动态电路分析 (3)精品课件

1、动态电路分析第1页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一第5章 动态电路分析5.1动态元件概述动态元件的有关特性动态元件的串联、并联电路换路定则和初始值的确定5.2零输入响应RC电路的零输入响应RL电路的零输入响应第2页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一第5章 动态电路分析5.3零状态响应RC电路的零状态响应RL电路的零状态响应5.4一阶电路完全响应RC电路一阶完全响应RL电路一阶完全响应5.5一阶线性电路动态分析的三要素法第3页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一第5章 动态电路分析5.6阶跃函数与阶跃响应阶跃函数延时阶跃函数

2、阶跃响应5.7微分电路与积分电路微分电路积分电路第4页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一第5章 动态电路分析*5.8RLC电路的响应分析RLC电路的零输入响应过阻尼RLC电路的零输入响应临界阻尼RLC电路的零输入响应欠阻尼RLC电路的零输入响应无阻尼等幅振荡*5.9GCL并联电路的零输入响应第5页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件概述日常生活中常用的一些电器设备从一种稳定状态转变到另一种新的稳定状态不能跃变，它需要经历一定时间，这种物理过程称为过渡过程。电路也有过渡过程，如RC串联电路。RC串联电路从直流电源接通时刻直到电容器电压

3、达到稳定电压状态时，需要一定时间才能完成，所经历的过程就是过渡过程。所谓稳定状态，是指电路中的电流和电压在给定条件下已达到某一稳定值，其稳定状态简称稳态。第6页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件电路的过渡过程时间是短暂的，常以秒或微秒计，所以电路的过渡过程又称为暂态过程。暂态过程虽然时间短暂，但在实际应用中具有重要意义。(1)电容充、放电过渡过程的特性在电子技术中常用来构成各种脉冲电路或延时电路，以获得脉冲及锯齿形信号。(2)在实际工作中，常常会操作一些电器装置，如接通或断开电源，切断运行中的电气设备或高速电路元器件等。这种过压或过电流可能使某些元器件击

4、穿或者使某些电气设备的绝缘损坏，因此必须采取有效措施加以防止。第7页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件5.1.2 动态元件的有关特性 1.动态元件电容根据第3章得出电容的伏安关系式（3-16）式中，电流与电压是关联的。若非关联则式（3-16）表明，任一时刻流经电容的电流取决于该时刻电容两端电压的变化率 ，电容电压的变化率越大，则电容电流越大。第8页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件只有知道电容电压的变化率，才能确定电容电流，即电容电压在动态条件下，才能有电容电流，所以电容称为动态元件。上面电容与电压关系式也表明，电

5、容电流皆为有限值，电容电压不能跃变。若能跃变，则电容电流变为无限值，不符合电容电流有限值的假设。可见，电容电压不能跃变，这是动态元件电容的重要性质，并且第9页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件式（5-3）表明：若已知t=0时刻电容的初始电压uC(0)和电容电流iC(t)，即可确定t0时的电容电压uC(t)，也就是对iC(t)从t=0到t积分则可。通常，称初始电压uC(0)为初始状态或初始条件。由此可见，动态元件电容具有记忆作用。式中第10页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件【例5.1】 设有电路如图5.1（a）所示

6、，图中电容C为0.7F，电压源u(t)如图5.1（b）所示，求电容电流i(t)，并画出波形图。图5.1 例5.1图第11页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件解：由图5.1(b)可知u(t)波形分段如下：(1)01s时，u(t)从0V上升10V，其变化率为此时段的电容电流为(2)13s时，电压u(t)=10V，其随时间变化率为此时段电容的电流为i(t)=0第12页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件(3)35s时,电压u(t)从10V下降到-10V，其变化率为此时段电容的电流为按照以上步骤继续计算，便可得到如图5.1(

7、c)所示波形图。图中可见，当电流与uC(t)为关联参考方向时，电容电压uC(t)变化率为正，电流i(t)为正值；反之，为负值。当电容电压变化率为零时，电流i(t)也为零值。从图5.1(b)、(c)还可看到，电流i(t)与uC(t)波形不同。第13页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件【例5.2】电路如图5.1(a)所示，已知电容电流iC(t)波形如图5.2(a)所示，试求电容电压uC(t)，所需电容C=2F，uC(0)=0。图5.2 例5.2图图5.1 例5.1图第14页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件解：由图5.

