随机事件与概率2课件

1、概率的定义概率是随机事件发生的可能性大小的一种度量对于不同的事件，概率应如何规定？统计定义古典定义几何定义公理定义随机事件的频率A=“出现正面”随机试验抛掷一枚均匀的硬币试验总次数n 将硬币抛掷n次随机事件随机事件的频率事件A出现次数出现正面 次德.摩 根 试 验 者 抛 掷 次 数n 出现正面的频率2048 1061 0.518 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维 尼 0.4998 14994 30000 抛掷硬币的试验历史纪录出现正面的次数m 随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的

2、频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显频率和概率 频率的稳定性 事件的概率 事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的概率概率的统计定义当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率 对某一事件，在相同的条件下重复进行 n 次试验，事件发 生的频率 ，随着试验次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p 附近摆动，那么称 p 为事件的概率 再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：发芽率 发芽粒数 种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500

3、2000 3000 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上. 确定事件A包含的基本事件数古典概型的概率计算事件由其中的 个基本事件组成抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率=“出现的点数是不小于3的偶数” 抛掷骰子事件A试验抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数样本空间=4，6 =1，2，3，4，5，6n=6m=2事件A的概率 划拳确定基本事件

4、空间确定每个事件所包含的基本事件的个数甲乙两人，等可能地伸出0,1,2,3,4或5个手指，同叫出0到10中的某一个数。若有一人叫出的数字等于两人伸出的手指数之和即赢得该回合。那个数胜出的可能最大？二维数组（x,y）记甲乙伸出的手指数，共6x6=36种和数为0=(0,0)，1和数为1=(1,0),(0,1)，2 和数为5 5+1=6有放回抽样和无放回抽样 设在10 件产品中，有2件次品，8件正品A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品” 第一次抽取后，产品放回去 第一次抽取后，产品不放回去古典概率的计算：投球入盒 把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。 A=“指定的三个盒内各有一球”

5、B =“存在三个盒，其中各有一球”abcde 古典概率的计算：生日问题某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）分析此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学生365天50个小球365个盒子相似地有分房问题 房子 盒子人 小球生日问题模型某班有n个学生，则他们的生日各不相同的概率为至少有两人生日相同的概率为 n1020233040500.120.410.510.710.890.97 概率的古典定义性质 （1） （2） （3） 若A，B互斥，则 解： 总的基本事件数为 排成行时，事件A“甲乙相邻”的基本事件数为 排成圈时，事件B“甲乙相邻”的基本事件数为 所求概率为 思考题包括甲

6、，乙在内的10个人随机地排成一行，甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？ n个男孩，m个女孩（mn+2）随机地排成一列。问事件A“任意两个女孩都不相邻”的概率是多少？若排成一个圆圈结果又如何？思考题概率的统计定义和古典定义的区别？统计定义：做实验，只能逼近古典定义：已经知道每个事件等可能想一想概率的几何定义：几何概型 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。 事件A发生就是点落在中的可度量图形G中 几何度量-指长度、面积或体积 特点 有一个可度量的几何图形（基本事件空间） 随机试验可看成往中随机地投掷一点（基本事件）一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻

7、有0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 2 , 3 上的概率。 = 2 , 3 几何概型的计算 甲乙二人相约定7点到8点在预定地点会面，先到的人要等候另一人20分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率（假定他们在7:00-8:00内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的）。几何概型的计算：会面问题 解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则二人会面60602020yx 几 何 概 型性质 （1） （2） （3） 若A，B互斥，则 思考题解 以A为起点，逆时针方向为正， B至A的曲线距离为x，C至A的 曲线距离为y，则ABC为

8、锐角三角形 或 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？A B CO概率的公理化定义 基本事件空间（ ） 设为一些事件构成的集合，如果每次试验有且仅有中的一个事件发生，则称为基本事件空间（或样本空间），而称中的事件为基本事件（或样本点）基本事件空间是所有基本事件构成的集合基本事件之间互不相容其他事件是的一个子集，包含若干个基本事件。 事件A发生A中的一个基本事件发生 事件域（F） 设为基本事件空间，F是的一些子集所构成的集合，且满足下列条件：则称F为事件域，并称F中的元素（即的某一子集）为事件事件域的例子掷骰子，基本事件空间A=出现的点数为奇数，B=出现的点数为偶数C=出现的点数

9、小于3， D=出现的点数大于3 E=出现的点数大于等于3是事件域不是事件域 概率测度（P） 给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意一个事件F，赋予一个实数，如果满足下列三条公理，非负性： 规范性： ()=1 可列可加性：()0 两两互不相容时则称P为事件域F上的概率测度，称P(A)为事件的概率 概率空间通常,针对研究的某一随机现象,都要首先确定立基本事件空间，事件域和概率测度。将三者视为整体证明 由概率的可列可加性，有所以 概率的性质 不可能事件的概率为零注意事项 但反过来，如果P（A）=0，未必有A= 例如：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它

10、停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。 设A1，A2， , An两两互不相容，则证明 在可列可加性中 , 取i = （i=n+1,n+2, ）. 有限可加性证明 由于与其对立事件互不相容，由规范性，可加性有 而 所以 补事件的概率若 A B，则有 P(A) P(B)， 且P (B A) = P(B) P(A) ()()() 单调性和可减性对任意两个随机事件、 ，有 加法公式上两式联立即得加法公式BCA 加法公式推广 上（下）连续性故由概率的可列可加性，有（下连续性）：A1 A2 An，故A1 , (A2 A1 ), (A3 A2 ), (An An-1 ),等事

11、件互不相容，且证明 几种概率定义的关系统计，古典，几何概率都包含在公理化定义的框架内对公理化定义成立的性质，对之前三种概率定义也都成立反过来，可以从三种具体的定义来理解公理化定义的含义例：一个箱子中装有36只灯泡,其中32只为一等品,4只为二等品,现从中任取3只,试求取出的3只灯泡中至少有1只为二等品的概率.记A=取出的3只灯泡中至少有1只为二等品,Bi=取出的3只灯泡中恰有i只为二等品 方法 （用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(B1B2B3)(B1)(B2)(B3)解 方法 （利用对立事件的概率关系） 则B1,B2,B3互不相容,且A=B1 B2 B3. 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率 解 设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中， 则 0.85 0.8 0.68 0.97 例例已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形下分别求出P(AB)与P(BA)(1) 事件A,B互不相容(2) 事件A,B有包含关系解(2) 不难看出，此时应有练一练投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之和在4和10之间的概率（含4和10）.解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为 所包含的样本点