动量矩定理 (3)精品课件

1、动量矩定理第1页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二13-1 动量矩定理一、动量矩1. 质点的动量矩AB第2页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二2、质点系的动量矩其中， 质点（系）对 O点的动量矩在通过该点的任意轴上的投影，等于质点（系）对该轴的动量矩。第3页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二OABvOABv已知A、 B两物块的质量分别为 mA、 mB ，它们的速度为v，轮的质量不计，半径为 R。求系统对轮心 O的动量矩。第4页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二OOC（1）平动刚体对O点的动量矩（2）定轴转动

2、刚体对转轴z的动量矩第5页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二二、动量矩定理 令： ，称为刚体对于 轴的转动惯量。于是绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。1、质点的动量矩定理第6页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二根据动量定理 ，且 为定点，于是，质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 轴投影式第7页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例： （前例） 质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。试写出小球的运动微分方程。则小球对 O点的动量矩为mgu解：设小球的速度为 ， 摆动

3、的角速度为 。作用于小球的外力只有 对O点有矩图中 角的正方向，便规定了取矩的正方向。第8页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二根据动量矩定理列方程当 很小时， 线性化2、质点动量矩守恒若 ，则 恒量；若 ，则 恒量1、宇宙星系的盘状结构； 2、星体运行的近地点、远地点。解释第9页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二根据质点的动量矩定理，质点系中第 i个质点：3、质点系的动量矩定理相加得其中，于是第10页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二4、质点系动量矩守恒质点系动量矩定理的投影式第11页，共83页，2022年，5月20日，16点2

4、4分，星期二质点系动量矩守恒举例：若两猴等重 ，轮无质量。谁爬得快？离合器传动第12页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二A解：取小车、鼓轮、 重物组成质点系。以顺时针为正。图示为运送矿石的卷扬机系统。已知鼓轮的半径为 ，重量为 ，绕轴 转动。小车和矿石总重量为 。配重 。作用在鼓轮上的力偶矩为 ，鼓轮对转轴的转动惯量为 ，轨道的倾角为 。不计绳的质量及各处摩擦。求小车的加速度。 例：因为所以、 相抵消。第13页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二系统外力对O 轴的矩为由质点系对 O 轴的动量矩定理，有因 ， ，于是解得第14页，共83页，2022年，5

5、月20日，16点24分，星期二13-2 刚体定轴转动微分方程把代入动量矩定理或或与 比较第15页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二已知滑轮半径为 ，转动惯量为 ，带动滑轮的皮带拉力分别为 和 。求滑轮的角加速度 。例：解：根据定轴转动微分方程 物理摆的质量为 ， 为其质心，摆对其悬挂点的转动惯量为 。求微小摆动的周期。例：第16页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二解：以逆时针转向为正。摆的转动微分方程为方程的通解为摆动周期为工程中常用上式，通过测定零件（如曲轴、连杆等）的摆动周期，以计算其 转动惯量。第17页，共83页，2022年，5月20日，16点

6、24分，星期二图示传动轴，轴和轴的转动惯量分别为 和 ，两轮的半径分别为 、 ，传动比 。轴上作用主动力矩 ，轴上有阻力矩 ，转向如图。忽略摩擦。求轴的角加速度。 例第18页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二解 ：分别取轴和为研究对象。受力如图。对轴以逆钟向为正，轴以顺钟向为正。两轴对各自轴心的转动微分方程分别为运动学关系解得两轴分别取不同的转向，是为了保持与运动学关系的协调性。第19页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二13-3 刚体对轴的转动惯量转动惯量的定义式转动惯量的物理意义刚体转动惯性的度量研究转动惯量的目的要想合理地解决工程中有关刚体转动的