8、2(a)，电容电流iC(t)表达式可写成下式当0t1s时，uC(t)=0，uC(1)=0当1st2s时当2st3s时第15页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件2. 动态元件电感由第3章中式(3-20)可知此式表示电感两端电压与通过的电流iC(t)是关联的。若为非关联，此式前应加负号，即式(3-20)表明，任一时刻，电感电压uL(t)取决于电感电流的变化率，而与该时刻电感电流本身的数值无关。电感电流变化率越大，则电感电压值也越大。第16页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件电感电压取决于电感电流的变化率，也就是说，电流

9、在动态条件下，才能有电感电压。因此，电感也称为动态元件。从上式(5-5)可见，任一时刻电感电压皆为有限值，电感电流不能跃变，只能连续变化，否则uL(t)变为无限值，不符合电感电压的约定。因此，在电感电压为有限值的条件下，电感电流不能跃变是动态元件电感的重要性质，并且第17页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件式中iL(0)是t=0时电感电流值，称为初始电流，它是动态电感电压从t=-到t=0的时间积分，反映了t=0以前电感电压的全部情况。通常，称电感的初始电流iL(0)为初始条件或初始状态。由此可见，动态元件电感具有记忆功能。第18页，共198页，2022年

10、，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件【例5.3】 电路如图5.3(a)所示，其中电流源i(t)波形如图5.3(b)所示， 试求电感电压uL(t)，并绘出波形图。图5.3 例5.3第19页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件解：由图5.3(b)，得到电流源i(t)数学表达式为按时段计算uL(t)如下。0t1ms：1mst3ms：3mst4ms第20页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件根据以上计算结果画出图5.3(c)所示波形图。图5.3(b)、(c)是在关联参考方向下画出的波形图，图中电感电流变化率为正时

11、，电感电压为正值；电流变化率为负时，电感电压为负值，这时电感电压与电流波形不同。【例5.4】 电路如图5.4(a)所示，电感L无储能，当t=0时加上电压u(t)，波形如图5.4(b)所示，求t0时的i(t)并画出波形图。第21页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件解：由图5.4(b)可知，其表达式为图5.4 例5.4第22页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件t0 u(t)=0，i(t)=00t1s i(0)=0 i(1)=2 A1st2s i(2)=-2 A第23页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，

12、星期一5.1 动态元件t2s u(t)=0,i(t)=-2A根据上面计算，各时段波形如图5.4(c)所示。3. 动态元件能量动态元件电容的电压、动态元件电感的电流在任何时刻不能跃变的原因，在于动态元件电容或电感是储能元件，其能量的储存与释放不能突变。能量不能跃变必然导致过渡过程的产生。第24页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件【例5.5】 试计算例5.1电容的储能，并画出储能C的波形图。解：电容电压u(t)的表达式为根据计算电容能量公式按时段计算电容储能第25页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件第26页，共198页

13、，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件下面讨论几个特殊点的C值。画出C(t)的波形图如图5.5所示。由波形图可见，电容的储能总是正值，有时增大，有时恒定不变，有时减小。图5.5 例5.5第27页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件从能量公式可见，电容电流为有限值时，电容电压不能跃变，这是储能不能跃变的反映。若电容的储能可以跃变，则能量变化率为无限大，即这在电容电流为有限值的条件下是不可能的。【例5.6】 试计算例5.3电路中电感的储能，并画出其L波形图。解：根据图5.3(b)电感电流各时段波形分别计算电感的储能。第28页，共198页

14、，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件下面讨论几个特殊点的L值。(0)=0L(1)=3.6t2=3.6 mJL(2)=0.1(36t2-144t+144)=0L(3)=0.1(36t2-144t+144)=3.6 mJL(4)=0.1(36t2-288t+576)=0第29页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件由上面计算结果画出L(t)随时间变化的波形图如图5.6所示。从电感的能量公式可见，电感电压为有限值的条件下，任一时刻电感电流不能跃变，这是储能不能跃变的反映。若电感储能可以跃变的话，则能量变化速率为无限大，即这在电感电压为有限

15、值的情况下是不可能的。图5.6 例5.6第30页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件4. 动态元件的对偶关系前面已经讨论了动态元件电容和电感有关的特性，从式(3-16)、式(5-1)、式(5-3)及式(3-20)、式(5-5)、式(5-7)相比较可以看出，电容元件与电感元件存在着对偶关系。常把电容与电感两种元件的伏安关系式中的参数和电流、电压的对应置换关系称为对偶关系。电容元件及电感元件的储能公式(3-17)与式(3-21)比较，也可以得出二者存在同样的对偶关系的结论。所以电容元件、电感元件是一组对偶元件。第31页，共198页，2022年，5月20日，20

