2022届吉林省白山市高三第一次调研测试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1命题：的否定为ABCD2已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD43已知为锐角，且，则

2、等于（ ）ABCD4已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、元）甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）ABCD5已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）ABCD6已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( )ABCD7下列判断错误的是( )A若随机变量服从正态分布，则B已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件C若随机变量服从二项分布： ， 则D是的充分不必要条件8设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲

3、线的离心率的取值范围是（ ）ABCD9我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）ABCD10已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，则球的表面积为（ ）ABCD11正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ）A36B21C12D612已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（

4、）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，当面积最大时，直线的方程为_.14设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，则称为关于函数的平均数，记为.当_时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）15过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是_.16利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之

5、和也为定值，则这个定值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（ab0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.18（12分）已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得？若存在，求

6、出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.19（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类

7、题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.20（12分）如图，在四棱锥中，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）已知函数，（1）若，求实数的值（2）若，求正实数的取值范围22（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】命题为全称命题，它的否

8、定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题的否定为，故选C2D【解析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3C【解析】由可得，再利用计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.4B【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得【详解】由题

9、意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为故选：B【点睛】本题考查独立性事件的概率掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础5C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案考点：异面直线所成的角6C【解析】利用先求出，然后计算出结果.【详解】根据题意，当时，,故当时，,数列是等比数列,则，故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.7D【解析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以

10、分析判断，进而可求解.【详解】对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；对于选项，若随机变量服从二项分布： ， 则，故选项正确，不符合题意；对于选项，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考

11、查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.8A【解析】依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.9C【解析】利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【点

12、睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.10D【解析】由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，又由，所以， 在直角中，因为，所以，设外接球的半径为，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.11B【解析

13、】先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面，共有，故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.12C【解析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点

14、的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且故选C【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据均值不等式得到，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程.【详解】由椭圆，可知，（当且仅当，等号成立），直线的倾斜角为，直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14【解析】由定义可知三点共线，即，通过整理可得，继而可求出正确答案.【详解】解：根据题

15、意，由定义可知：三点共线.故可得：，即，整理得：，故可以选择等.故答案为: .【点睛】本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.15【解析】由切线的性质，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可设，进而表示，由图像观察可知进而求出x的范围，再用的式子表示，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.【详解】由题可知，设，由切线的性质可知，则显然，则或（舍去）因为令，则，由双勾函数单调性可知其在区间上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值

16、，属于较难题.16【解析】计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.【详解】作平面，为的重心如图则，所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为：【点睛】本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）或.【解析】（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.【详解】（1）抛物线的准线方程为

17、，直线，点F到直线l的距离为，所以椭圆的标准方程为；（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，联立，消去得，设，线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，平方整理得，解得或（舍去），所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.18（1），抛物线；（2）存在，.【解析】（1）设，易得，化简即得；（2）利用导数几何意义可得，要使，只需.联立直线m与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【详解】（1）设，由题意，得，化简得，所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直

18、线l为准线的抛物线.（2）不妨设.因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即，又，所以轴.要使，只需.设直线m的方程为，代入并整理，得.首先，解得或.其次，设，则，.故存在直线m，使得，此时直线m的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.19（1）；（2）分布列见解析，期望为【解析】（1）甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可求得概率；（2）的所有可能值分别为，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望【详解】（1）令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件，则

19、抽到2道类题有种取法，抽到3道类题有种取法，；（2）的所有可能值分别为，的分布列为：0123【点睛】本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式20 (1)见证明；(2) 【解析】(1) 取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证， 即可；(2) 以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以，且因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以

20、，在中，由正弦定理，得：，所以.以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，依题意，平面的一个法向量所以故二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21（1）1（2）【解析】（1）求得和，由，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解（2）解法一：令，利用导数求得的

21、单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解解法二：可利用导数，先证明不等式，令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解【详解】（1）由题意，得， 由，得，令，则，因为，所以在单调递增， 又，所以当时，单调递增； 当时，单调递减；所以，当且仅当时等号成立 故方程有且仅有唯一解，实数的值为1 （2）解法一：令（），则，所以当时，单调递增; 当时，单调递减;故 令（），则（i）若时，在单调递增，所以，满足题意 （ii）若时，满足题意（iii）若时，在单调递减，所以不满足题意 综上述： 解法二：先证明不等式，（*）令，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即变形得，所以时，所以当时，.又由上式得，当