7、动力学问题，必须理解转动惯量的概念，并会计算或测定转动惯量。一、简单形状物体的转动惯量计算1、均质细直杆对 轴的转动惯量第20页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二均质 薄平板对于边线轴的转动惯量？讨论：O质量微元杆的线密度 ，于是，第21页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二2、均质薄圆环对中心轴 的转动惯量均质薄圆筒对中心轴的转动惯量？第22页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二3、均质圆板对中心轴的转动惯量以薄圆环作为质量微元其中均质圆柱体对中心轴的转动惯量 ？第23页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二二、

8、均质薄平板对法向轴与切向轴转动惯量间的关系应用 举例：第24页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 如果把刚体的质量全部集中在与 轴相距为 的点上，则此质点对 轴的转动惯量与原刚体相同。三、惯性半径（或回转半径）转动惯量的量纲为 ，工程实际中常将它表示为刚体质量 与某一长度 的平方的乘积：细直杆均质圆环均质圆板第25页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二四、平行轴定理定理：刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。C点为质心； 为质心轴， 为与之平行的任一轴，距离为 。d第26页，共8

9、3页，2022年，5月20日，16点24分，星期二式中 为刚体的质量， 为质心 在坐标系中的 坐标。因 轴通过质心，故 从而得到在一组平行轴 中，刚体对质心轴的转动惯量为最小。第27页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二求均质细直杆对垂直于杆且通过质心的轴的转动惯量。例AC例简化的钟摆，由质量分别为 和 的均质细直杆、均质圆盘组成，杆长 ，圆盘直径为 。求 摆 对于通过悬挂点 的水平轴的 转动惯量。组合法第28页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二于是得质量为 的均质空心圆柱体外径为 ，内径为 ，求对于中心轴 的转动惯量。例负质量法=-第29页，共83页

10、，2022年，5月20日，16点24分，星期二，设圆柱体的密度为则，其中于是可得第30页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二二、实验法工程中，对于几何形状复杂的物体，常用实验方法测定其转动惯量。第31页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 为了给予图示质量为8kg的物体B以600mm/s2向上的加速度，试求应作用于绳索A端的力FT 。假设均质圆盘质量为20kg，半径为150mm，绳索在圆盘表面上无相对滑动。并计算物体B上所受的绳的张力。FTmgABra第32页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二已知均质杆和均质轮的质量分别同为m，杆的

11、角速度为 。求图示各种情况下，系统对轴O的动量矩。ROC400mmR=200mm（1）杆与轮焊接OC（3）轮与杆有相对转动OC（2）杆与轮自由铰接第33页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 例 图示一半径为R的光滑圆盘，平置于光滑水平面上，并可绕通过盘心并与其垂直的轴O转动；另有一均质杆长为l、重W，A端铰接于盘的外沿，B端始终压在沿的内侧。已知R=400mm，W=100N。若在某瞬时 =3rad/s、 =6rad/s2，求该瞬时杆的A、B端所受之力。ABORFBABOCFAxFAy解：研究杆AB。第34页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二由刚体定轴

12、转动微分方程，得：所以：由质心运动定理，得：所以：FBABOCFAxFAy第35页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 滑块A、B的质量分别为mA=2kg、 mB=0.5kg ，用长为1m的绳连接，它们可在水平光滑杆GH上滑动。均质T形杆绕铅垂轴转动，其对z轴的转动惯量为Jz=0.8kgm2。轴承的摩擦和绳的质量略去不计。当rA=0.6m时，滑块A以速度0.4m/S沿杆向外运动，且杆的角速度为 ，求此时杆的角加速度。mBgmAg1mABODEGrArBHvBevBr（1）以滑块及杆为研究对象。（2）分析受力。（3）分析运动。（4）由动量矩守恒列方程：xyzvArvAeFEx

13、FEyFDyFDxFDz第36页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二即：所以：上式两边对时间取导，得由此解得杆的角加速度为：第37页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例 均质鼓轮重P1，半径为R，对转动轴的回转半径为 。在半径为 r 的轴颈上绕一不可伸长的细绳，绳端系一重为P2的重物。可变形的细绳简化为一弹性刚度系数为k的弹簧绕于轮缘上。试列写系统运动微分方程。rRP1P2FxFyFk解：取鼓轮及重物组成质点系。系统只有一个自由度，选鼓轮转角 为广义坐标，顺时针为正。零点位于弹簧静变形处，即在静平衡位置满足：研究当 取任意值时的系统，受力如图由质点系的