16、点45分，星期一5.1 动态元件5.1.3 动态元件的串联、并联电路 在含有动态元件的电路中，常常遇到电容或电感串联、并联的组合连接电路。为了分析电路方便，将电容或电感的串联、并联等效成一个电容或电感。1. 电容的串联电路与并联电路电路中有若干电容C1，C2，Cn串联，若a、b两端电压为u(t),各电容电压分别为u1(t),u2(t),，un(t),通过的电流为i(t),如图5.7(a)所示。图5.7 电容串联及等效电路第32页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件根据基尔霍夫电压定律可得出u(t)=u1(t)+u2(t)+un(t)由电压与电流关系式(5-

17、3)可得若电路中仅有两个电容C1和C2串联，其等效电容由式(5-11)得出式中第33页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件有若干个电容C1，C2，Cn并联的电路，各电容两端电压等于a、b两端电压u(t) ，初始电压为u(0)，如图5.8(a)所示。根据基尔霍夫电流定律得出i(t)=i1(t)+i2(t)+in(t) (5-13)图5.8 电容并联及等效电路第34页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件根据电容电压与电流关系式可得出称为等效电容，表明并联电容电路的等效电容C等于各个电容之和,如图5.8(b)所示。其初始电压

18、为uC(0)。2. 电感串联、并联电路电路中有若干个电感L1、L2，Ln串联(无互感)，如图5.9(a)所示。通过电路的电流为i(t)，电流初始值为i(0)，根据电感电压与电流关系，可求出端口a、b电压为式中第35页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件上式表明，由若干电感串联组成的电路，其等效电感为各电感之和，等效电路如图5.9(b)所示。等效电感的电流初始值为iL(0)。图5.9 电感串联及等效电路式中第36页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件图5.10(a)所示电路是由若干个电感(无互感)并联组成的，各电感电流初

19、始值分别为i1(0)，i2(0)，in(0)，各电感两端电压为a、b两端电压uL(t)。根据电感电流与电压关系，可得出图5.10 电感并联电路及等效电路第37页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件若由两个电感L1及L2并联，其等效电感为式中第38页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件【例5.7】 在图5.11所示电路中，含有电容串联、并联的组合连接。试求：(1)电路的等效电容；(2)a、b两端初始电压。解：(1)计算等效电容。由图5.11可见，C3与C4并联，其等效电容为C3=C3+C4=5+1=6 FC2与C3串联，

20、其等效电容为图5.11 例5.7图第39页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件C1与C2并联，其等效电容为C1=C1+C2=2+2=4 F(2)计算a、b两端初始电压值，设u2(0)=7V， u4(0)=3V，则uab=u2(0)-u3(0)=7-3=4V【例5.8】 电路如图5.12所示，电感串并联组合(设无互感)，各电感的初始电流分别为2A、-3A和5A。试求：(1)电路中的等效电感值，已知L1=2mH，L2=4mH，L3=8mH，L4=5mH，L5=20mH；(2)电路中的总初始电流值。第40页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期

21、一5.1 动态元件解：(1)求等效电感，L4与L5并联，等效电感为L3与L4串联，其等效电感为L3=L3+L4=8+4=12 mHL2与L3并联，其等效电感为L1与L2串联，其等效电感为L1=L1+L2=2+3=5mH 图5.12 例5.8图第41页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件(2)求总初始电流，根据基尔霍夫电流定律可以得出iL3(0)=iL4(0)+iL5(0)=-3+5=2AiL1(0)=iL2(0)+iL3(0)=2+2=45.1.4 换路定则和初始值的确定当电路工作状态变化时，如电路的接通、断开、短路、电源电压的改接、电路元件参数的改变及电

22、路各种故障等统称为换路。 根据电容元件中电场能量和电感元件磁场能量不能跃变的性质，可以得出结论：换路前后电容两端瞬时电压和电感瞬时电流不能跃变，这个结论称为换路定则。公式如下：第42页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件在应用经典法分析储能电路过渡过程中，电流、电压随时间变化规律时,需要确定t=0+时刻的初始值。【例5.9】 电路如图.13(a)所示，开关S在t=0时闭合。求各电压和电流的初始值。图5.13 例5.9图第43页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件解：(1)t=0时换路，求各电压和电流的初始值，先求uC(

