第五组奇异模型的理论研究

1、Markowitz模型的理论研究奇异协方差投资组合的优化求解郭正及2009133135邓 晗2009133101 哈里马科维茨（Harry M. Markowitz），1927年生于美国，1952年 在芝加哥大学获得经济学博士学位。在他的学术论文资产选择：有效的多样化中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将边际分析原理运用于资产组合的分析研究。模型建立建立模型如下： min s.t. 其中V为r阶半正定对称矩阵（ ） 模型求解理论小结证券投资组合理论是金融学领域乃至整个经济学领域的一个重要部分，其魅力不仅在于理论上的严谨，更在于其自身的使用价

2、值。这一理论自诞生之日起就一直处于当代金融控制理论的前沿。在证券市场与金融投资已经成为社会经济生活的一个中亚组成部分的今天，深入研究这一理论毫无疑问是具有重要的理论意义与实际意义的。模型的应用给定资金500万，预期收益为50万，选取沪深五支证券，分别为老凤祥，凤凰股份，华闻传媒，汉森制药，华谊兄弟，选取他们2011年9月10月的数据，对这5只股票进行最合理的投资组合，使风险最小。在Excel表格里计算出五支证券的平均收益率和方差，如下表格：根据上表中的方差，用MATLAB求得它的方差-协方差矩阵由于本次所取的V是正定的，所以利用MATLAB计算出它的逆矩阵，A,B,C,DA=2.5219 B=

3、0.0733C=2.5389e+003 D= 179.6260再根据金融数学书上求g和h的公式起初定的目标是500万赚50万，所以期望收益为10%，故Ep=0.1 再根据前面算出的各项数据，求的每种股票投资的权重。根据上面所得的权重比例，合理安排了5只股票的买卖情况老凤祥，汉森制药和华谊兄弟建议卖出，凤凰股份和华闻传媒建议买入，这样的分配方法最为合理。投资组合的应用 给定资金1000万，预期收益为40万，选取4支证券：中国人寿601628，光大银行601818，曙光股份600303，方大炭600516进行投资组合。 以该股票9月份的开盘及收盘价格的记录，计算其收益率和风险开盘及收盘价 日收益率

4、 由以上数据可得到：通过E-views6计算出协防矩阵V：（相关系数&协方差） V= A =2.4268 B =0.0163 C =525.5491 D =2.6511G = -0.3664 1.4353 0.0101 -0.0790H = 20.7977 -45.3007 37.9825 -13.4795W = 0.4655 -0.3767 1.5294 -0.6182所以该这样投资：综述协方差矩阵为奇异矩阵时的最优组合选择分析当协方差矩阵为非奇异矩阵时,不存在任何方差为零的投资组合当协方差矩阵为奇异矩阵时则刚好相反。即总可以找到一个投资组合满足下列方程(1) 和(2) （1） （2） 进行

5、讨论 不妨令将初始财富W 的份额投资到第i 个资产上, 则期初总投入W0 和期末总价值W1 满足:即存在套利机会。 不妨令将初始财富W 的份额投资到第i 个资产上, 则期初总投入W0 和期末总价值W1 满足:即存在套利机会。当 时, 可进行单位化, 使得 =1,此时若 不难构造套利投资组合。若 则表明可以构造无风险 资产。接下来看矩阵的秩当rank ( V ) = n - 1 时, rp可归结为三种情形: (1) 等于零、(2) 等于无风险利率、(3) 不等于零和无风险利率; 相应地, 投资组合向量X 有两种情形: 但总的来看只有三种结果: (1) 存在套利机会, 市场不均衡; (2) 存在一

6、个多余的证券,去掉后不改变可行集和有效集; (3) n 种证券所形成的可行集和有效集等于其中n - 1 个证券与一个无风险证券所形成的可行集和有效集,此时也可认为存在一个多余的证券。当rank ( V ) n - 1 时。因为存在n -rank ( V ) 个投资组合向量X 使方程(1) 和(2) 成立。而且它们彼此线性无关。这每一个投资向量都可使得上述的三个结果之一出现。加在一起形成下列结果之一: (1) 存在套利机会,市场不均衡; (2) 存在n - rank ( V ) 个多余的证券, 去掉后不改变可行集和有效集; (3) n 种风险证券所形成的可行集和有效集等于其中rank ( V ) 个证券与一个无风险证券所形成的可行集和有效集。总之,当协方差矩阵非正定、市场处于均衡的条件下,市场上存在多余的证券,去掉后不影响可行集和有效集。因此,投资者需要首先剔除多余的证券。结论资本市场所有风险证券收益的协方差矩阵反映了资本市场的微观结构。当协方差为满秩矩阵时,可以按Markowitz 的投资组合理论构造最优投资组合;当协方差矩阵不是满秩矩阵时,要么可以构造套利组合,要么在构造最优投资组合时,只需考