14、动量矩定理，建立运动微分方程：第38页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二FxFyP1FTFkP2FT所以：讨论：（1）分别取鼓轮为研究对象，同样可求出系统的运动微分方程（2）描述系统的位置，既可以象上述解法中采用鼓轮的转角作为广义坐标，也可以采用重物的铅垂位移。但不论那种选择，因系统为一个自由度，只需一个广义坐标。（3）取系统的的静平衡位置为零位置，才使得运动微分方程中没有出现重力。并非偶然。（4）建立系统的运动微分方程，即求出任意瞬时系统的（广义）加速度。第39页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二相对质心的动量矩定理引言前述的动量矩定理建立在惯性参

15、考系中，其动量矩和外力矩的矩心（或轴）为固定的点（或轴）。质点系中各质点的动量也是其质量与绝对速度的乘积。对于一般的动点（或动轴），动量矩定理具有相对复杂的形式。然而，相对于质点系的质心（或通过质心的动轴），动量矩定理仍保持其简洁的形式。这一定理在很多的工程实际问题中具有重要的应用。第40页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二13-5 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对动系C点的动量矩：质点系对定系O点的动量矩为：一、质点系相对固定点与相对质心动量矩的关系设动参考系Cxyz平动，第41页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二质点系对任意点 的动量矩等于集

16、中与质心的系统动量 对于 点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩 。（一般应为矢量和，平面问题中可取代数和。）第42页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例如：求质量为 、长为 的均质细长杆与质量为 、半径为 的均质圆盘对于 转轴O的动量矩。已知：杆的角速度 ，轮相对于杆的角速度为 。解：取逆钟向为正若 ，则轮为平动第43页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二其中二、相对质心的动量矩定理由质点系对于定点O的动量矩定理而于是可得第44页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心

17、的主矩。该定理在形式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全一致。利用该定理对一些相关问题的解释：（1）力偶的等效=第45页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二（2）怎样划船？(3) 飞机的抬头、俯冲和转向第46页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二(4)相对质心的动量矩守恒与跳水、体操等运动中的转体动作。（5）由于相对质心的动量矩守恒，旋转的枪弹、铁饼在飞行中能保持良好的姿态。同样的道理，地球两极的指向是恒定的。第47页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二关于动量矩定理的补充知识相对固定点的和相对质心的动量矩定理，具有相同的简洁的数学形

18、式。一般的，如果任取一动点作为矩心，动量矩定理的形式将远为复杂。而只有在一些特殊的条件下，定理的形式才会同样的简洁。恒量第48页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二13-6 刚体平面运动微分方程设：刚体具有 质量对称面 S，此平面在某一固定平面内运动，作用在刚体上的力系可简化为该平面内的一个平面力系。第49页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二前面例题，试求绳剪断瞬时，杆的角加速度。 例ABAB解：研究杆AB,由相对质心的动量矩定理第50页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二由质心运动定理可知，图示各轮的质心加速度是相同的，但各轮的运

19、动必不能完全一致。有什么不同呢？FFF相对质心做顺时针方向的加速转动。相对质心转动的角加速度为0。若没有初始的角速度，则轮将保持平动。相对质心做逆时针方向的加速转动。第51页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 质量为m的均质圆盘，平置于光滑面上，若给以图四种不同的受力情况。设开始时圆盘为静止，且r=R/2，圆盘对其质心的转动惯量为JC 。试说明圆盘将如何运动？FFRr2FFRrF2FRr质心不动，轮绕质心逆时针方向加速转动。质心向左加速运动，同时轮相对质心沿逆时针方向加速转动。质心向左加速运动，但轮相对质心没有转动。即轮平动FRr质心向右加速运动，同时轮相对质心沿逆时针方