23、0+)和iL(0+)。根据题意，换路前处于稳定工作状态下的等效电路(t=0-电路)求uC(0-)和iL(0-)。电路中，C相当于开路，L相当于短路，等效电路如图5.7(b)所示，得出(2) 根据换路定则可得第44页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件uC(0+)相当于一个电压源，iL(0+)相当于一个电流源，如图5.13(c)所示。(3)求t=0+时其他各变量第45页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件【例5.10】 电路如图5.14(a)所示，试确定电路中各电流和电压的初值。设开关S闭合前，电感和电容无储能，R1=2

24、，R2=4，R3=4。图5.14 例5.10图第46页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.1 动态元件解：(1)电路如图5.14(a)所示，求t=0-时uC(0-)、iL(0-)，得出uC(0-)=0iL(0-)=0(2)根据换路定则，t=0+时，电路如图5.14(b)所示，分别求uC(0+)、iL(0+)、i(0+)、u1(0+)及u2(0+)。第47页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应零输入响应是动态电路在无外加激励情况下,由电路中动态元件的初始储存能量产生的响应。所以是一种无源、非时变的电路在初始储能激励下的响应。5.2

25、.1 RC电路的零输入响应分析在图5.15(a)所示的RC电路中以t=0时为计时起点，在t0时的电容电压uC(t)和电容电流iC(t)的变化规律。图5.15 一阶RC零输入响应电路第48页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应电路中，开关S处于位置1时，电容被充电，直至电容电压为uC=U0时，达到稳态。t=0时，开关S由位置1打向位置2，此时进行换路。R、C被短接，电路如图5.9(b)所示。电容向电阻R放电，放电电流从电容正极板向负极板流动，与图中假设的电流参考方向相反。当t=0-时，uC(0-)=U0；当t=0+时，uC(0+)=uC(0-)=U0。根据

26、基尔霍夫电压定律，得出第49页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应电路的电压参考极性及电流iC(t)参考方向如图5.15(b)所示。当t0时，由基尔霍夫电压定律可得uC(t)+uR(t)=0(5-23)由元件伏安关系可得uR(t)=iC(t)R代入电路方程式(2-23)中得根据换路定则，电路的初始条件为uC(0+)=uC(0-)=U0第50页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应并记做uC(0)=U0(5-25)式(5-24)是描述RC电路放电过程中电容电压uC(t)变化的微分方程。其中R和C是常数，因此，这个方程是

27、常系数一阶齐次微分方程。其通解形式为式中，S为特征方程的根。将式(5-26)代入式(5-24)得消去公因子KeSt，得出特征方程为RCS+1=0第51页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应解出特征方程根为代入式(5-26)得出微分方程通解为由初始条件式(5-25)确定常数K值。t=0时,则式(5-28)为uC(0)=K=U0因此，满足初始条件的微分方程的解为第52页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应uC(t)是随时间变化的曲线，如图5.16(a)所示。它是一条按指数衰减的曲线，t=0时，uC(0)=U0，uC()

28、=0。放电电流为图5.16 uC(t)、iC(t)和uR(t)的波形s第53页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应放电电流iC(t)随时间变化的表达式，可用图5.16(b)所示的图形表示，该图形为按指数衰减的曲线。电阻电压uR(t)在放电过程中随时间变化即电阻电压uR(t)波形示于图5.16(b)中，同样随时间变化逐渐衰减。由式(5-29)、式(5-30)、式(5-31)可见，uC(t)、uR(t)、uC(t)式中都有 这一项，它取决于e的指数 的大小，决定衰减的快慢,R与C的乘积越大,自由分量的衰减越慢,过渡过程持续时间越长；R与C的乘积越小,自由分量

29、的衰减越快,过渡过程持续时间就越短。第54页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应R和C的乘积是一个常数，通常用表示，即=RC(5-32)常数反映了过渡过程持续时间的长短，具有时间的量纲。因为电阻单位为，电容单位为F(As/V)，代入式(5-32)称为时间常数，单位以s计。若C为0.1F，R为10，则时间常数等于1s。引入时间常数后，式(5-29)、式(5-30)、式(5-31)可分别写成第55页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应现以电容电压为例，说明时间常数的意义。由式(5-24)可得出t=0uC(0)=U0e0

