中考数学考点经典系列专题22矩形菱形正方形

1、PAGE 专题22 矩形菱形正方形聚焦考点温习理解一、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3

2、、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半三、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6

3、）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=名师点睛典例分类考点典例一、矩形的性质与判定【例1】（2016广东广州第18题）如图，矩形的对角线相交于点,若， 求的度数.【答案】ABD=60.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三

4、角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键【举一反三】1. .（2016湖南岳阳第18题）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EFDF，求证：BF=CD【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到BEFCFD，利用全等三角形对应边相等即可得证考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质2. （2016湖南张家界第14题）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F若

5、AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm则EBF的周长是cm【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=ADAH=8x，在RtAEH中，EAH=90，AE=4，AH=x，EH=DH=8x，EH2=AE2+AH2，即（8x）2=42+x2，解得：x=3AH=3，EH=5.CAEH=12.BFE+BEF=90，BEF+AEH=90，BFE=AEH又EAH=FBE=90，EBFHAE，CEBF= EQ F(2,3)=CHAE=8考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】（2016四川达州第20题）如图，在ABCD中，已知ADAB（1）

6、实践与操作：作BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAE=AEB，AE平分BAD，BAE=DAE，BAE=AEB，BE=AB，由（1）得：AF=AB，BE=AF，又BEAF，四边形ABEF是平行四边形，AF=AB，四边形ABEF是菱形考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的

7、判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. （2016山东枣庄第9题）如图，四边形ABCD是菱形，于H，则DH等于A B C5 D4第9题图A第9题图ABCDH【答案】A.【解析】考点：菱形的性质.2. （2016湖北鄂州第10题）如图，菱形ABCD的边AB=8，B=60，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，

8、将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小时，CQ的长为（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 【答案】B【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，ABBC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M，N.(1)求证：ADBCDB；(2)若ADC90，求证：四边形MPND是正方形【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题

9、的关键是熟记各种几何图形的性质和判定正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1. （2016山东淄博第8题）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）AB2CD105【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为

10、F，连接CD，BE.(1)求证：CEAD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当A=45时，四边形BECD是正方形理由见解析.【解析】（3）当A=45时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力【举一反三】（2016广东广州第16题）如图，正方形

11、的边长为,是对角线，将绕点顺时针旋转450得到， 交于点，连接交于点，连接，则下列结论： 其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）【答案】.【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=HA=考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 课时作业能力提升一、选择题1（2016河北第6题）关于ABCD的叙述，正确的是（ ）A若ABBC，则ABCD是菱形B若ACBD，则ABCD是正方形C若AC=BD，则 ABCD是矩形D若AB=AD，则ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的

12、判定.2. （2016黑龙江大庆第3题）下列说法正确的是（）A对角线互相垂直的四边形是菱形B矩形的对角线互相垂直C一组对边平行的四边形是平行四边形D四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3（2016年福建龙岩第8题）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A1 B2 C3 D4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F，则PF=PF，连接EF交BD于点P此时，EP+FP的值最小，值为EF四边形ABCD为菱形，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，A

13、E=1，DF=AE=1，四边形AEFD是平行四边形，EF=AD=3EP+FP的最小值为3故选：C考点：1轴对称；2菱形.4. （2016贵州遵义第8题）如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）AAB=ADBACBDCAC=BDDBAC=DAC【答案】C【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质5. （2016贵州铜仁第10题）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BG=GC；EG=DE+BG；AGCF；SFGC

14、=3.6其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【答案】D【解析】试题分析：正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，DE=2，EC=4，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，AF=AD=6，EF=ED=2，AFE=D=90，FAE=DAE，在RtABG和RtAFG中，AB=AF，AG=AG，RtABGRtAFG（HL），GB=GF，BAG=FAG，GAE=FAE+FAG=BAD=45，所以正确；设BG=x，则GF=x，C=BCBG=6x，在RtCGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6x，解得x=3，BG=3，CG=63=3，BG=CG，所以正确；EF=ED，GB=GF，GE=GF+EF

15、=BG+DE，所以正确；GF=GC，GFC=GCF，又RtABGRtAFG，AGB=AGF，而BGF=GFC+GCF，AGB+AGF=GFC+GCF，AGB=GCF，CFAG，所以正确；过F作FHDCBCDH，FHGC，EFHEGC，EF=DE=2，GF=3，EG=5，EFHEGC，相似比为：=，SFGC=SGCESFEC=344（3）=3.6，所以正确故正确的有，故选D考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质6. （2016浙江台州第9题）小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A1次B2次C3次D4次【答案】B【解析】考点：翻折变换（

16、折叠问题）7. （2016福建莆田第5题）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A对边相等B对角相等C对角线互相平分D对角线互相垂直【答案】D【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质8. （2016广西河池第11题）如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）AAB=BCBAC=BCCB=60DACB=60【答案】B【解析】试题分析：将ABC沿BC方向平移得到DCE，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形故选B考点：菱形的判定；平移的性质二、填空题1. （2016海南省第18题）如图，四边形ABCD

17、是轴对称图形，且直线AC是对称轴，ABCD，则下列结论：ACBD；ADBC；四边形ABCD是菱形；ABDCDB其中正确的是（只填写序号）【答案】.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. .（2016内蒙古包头第17题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC=2CAD，则BAE=度【答案】22.5【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OBOC，由等腰三角形的性质可得OAC=ODA，OAB=OBA，即可得AOE=OAC+OCA=2OAC，再由EAC=2

18、CAD，可得EAO=AOE，因AEBD，可得AEO=90，所以AOE=45，所以OAB=OBA=67.5，即BAE=OABOAE=22.5考点：矩形的性质；等腰三角形的性质3. （2016湖北随州第16题）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O有直角MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转MPN，旋转角为（090），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当BEF与COF的面积之

19、和最大时，AE=；（5）OGBD=AE2+CF2【答案】（1），（2），（3），（5）【解析】（2）S四边形OEBF=SBOE+SBOE=SBOE+SCOF=SBOC=S正方形ABCD，S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；（5）EOG=BOE，OEG=OBE=45，OEGOBE，OE：OB=OG：OE，OGOB=OE2，OB=BD，OE=EF，OGBD=EF2，在BEF中，EF2=BE2+BF2，EF2=AE2+CF2，OGBD=AE2+CF2故正确考点：四边形综合题4. （2016湖南湘西州第8题）如图，已知菱形ABCD的两条

20、对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为【答案】24【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=68=24.考点：菱形的性质5（2016贵州铜仁第15题）= 【答案】90【解析】考点：翻折变换（折叠问题）6. （2016辽宁葫芦岛第16题）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为【答案】（0，）【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质三、解答题1. （2016贵州遵义第24题）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=，AEF=45，求矩形ABCD的面积【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质2. （2016浙江台州第19题）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H（1）求证：PHCCFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再