20、向加速转动。第52页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二对下面各图中的情况所给出的角加速度计算公式，判断是否正确？OFCAACBFACBM第53页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例：圆盘在斜面上纯滚动，其质量和半径分别为：m, R . 圆盘上作用有力偶 M ，求圆盘的角加速度，质心加速度和摩擦力，并求使轮不打滑的最小 。解：以圆轮为研究对象。圆轮作平面运动。受力如图：分析：力偶迫使轮子滚动，从而使轮子与斜面之间产生摩擦力。第54页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二其中纯滚动所应满足的运动学关系：以上方程联立求解，可得：，根据刚体

21、平面运动微分方程，有:（+）（+）第55页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二，由 和 的表达式可知，若 则它们均取得“”值，即说明若 不够大， 和 的实际方向（方向）将与所设相反。为使圆轮不打滑，应保证：所以轮在纯滚动时，其接触点处一般均会有静滑动摩擦力。车辆正是靠它才能前进。第56页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 例 均质圆柱体的质量为m，半径为r，放在倾角为600的斜面上，一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于A点，此绳与相连部分与斜面平行。如圆柱体与斜面间的摩擦系数为f=1/3，求圆柱体质心的加速度。2rAB600mgCBmgCFTFdFNaC

22、xy刚体平面运动微分方程：解：以轮为研究对象。第57页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二运动学关系：第58页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二均质细直杆AB，质量为 ，两端悬挂在两条平行绳上，于图示位置平衡。突然剪断其中一绳，求此瞬时另一绳的张力。例ABCABCABC第59页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二在刚剪断瞬时，A点的速度 ，杆的角速度解：研究杆AB。由刚体平面运动微分方程得其中：运动学关系：以C为基点，分析A点的加速度。其中： ，所以 ，并由此得第60页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二解得：,

23、此题目属于突然解除约束问题，简称突解约束问题。突解约束问题的力学特点：系统解除约束后，其自由度一般会增加；解除约束的前后瞬时，其速度、角速度连续，但加速度、角加速度发生突变。因此，突解约束问题属于动力学问题，而非静力学问题。动力学问题中，一般要用到运动学关系，而运动学关系的建立，往往是解题的关键。第61页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例：图示系统，力F使A点以u匀速运动，绳OB=L/2。图示瞬时，运动至OB铅垂。求此瞬时OA杆的加角速度、地面约束力、绳的拉力。设杆长为L，质量为m分析：此题目给出了杆的运动，可以用刚体平面运动微分方程求出未知力。第62页，共83页，20

24、22年，5月20日，16点24分，星期二其中投影于 轴，得：瞬时平动第63页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二其中：于是可得：第64页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例： 图示质量为m的均质圆柱体，在其中部绕以质量不计的细绳。圆柱体的轴心C由静止开始降落了h高度，求此瞬时轴心的速度和绳子的张力。hCB CFTmgaC刚体平面运动微分方程：运动学关系：解得：对于匀加速运动有：所以：解：以轮为研究对象。第65页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 均质圆柱A和飞轮B的质量均为m，外半径均为r，中间用直杆以铰链连接。令它们沿斜面无滑动

25、地滚下，假若斜面与水平面的夹角为 ，飞轮可视为质量集中于外缘的薄圆环，AB杆的质量可以忽略。求AB杆的加速度及其内力。ABBamgFBNFBsFTAmgFANFAsFTa对轮A由刚体平面运动微分方程对轮B由刚体平面运动微分方程第66页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二运动学关系：（压力）解得：讨论： 两轮间连杆AB的内力为压力，说明若没有连杆AB的作用，则轮A将比轮B的加速度大（若两轮同时自静止运动，则轮A的速度将快于轮B）。这是由于虽然两轮的移动惯性相同，但轮A的转动惯性小于轮B。光滑接触接触面有摩擦比较第67页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二