30、=U0t=uC()=U0e-1=0.368U0上式说明，在时间内，电容电压值衰减到初始值U0的36.8%。所以称时间常数为零输入电路响应衰减到初始值36.8%时所需要的时间。第56页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应表5.1 不同值时的放电电压应该指出，RC电路的时间常数反映电路本身的固有性质，也是电路特征方程根S的倒数，即 t0234510.3680.1350.050.0180.00670uC(t)U00.368 U00.135 U00.05 U00.018 U00.0067 U00第57页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5

31、.2 零输入响应【例5.11】 已知电路如图5.17(a)所示，求开关S断开后，电容电压uC(t)和放电电流iC(t)。解：电路如图5.17(a)所示，t=0-时，电路已处于直流稳态，因此在直流电源作用下电容支路内已无电流流动，电容电压不随时间变化，相当于开路。图5.17 例5.5图第58页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应t=0时，开关S打开，电路如图5.11(b)所示，根据换路定则，电容电压不能跃变，则uC(0+)=uC(0-)=U0=8 V时间常数为=RC=8103210-6=16 ms由式(5-29)可得由式(5-30)计算放电电流为第59页，

32、共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应【例5.12】 已知电路如图5.18(a)所示，在t=0时，开关S闭合前电路处于直流稳态。试求t0时，i1(t)、i2(t)和iC(t)。图5.18 例5.12图第60页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应解：(1)开关S闭合前，t=0-时，电路已处于稳态，电容C两端电压uC(0-)为R2两端电压，即uC(0-)=R2IS=62=12 V (2)t=0时，开关S闭合，电路如图5.12(b)所示，根据换路定则得出uC(0+)=uC(0-)=U0=12 V (3)求第61页，共198页

33、，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应(4)求uC(t)(5)根据伏安关系求i1(t)、i2(t)(6)根据电容的伏安关系式iC(t)可得第62页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应5.2.2 RL电路的零输入响应图5.19(a)所示电路是RL串联电路，开关S换路前处于位置1，并且达到稳态。t=0时，开关S从位置1转换到位置2。下面分析开关动作后，电路中电感电流iL(t)和电压uL(t)、uR(t)的变化规律。图5.19 RL电路零输入响应第63页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应开关S

34、动作前电路已处于直流稳态，电感电流iL(t)不会随时间变化,电感电压uL(t)为零，相当于短路，则t=0时，开关S从位置1转换到位置2，使电路断开电源US，电路如图5.19(b)所示。根据换路定则，电感电流不能跃变，则iL(0+)=iL(0-)=I0电感储存能量为第64页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应随后使电路中的电流继续流动，将电感中的磁场能量转移到电阻元件中，转变成热能。直到磁场能量全部被电阻所消耗，电流iL为零。这一过程称为电感的消磁过程。为了正确说明电感电流和电感电压随时间的变化规律，根据基尔霍夫电压定律列出t0微分方程。由图5.19(b)

35、所示电路可以得出uL(t)+uR(t)=0 t0电阻和电感的伏安关系为uR(t)=RiL(t)第65页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应代入上式得此式是常系数一阶线性齐次微分方程，其通解为iL(t)=KeSt(5-36)式中，S为特征方程的根，将式(5-36)代入式(5-35)中，可得出特征方程为LS+R=0第66页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应定义为时间常数，根据RL电路的初始条件iL(0+)=i(0+)=I0代入式(5-36)得iL(0)=K=I0所以电感电压和电阻电压为第67页，共198页，2022年

36、，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应RL电路的时间常数中，电感的单位是(H)即(s)，电阻的单位是，同样具有时间的量纲，即图5.20 RL电路零输入响应根据式(5-39)、式(5-40)和式(5-41)给出iL(t)、uL(t)、uR(t)随时间变化而变化的波形，如图5.20所示。第68页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应【例5.13】 电路如图5.21(a)所示，t=0时，开关S由位置1转换到位置2进行换路。换路前电路处于稳态，求t0时的iL(t)和uL(t)。图5.21 例5.13图第69页，共198页，2022年，5月20日，20

37、点45分，星期一5.2 零输入响应解：(1)求iL(0-)：开关S换路前已处于直流稳态，电感相当于短路。(2)t=0时换路，iL(0+)为iL(0+)=iL(0-)=2 A(3)根据式(5-27)，电路微分方程为第70页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应特征方程为0.2S+2=0特征方程根为时间常数为当t=0时第71页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应方程的通解为电感电压uL(t)为第72页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应【例5.14】 电路如图5.22(a)所示，电

