专题4-19-导数大题（与三角函数相结合的问题1）- 高三数学一轮复习精讲精练

1、专题4.19导数大题（与三角函数相结合的问题1）1设（1）判断函数是否不单调，并加以证明；（2）试给出一个正整数，使得对恒成立，并说明理由（参考数据：，解：（1）函数不单调，证明如下：令，则，则，则，因为，由，解得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以函数在上单调递增，在，上单调递减，所以函数不单调，故函数不单调；（2）当时，可证明对恒成立，当时，不等式恒成立，符合题意；当时，令，则，则函数单调递减，所以（1），所以，故不等式恒成立，符合题意；当时，因为，故只需证，即证明，只需证，在（1）中，令，可得，即，令，则，解得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，函数取得最小值（3），即

2、（3），又，故原不等式也成立，符合题意；综上所述，当时，使得对恒成立2已知（1）求证：当时在上单调递增；（2）对于任意，证明：证明：（1）因为，所以又，所以，因为，设，则，而，所以在单调递减，故；当时，此时，即在上单调递增；当时，存在，使得在上单调递增，在上单调减，又，此时，即在上单调递增；综上可得，当，在上单调递增；（2）因为，所以，所以要证，即证明，令，则，当时，故函数单调递减，当时，故函数单调递增，所以当时，取得最小值0，所以，即，又当时，令，则，所以，即，所以，综上所述，任意，3已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数（1）求函数的单调区间；（2）设，如果对于任意的，恒成立，求

3、实数的取值范围解：（1）,令,即,解得：,令,即,解得：,故在,递增，在,递减,故对于任意的，恒成立，等价于恒成立，即,令,则,由（1）的结论知在,上为增函数，,当,即时，恒成立，故在,上递增，即,符合题意，当即时，恒成立，故在,递减，即,不合题意，当时，存在,使得,当时，,在递减，当,时，,在,递增，故,不合题意，综上：实数的取值范围是，4已知函数（其中为自然对数的底数）（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围解：（1）证明：时，,设,则,令,解得：,故在区间递减，在递增，故的最小值是,即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜

4、率均大于；（2）先证对任意,令,令,解得：,故在区间递增，在递减，故,故,令,令,解得：,故在区间递减，在区间递增，故,故,递增，故,故,对于任意,恒成立，,故,当时，,即对于任意的，恒成立，综上：的取值范围是5已知函数，将的极小值点从小到大排列，形成的数列记为，首项记为（）证明：；（）证明：是单调递增数列；（）求的最小值解：（）证明：令，则，令，在，令，解得，令，解得，在，单调递减，在，单调递增，又，则在，上有唯一零点且为的极大值点，又，则在，有唯一零点，且位于区间，易知该零点为的极小值点，故；（）证明：令，又，则，令，则，又，即在上单调递减，（）由题意知的极小值中的最小的值即为的最小值，又，的最小值为6已知函数，其中（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）若，证明：当时，；（3）用，表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围解：（1），（1分）当时，当时，当时，（2分）所以当时，即在上是增函数；（3分）又（3），所以的解集为（4分）（2）（5分）由，得，（6分）则，即在上为增函数（7分）故，即（8分）（3）由（1）知，当时，恒成立，故恒成立；当时，因为，要使得恒成立，只要在上恒成立即可（9分）由，得设函数，则（10分）令，得随着变化，与的变化情况如