26、板重P1，受水平力F作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩擦系数为fd；在板上放一重为P2的实心圆柱，此圆柱对板只滚不滑，求板的加速度。FFP1FsFdFN1FN2a1P2FsFN2a2arae=a1对轮有：对板有：所以：（2）运动学关系的建立：（1）动滑动摩擦力的计算：系统具有两个自由度，在a1、a2、间存在一个运动学关系所以：因为：第68页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二P2FsFN2a2arae=a1对轮，由刚体平面运动微分方程有：（2）（3）对板，由质心运动定理有：（1）（3）动力学方程的建立：将 代入，并与运动学关系 联立FP1FsFdFN1FN2a1解得：第6

27、9页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 一均质轮的半径为R、质量为m，在轮的中心有一半径为r的轴，轴上绕两条细绳，绳端各作用一不变的水平力F1和F2，其方向相反，如图所示。如轮对其中心O的转动惯量为J，且轮只滚不滑，求轮中心O的加速度。RrF1F2F1F2mgaFNFsO对轮，由刚体平面运动微分方程有：运动学关系：解：以上方程联立求解可得：第70页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二 其厚度及密度均相等的二大小均质圆盘，用铆钉固结在一起，将大盘的一面静止地放在光滑水平面上，在大盘上受有力偶的作用，力偶矩为2FR，如图所示。已知两圆盘的质量分别为m1=4

28、kg、m2=1kg，半径R=2r=100mm，F=100 N。试求其角加速度，又绕哪点转动？FFORrO1（1）根据质心运动定理可知：系统质心运动守恒，因初始静止，故质心位置不动。解：取大、小两圆盘组成质点系。（2）由质心坐标公式确定质心位置：质心C在O、O1点之间，距O点 OC=r/5=20 mmC（3）求系统对质心的转动惯量：根据转动惯量的平行轴定理：（4）根据相对质心的动量矩定理求角加速度：第71页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二图示均质圆盘转动惯量为J，其上绕以细绳，绳悬挂一重为P的重物。现在盘上加一力偶矩为的M力偶，设圆盘的角加速度为 ，问如下等式是否成立？M

29、P正确的是：答：不成立。另一方面：若对轮使用定轴转动微分方程，绳子的拉力并不等于重物的重力，重物加速向上或向下会产生超重或失重的现象。错误原因：一方面：若对系统使用动量矩 定理，上面等式中没有考虑到重物的惯性。第72页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二两个完全相同的均质圆盘，静止立放在水平面上。如果在两盘的不同位置上各作用一个大小和方向均相同的水平力，试判断在下述两种情况下，两盘中哪一个的质心运动得较快？（1）水平面绝对光滑；（2）水平面与盘间有较大的摩擦，足以使圆盘在其上做纯滚动。FFNFSmgBFFBA(1) 两盘质心的运动一样快。(2) B盘质心的运动快。FFNFS

30、mgAh第73页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二图示鼓轮对轴的转动惯量为J，悬挂的重物的重量分别为P1、P2，求轮的角加速度的计算公式是否正确？P2P1O图示两齿轮对各自轴的转动惯量分别为J1、J2，求轮2的角加速度的计算公式是否正确？O1O2M第74页，共83页，2022年，5月20日，16点24分，星期二例 图示的均质磙子，其质量为m=10kg，外径为R=0.4m，鼓轮的半径为r=0.2m，对中心轴O的回转半径为 =0.26m 。鼓轮外缘绕一质量不计的软绳，绳的另一端作用一拉力Q，又Q=40N，该力与水平线的夹角为 =300 。（1）求磙子做纯滚动时其质心O的加速度及作用于磙子的静滑动摩擦力；（2）若磙子与水平面间的静滑动摩擦系数为fS=0.25，动滑动摩擦系数为fd=0.2，求质心O的加速度；（3）若磙子的质心C偏离其中心O的距离为e=0.04m，假设回转半径 不变，