年人教B版数学选修2-1讲义：第1章+11+112+量词及答案

1、2022-2022 年人教 B 版数学选修2-1 讲义：第 1 章+1.1+1.1.2+量词及答案学 习 目 标1.1.2量词核 心 素 养1.懂得全称量词与存在量词的含义重 点 2懂得并把握全称命题和存在性命题的 概念重点 3.能判定全称命题和存在性命题的真假并把握其判定方法难点、易混点 1全称量词与全称命题1.通过学习全称命题和存在性命题的有 关概念,培育同学的数学抽象素养2通过对两类命题真假判定及利用命题 的真假性求参数值 范畴,提升同学的逻 辑推理、数学运算素养 .全称量词“ 全部” “ 对任意一个” “ 对一切” “ 对每一个” “ 任给”符号表示 .全称命题 含有全称量词的命题形式

2、“ 对 M 中的全部 x,px” ,可简记为“. xM,px”2.存在量词与存在性命题存在量词“ 有一个” “ 有些” “ 至少有一个”. xM,qx”符号表示.存在性命题含有存在量词的命题形式“ 存在集合 M 中的元素 x,qx” ,可简记为“摸索 ：全称命题与存在性命题有什么区分？ 提示1全称命题中的全称量词说明给定范畴内全部对象都具有某一性质,无一例外 ,强调 “ 整体、全部 ” 2存在性命题中的存在量词就说明给定范畴内的对象有例外,强调 “ 个别 、部分” - 1 - / 9 2022-2022 年人教 B 版数学选修2-1 讲义：第 1 章+1.1+1.1.2+量词及答案1以下不是全

3、称量词的是 A任意一个 B全部的C每一个 D许多D 很明显 A,B,C 中的量词均是全称量词 ,D 中的量词不是全称量词 2以下命题为存在性命题的是 A偶函数的图象关于 y轴对称B正四棱柱都是平行六面体C不相交的两条直线是平行直线D存在实数大于或等于 3 答案 D 3存在性命题“. xR,|x|20” 是 _命题 填“ 真” 或“ 假 假 由于 |x|0, 所以|x|2 2,故不存在 xR, 使|x|20. 4用量词符号表述以下全称命题：1任意一个实数乘以 1 都等于它的相反数；2对任意实数 x,都有 x 3x 2；3对任意角 ,都有 sin 2cos 21. 解 1. xR,x1 x.2.

4、xR, x 3x 2.3. | 是任意角 ,sin 2cos 21. 全称命题与存在性命题的判定【例 1】判定以下命题是全称命题仍是存在性命题1有一个实数 ,tan 无意义；2任何一条直线都有斜率；3全部圆的圆心到其切线的距离都等于半径；4圆内接四边形的对角互补；5指数函数都是单调函数；- 2 - / 9 2022-2022 年人教 B 版数学选修2-1 讲义：第 1 章+1.1+1.1.2+量词及答案6 ABC 的内角中有小于 60的角 思路探究 先判定量词类型 ,再判定命题类型 解 1含有存在量词 “ 有一个 ” ,是存在性命题 2含有全称量词 “ 任何一条 ” , 是全称命题 3含有全称

5、量词 ,所以该命题是全称命题 4“ 圆内接四边形的对角互补” 的实质是 “ 全部的圆内接四边形 ,其对角都互补” , 所以该命题是全称命题 5其实是指 “ 全部的指数函数都是单调函数 命题是全称命题 ” 中省略了 “ 全部的 ” , 所以该6命题可以改写为 “ ABC 的内角中有一个角小于 60” , 因此是存在性命题判定一个语句是全称命题仍是存在性命题可分三个步骤：1 第一判定语句是否为命题,如不是命题,就当然不是全称命题或存在性命题.2 如是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是存在性命题 .3 当命题中不含量词时,要留意懂得命题含义的实质 . 1