38、源电压US36V，电路中接有量程为50V的电压表，表的内阻RV为 4k。当t=0时，将开关S断开，断开前电路处于稳态。求开关断开后的电感电流iL(t)及开关刚断开时电压表两端的电压值。图5.22 例5.14图第73页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响应解：(1)t=0时，开关S断开后的电路如图5.22(b)所示，电路总电阻为R=RL+RV=1+41034 k(2)电路中电感电流初始值为iL(0)=iL(0+)=iL(0-)=36A (3)时间常数为(4)电感电流iL(t)为第74页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.2 零输入响

39、应(5)t=0+时，电压表两端电压为电压表两端电压为-144103V，此值远远超出量程，可能会使电压表损坏。负号表示与参考极性相反，所以在切断电源前要把电压表拆掉。为避免切断电源时出现过压，往往采取电感并接一个低电阻值电阻的方法,构成回路，使得换路后电感中的磁能逐渐消耗于电阻中，从而避免出现高压。第75页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应5.3.1 RC电路的零状态响应在电路无初始存储电能的条件下，由外加激励所产生的响应，称为零状态响应。如图5.23所示是RC串联电路，开关S闭合前电容初始状态为零，即uC(0-)=0。当t=0时，开关S闭合，电路接通直

40、流电源US，于是电源US向电容C充电。在t=(0+)时，根据换路定则，电容电压不能跃变，即uC(0+)=uC(0-)=0第76页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应电容相当于短路。电源电压全部施加于电阻R两端，这时电流值为最大，即下面分析在充电过程中，充电电流和电容电压的变化规律，为此列出换路后的微分方程。由图5.23所示电路，t0时开关S闭合，按照基尔霍夫电压定律，列写方程如下uC(t)+uR(t)=USt0(5-43)图5.23 RC零状态电路第77页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应其中电容和电阻伏安关系为

41、代入式(5-43)得根据换路定则可得uC(0+)uC(0-)=uC(0)=0 根据数学知识可得非齐次微分方程的解，电压应由齐次方程的特解uC(t)和通解uC(t)组成第78页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应uC(t)= uC(t)+uC(t)(5-45)式(5-44)的通解与式(5-28)相同，即式(5-36)的特解与输入激励函数的形式相同，由于输入的是恒定直流电压US，所以特解是一个常数。设uC(t)=A，代入式(5-44)得A=US所以特解为uC(t)=US式(5-45)的完全解为第79页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一

42、5.3 零状态响应根据初始条件，确定常数K值。当t=0时，式(5-47)完全解为uC(0)=K+US=0K=-US代入式(5-46)、式(5-47)可以得出零状态响应为根据电容元件的伏安关系可得第80页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应电路中电阻元件电压为从式(5-48)可见，RC电路中，电容电压uC(t)是按指数曲线规律随时间变化从零逐渐增大的，最后达到电源电压稳态值，如图5.24(a)所示图5.24 RC电路零状态响应曲线第81页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应48)可见，RC电路中，电容电压uC(t)是

43、按指数曲线规律随时间变化从零逐渐增大的，最后达到电源电压稳态值，如图5.24(a)所示；充电电流iC(t)是根据i(0)=USR，按指数规律逐渐衰减至零的，如图5.24(b)所示；在此图上也画出电阻电压uR(t)由电源电压值US按指数规律衰减至零的指数曲线。在实际应用中，若要使充电过程加快或减慢，只要适当改变电阻R值或电容C值，就可以实现。第82页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应【例5.15】 电路如图5.25(a)所示，在t=0时，开关S打开。试求零状态响应uC(t)和uR(t)。解：(1)电路如图5.25(a)所示，在t=0-时，电路已处于稳态。

44、由于开关闭合，2A电流源被短路，uC(0-)=0，初始无储能。图5.25 例5.15图第83页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应(2)t=0+时，开关S打开，使电流源接在电路中，为了分析方便，将2A电流源与并联的6电阻转换成戴维南等效电路，如图5.25(b)所示，其中R1=6 US=26=12 V(3)在t=0+时，将电容断开，求a、b两端开路时等效电路U0及R0第84页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应(4)电路如图5.25(c)所示，求=R0C=40.5=210-6 s (5)求图5.25(c)所示电路中u

