2)nk nk1 (3)环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明k1n5( An6 时命题不成立n6n4n4)B2n n2 nk 以推得nk2 时命题也成立，则(A该命题对于n2 的自然数n 都成立 CkB2n n2 nk

6、以推得nk2 时命题也成立，则(A该命题对于n2 的自然数n 都成立 CkBnknk2n23n 边形的对角线为1n(n3)n 2于n (nN )n1f(n)是4)3C 当nk(kN)时等式成立，则当nk1时应得nk nk1 1 16已知f(n) 1 (nN )，则 1 1 2 (nN 证明 (1)n1时，左边112，右边 23 2 (nN 证明 (1)n1时，左边112，右边 23(2)nk(k1，kN)1 1 2 nk11 1 1 1 k2 2 1 1 22，nk1由(1)(2)nN8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，kk1左端需要增乘的代数式为)C.D

7、.B时，左端为，应增乘 1 19n2，()nn2n1n2n2nn2n1n2n2nn2n2n1n2Dnn210以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN)”的过程中的错误证明：假设当 nk(kN)时等式成立，即 242kk2k，那么 2k2(k)2k(k)(k)2(k1)，即当n等式都成立缺少步骤(1)n2222n n 1 2 3 4 n .2证明 (1)n1时，左边右边12(2)nk，2nk12222.2nk1由(1)(2)n12已知数列ana15 Sn1an(n2，nN)，Sn为数列anna2，a3，a4an 用数学归纳法证明an的通项公式(1).n2时，a252225(2)nk(k2，kN

8、)nk1nk1n2，nN所以数列an的通项公式n2，nN所以数列an的通项公式13已知数列ann(1)(2)an (1)a11；a21；a31 ；a41 解26(2)猜想.下面用数学归纳法证明n1假设nk(kN)时，猜想成立，即nk1Sk1kak k 所以 k 从而nk1数学归纳法(二学习目标2nk1 1答，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)2答n题12nk1 1答，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)2答n题12；nknk1例用数学归纳法证明11证明 (1)n2时，左式11，右式42因为1 1(2)nk(k2，kN)即1111knk11111knk11111k1 1 nk1n2规律方法 用数学

9、归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式 演练 1 2证明 (1)n2时，左边114，右边 2 (2)nk(k2kN)1 ，nk11 2k1 22，2nk1，2nk1由(1)(2)1 n例用数学归纳法证明：f(n)(2n7)3n9能被36整除证明 n1时，f(1)(217)393636nk(k1，kN)时，f(k)36即(2k7)3k936nk13(2k7)3k9363k1118(3k11)36 f(k1)36nN，f(n)36规律方法 “凑项拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将 nk 时的项从 k1 时的项中“硬提出来nk 的项，后面的式子相对变形，使之与 k1

10、62n11(nN )7证明 (1)n1时，621177(2)nk(kNk1)时，62k117nk1nk162k117整除，357nk1时，62(k1)117由(1)，(2)例用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有2n(n3)证明 n33)0nk(k3，kN)k边形的对角线有3)nk1 时，凸(k1)k 设为 Ak1，增加的对角线是顶点 Ak1 与不相邻顶点的连线再加上原 k A1Ak2(k 2nk1由(1)(2)n3，nN规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由 nk 到 nk1 (或顶点)(或划分区域)或先用 f(k1)f(k)演练平面内有 n(nN*，n2)条直线，其中任或先用 f

11、(k1)f(k)演练平面内有 n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三.2证明 (1)n2n2 nk1llklkk1f(k)k1nk1由(1)，(2)nN(n2)要点四 归纳猜想在数列an，bn中，a12，b14an，bn，an1 1，bn1 成等比数列(1)a2，a3，a4b2，b3，b4，由此猜测an，bn 1 1(2)证明 1 1(2)证明(1)nn1nk(kN)nk1 nk1bn(n1)2 对一切正整数都成立(2)证当n1时15 n2时，由(1)故 1 1 1 1111111 1 1n11 1 1规律方法 1 1 111111 1 1n11 1 1规律方法 1 1 1演练已

12、知数，计S2，S3，S4SnS1 1 1；S21 1 解447S32 3 ；S43 4 7可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n n表示为3n1.于是可以猜想Sn (1)当n1时，左边S11，右边 44(2)nk(kN) 1 1 ，那么，nk1 1 1 3k13k4 3k13k4 ，1nk1根据(1)和(2)nN1n nk(kN)1n5时，该命题不成立，那么可以推得( An6 时该命题不成立n6n4n4Cnk(kN)nk1 5n42用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyny 整除”时，第一步n1 时，命题成立，第二步归纳假设应写成)n2k1(kN)n2k3n2k1(kN)n2k1

13、nk(kN)nk2nk(kN)nk2Bn C、D k1 时，2k11,2k133用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN)第一步应验3用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN)第一步应验n3n3n3 4用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到 nk 2k1 1)nk1 2k3 12证明问题的初始值 n0 1，可根据题目要求和问题实际确定 n0 1(nN)n21时，左边应取的项是( D)1n1时，n341 2用数学归纳法证明“2nn21 nn0n n0应取)n 1、2、3、4 2nn21 n5 22用数学归纳法证明“2nn21 nn0n n0应取)n 1、2、3、4 2nn

14、21 n5 2nn21n5 1 64 N )2少应取)B1 左边1 n2 1 4用数学归纳法证明不等式 1 N )nk1时，下列说法正确的是) CB中的两项，但又减少了一项 D增加了A中的一项，但又减少了一项 C当 nk 时，不等式左边为 1 1 1，当 nk1 左边为 1 1 1 ，故选 假设证nk1时的情况，只需展nk9k3(k1)3(k2)39nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将k36已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(n假设证nk1时的情况，只需展nk9k3(k1)3(k2)39nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归

15、纳假设，只需将k36已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN)依次计算出S1， S2，S3，S4 后，可猜想Sn 的表达式为 2n S11，S24，S336，S48Sn .35 n a21(a 0)，a 1，又 1 1n1n1(2)nk(kN)nk11ak1 1 1a 1ka21 1 a1ak1 1 a1knk1由(1)(2)nN8k(k3kN)nk1由(1)(2)nN8k(k3kN)A 232(4) 545(51).kf(k)个对角面，则(k1)f(k)k1n2nn1(nN)n1 912111，不等式成立k2kk1，则 nk1 时，nk(nN时，不等式成立，即假设k12k1

16、 k23k22n2.假设 nk 立则当nk1时，应推证的目标不等式是 1 1 k观察不等式中的分母变化知，1111 1 2k22 1 1 52，nN 观察不等式中的分母变化知，1111 1 2k22 1 1 52，nN 证明 (1)n2时，左边1111 5(2)nk(k2，kN)时命题成立，即 1 1 5nk11 1 1 1 15 1 53 1 5nk1由(1)和(2)n2，nN2112已知数列an中n Sn 2(n2)S1，S2，S3，S4Snn2时，anSnSn1Sn1解3S2 4S3 5S4 6由此猜想(1)n1 时，S12a13(2)nS3 5S4 6由此猜想(1)n1 时，S12a13(2)nk(kN)那么nk1时，Sk1 .nk1由(1)(2)n13已知递增等差数列an满足：a11a1，a2，a4(1)求数列an的通项公式 1 1 nN 2