6、判定以下语句是全称命题仍是存在性命题：1凸多边形的外角和等于 360；2有的向量方向不定；3对任意角 ,都有 sin 2cos 21；4有一个函数,既是奇函数又是偶函数 解1可以改写为 “ 全部的凸多边形的外角和都等于360 ” , 故为全称命题- 3 - / 9 2022-2022 年人教 B 版数学选修2-1 讲义：第 1 章+1.1+1.1.2+量词及答案2含有存在量词 “ 有的 ” , 故是存在性命题 3含有全称量词 “ 任意 ” , 故是全称命题 4含有存在量词 “ 有一个 ” , 故为存在性命题 全称命题与存在性命题的真假判 断【例 2】判定以下命题的真假：1在平面直角坐标系中,任

7、意有序实数对x,y都对应一点 P；2存在一个函数,既是偶函数又是奇函数；3每一条线段的长度都能用正有理数来表示；4存在一个实数 x,使得等式 x 2x80 成立；5. xR,x 23x20；6. xR,x 23x20. 思路探究 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学学问判定 解 1真命题 2真命题 ,如函数 fx0,既是偶函数又是奇函数 3假命题 ,如边长为 1 的正方形 ,其对角线的长度为 2,就不能用正有理数表示4假命题 ,方程 x 2x80 的判别式 310 即可求出实数 a 的取值范畴 此题也可分别参数 a 求解 解 法一： 由于 fx对应抛物线开口向上 ,且在 y 轴上截 距为

8、2,就满意要求时函数的大致图象如图即实数 a 的取值范畴是 1,法二 ：要使 . x1,fx0 恒成立 , 只要使 fxmin0 即可 2 2 fx xa 2a 42,当a 21,即 a2 时,fxminf11a2a1.由 a10,得 a1.当a 21,即 a2 时,- 6 - / 9 2022-2022 年人教 B 版数学选修2-1 讲义：第 1 章+1.1+1.1.2+量词及答案2 fxminf a 2a 420 无解 综上 ,实数 a 的取值范畴是 1,法三 ：对于 . x1 有 fx0 恒成立等价于对于 . x1,x 2ax20,即 ax2 x恒成立 ,设 gx x2 x,即转化为 a

9、gxmax.我们可利用单调性定义判定g1 121,a1.gx x2 x在 1,上是减函数 ,gxmax综上 ,实数 a 的取值范畴是 1,1变换条件 如将本例中的“x 1” 改为“x 1” ,其他条件不变,求实数 a 的取值范畴 解结合本例图象可知a 2 1,f 1 a10,解得 a 1.即实数 a 的取值范畴是 , 12变换条件 如将本例中的“fxx 2 ax 2” 改为“fxax 2x2” ,其他条件不变,求实数 a 的取值范畴 解 1当 a0 时,不满意对一切 x1 都有 fx0,2当 a0 时,要使 . x1, fx0 恒成立 ,须1 2a1,解得 a1.f 1 a10,- 7 - /

10、 9 2022-2022 年人教 B 版数学选修2-1 讲义：第 1 章+1.1+1.1.2+量词及答案即实数 a 的取值范畴是 1,1 含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题 .2 含参数的存在性命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关学问获得解决 . 1摸索辨析1在全称命题和存在性命题中,量词可以省略 2“ 对任意 xR,x 220” 是全称命题 3“ . x0N,4x03” 是存在性命题 提示 1在存在性命题中 ,量词不行以省略； 在有些全称命题中 ,量词可以省略 23 2以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数 x,使 x 20 C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数 x,使1 x2 B A 中锐角三角形的内角都是锐角,所以是假命题； B 中 x0 时,x 20,所以 B 既是存在性命题又是真命题；C 中由于 330,所以 C 是假命题；D 中对于任一个负数 x,都有1 x0 恒成立 ,故是真命题；B 中命题是全称命题 ,当 x1 时,x1 20,故是假命题；C 中命题是存在性命题 ,当 x1 时,lg x0,故是真命题；D 中命题是存在性命