45、C(t)、iC(t)和i1(t)电阻R2两端电压为第85页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应(6)求流过电阻R3的电流i(t)(7)求R3两端的电压uR(t)第86页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应【例5.16】 电路如图5.26(a)所示，换路前电路已处于稳态，在t=0 时开关S闭合。试求换路后uC(t)和uS(t)。图5.26 例5.16图第87页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应解：(1)开关S在t=0-时断开，电路处于稳态uC(0-)=0 (2)t=0+时，开

46、关S闭合，将电路转换成等效电路，如图5.26(b)所示，其中(3)求时间常数=R0C=122=24 s第88页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应(4)求uC(t)、iC(t)(5)求uS(t)，当开关S闭合后，由图5.26(a)可知第89页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应5.3.2 RL电路的零状态响应 RL电路如图5.27所示，开关闭合前电路处于稳态，电路中的电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源US，此时iL(0+)=iL(0-)=0(5-51)电感相当于开路，电源电压US

47、加于电感两端，即uL(0+)=US图5.27 RL零状态电路第90页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应由图5.27所示电路列写t0时的微分方程。根据基尔霍夫电压定律，有上式为常系数一阶线性非齐次微分方程，方程的解包括非齐次方程的特解iL(t)和齐次方程的通解IL(t)两项式中，齐次方程的通解与RL电路零输入响应形式相同，即第91页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应非齐次方程的特解与激励电源的电压或电流的形式相同，为一个定值所以根据RL电路零状态初始条件式(5-51)可以确定常系数K值第92页，共198页，202

48、2年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应因此，零状态响应为电感uL(t)为电阻电压uR(t)为第93页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应根据式(5-53)、式(5-55)、式(5-56)分别画出iL(t)、uL(t)和uR(t)随时间变化的波形曲线，如图5.28所示。由图5.28可见，在电流iL(t)、电压uL(t)和uR(t)随时间变化过程中，时间常数是相同的，改变电路中R或L的大小，可以改变常数的数值，从而改变动态过程的持续时间。图5.28 RL电路零状态响应曲线第94页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.

49、3 零状态响应【例5.17】 电路如图5.29(a)所示，开关S闭合前，电感中无储能。当t=0时，开关S闭合。求t0时，电流iL(t)和i(t)，要求画出iL(t)和i(t)随时间变化的曲线。图5.29 例5.17电路图第95页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应解：(1)先将图5.29(a)所示电路在t=0时,开关S闭合后的电路转换成戴维南等效电路,如图5.29(b)所示,其中(2)图5.29(b)所示电路与图5.27所示电路相同，其解的形式应为式(5-53)，即第96页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应(3)

50、求uL(t)(4)求u(t)和i(t)。u(t)是R1两端电压降，其值应该等于R3两端电压与uL(t)电压之和根据题目要求，画出iL(t)和uL(t)波形图，如图5.30(a)和图5.30(b)所示，图5.30(c)和图5.30(d)分别为i(t)和u(t)波形图。第97页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应图5.30 例5.17波形图第98页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应【例5.18】 电路如图5.31所示，US=100V，R=10，L=2H。试求：(1)开关S闭合0.1s后电路中的电流值；(2)开关S闭合

51、后，电流达到稳定值的90%，需要多少时间?解：(1)根据题意，t=0时，S未闭合，电路处于稳态，iL(0-)=0，初始无储能。(2)t=0+时，开关S闭合，接入电源电压US，其电路中有电流iL(t)，求解零状态的响应，其解为图5.31 例5.18图第99页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.3 零状态响应(3)当开关闭合后，达到0.1s时电路的电流值为iL(0.1)=10(1-e-50.1)=10(1-0.607)=3.93 A(4)当开关闭合，电流达到90%时所需要的时间为第100页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应输

52、入是恒定的直流激励，则称为直流一阶电路的完全响应。5.4.1 RC电路一阶完全响应RC电路如图5.32所示，电路初始状态uC(0-)=U0。t=0时，开关S闭合，电路输入直流电源电压为US，设USU0，求解微分方程式如下图5.32 RC电路一阶完全响应电路第101页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应根据叠加原理，其方程的解可以看成由电源US和初始状态uC(0)单独作用时产生响应的叠加。当电源电压US=0时，初始状态uC(0)=U0，单独作用时产生uC(t)为零输入响应当初始状态为uC(0)=0时，外加激励电压US所产生的响应uC(t)为零状态响应

53、因此，电路的完全响应为第102页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应此式说明，完全响应uC(t)是零输入响应及零状态响应的叠加，完全响应uC(t)的图形也是uC(t)和uC(t)的叠加结果，如图5.33所示。将式(5-60)整理可得出按式(5-61)画出图5.34所示波形，从中可以看出，uC(t)完全响应是暂态响应与稳态响应相加的结果。图5.33 RC电路完全响应波形第103页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应根据三种不同U0状态，分别为U0US，U0=US，U0US，画出波形如图5.35所示。图5.

54、34 RC电路USU0条件下的完全响应图5.35 RC电路三种不同初值状态的完全响应第104页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应【例5.19】 电路如图5.36(a)所示，R=5，C=1F，IS=1A，uC(0)=U0=2V。试求t0时，uC(t)、iC(t)和iR(t)的值，并画出变化曲线。图5.36 例5.19图第105页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应解：(1)首先将图5.36(a)所示电路按题意变成图5.36(b)所示电路。(2)将图5.30(b)中的电流源及并联电阻R转换成戴维南等效电路

55、，如图5.30(c)所示。US=ISR=15=5 VR0=R=5 uC(0-)=uC(0+)=uC(0)=2 V(3)求时间常数=R0C=5110-6=510-6 s (4)由式(5-61)可得出第106页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应充电电流iC(t)为电阻R通过的电流为第107页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应(5)画出波形图如图5.37所示。图5.37 例5.13图第108页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应【例5.20】 电路如图5.38

56、所示，R1=1k，R2=2k，C1=6F，C2=C3=3F。在t=0时，开关S由位置1打到位置2上。试求输出电压uC(t),设U1=3V，U2=5V。图5.38 例5.20图第109页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应解：(1)求总等效电容C0(2)求t=0-时的uC(0-)(3)当t=0时换路，则uC(0+)=uC(0-)=U0=2V(4)t=0换路后，电路中电压源U2与电阻R1和R2连接的电路变成戴维南等效电路，如图5.38(b)所示。第110页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应(5)求时间常数

57、(6)求完全响应uC第111页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应5.4.2 RL电路一阶完全响应由图5.39所示电路，开关S闭合前电路中的电流iL(0-)=I0，t=0时，开关S闭合，此时电路是RL串联电路，电源为US。根据基尔霍夫电压定律列写微分方程为图5.39 RL电路完全响应第112页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应当电源US=0时，初始条件iL(0)=I0，单独作用时产生iL(t)为零输入响应当初始状态为iL(0)=0时，由外加激励电压US所产生的响应IL(t)为零状态响应因此，RL电路的

58、完全响应第113页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应由上式可见，iL(t)完全响应是零输入响应及零状态响应的叠加，整理可得式中，第一项 是稳态响应，也称为强制解。第二项 是由电路本身决定的，称为固有解，它随时间按 衰减，所以也是暂态解。式(5-58)中的为第114页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应【例5.21】 电路如图5.40(a)所示，t=0时，开关S1、S2同时动作。求t0时的i(t)。解：(1)t=0-时，电路处于稳态图5.40 例5.21图第115页，共198页，2022年，5月20日，

59、20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应(2)t=0时，电路进行换路，S2断开，S1闭合，电路如图5.40(b)所示。此时，iL(0+)=iL(0-)=2A。再将其转换成戴维南等效电路，如图5.40(c)所示。R=4+2=6 US=ISR1=64=24 V (3)图5.40(c)所示电路，时间常数为(4)求图5.40(c)所示RL电路一阶线性非齐次解，由式(5-66)可得第116页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应【例5.22】 电路如图5.41(a)所示，假设t=0时接入10mA电流源和6V电压源，而且iL(0)=20mA。试求t0时的iL

60、(t)。图5.41 例5.22图第117页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应解：(1)图5.41(a)所示电路,t=0时10 mA电流源和6 V电压源接入,iL(0)=20 mA。该电路是RL完全响应电路。(2)应用叠加原理，先求电流源单独存在时的iL(t)，电路如图5.41(b)所示。(3)当6V电压源单独存在时，求i(t)，电路如图5.41(c)所示。第118页，共198页，2022年，5月20日，20点45分，星期一5.4 一阶电路完全响应(4)根据初始条件iL(0)=20mA，由RL组成零输入电路，如图5.41(d)所示。(5)求电路的完