数学建模案例关于食堂就餐人数稳定性的问题

1、22关于食堂就餐人数稳定性的问题一、问题的提出成天在食堂吃饭，有时觉得食堂里的人会一下子多起来，然后好像就一直维持在那么多人很长时间。于是想建立一个模型来说明一下食堂的人数是否存在一个稳定的值。如果存在，这个值可近似作为食堂的容量。二、模型的建立假设X是在食堂打饭区的人数，Y是在食堂就餐区的人，由于人数很多，可认为是连续性模型，于是建立如下房室系统：R(X)3R(Y)4R(X)3R(Y)4R(X,Y)2R:进入食堂的人流量。提供1食堂的单位(如学校)的就餐时间相对集中，而就餐人数相对很多,即在就餐的这一段时间内会有大量的人源源不断地进入食堂，于是R可作为一常数R:进入食堂的人流量。提供1R(X

2、,Y):打饭区离开食堂的人流量。包括那些改变主意去小吃店吃和打包到食堂2外面吃的人。考虑到一般都是因为食堂人太多才决定离开的，因此R2是X、Y的函数，不妨设R(X,Y)=r(X+Y);R(X):从打饭区到就餐区就餐的人流量。很2显漱是X的增函数，设R=rX;44333R(Y):就餐区离开食堂的人流量。R是Y的增函数，设R=rY。44于4是可得如下微分方程X=r-X=r-t1Y=rXt3r(X+Y)-rX23rY41)2222为了便于分析，做一下变形：令X=x+m,Y=y+n,其中m令X=x+m,Y=y+n,其中mrr23rr14+rr+rr2434rr13,带入上述微分方rr+rr+rr232

3、434程得：=-(r+r程得：=-(r+r)x-ryt2322)y=rx-ryt34此方程的特征根为：=-p1,22p2=-p1,22p24q其中p=r+r+r234,q=rr23+rr+rr2434一般情况下，r,r,r,r均大于0,所以p0,q0,方程（2）有唯一奇1234点（0,0）：p24qo时，又由于p0,q0,（0,0）为稳定结点；p24q时，由于p0,（0,0）为稳定焦点；p24q0时，由于r2r20二重特征根P0,（0,0）为稳定退23,12化结点。总之，不论P24q的符号如何，方程（2）的解（x,y）都趋向于奇点（0,0）,也就是说方程（1）的解趋向于奇点（m,n）,即食堂的

4、人数存在一个稳定值:rr23rr14rr24rr23rr14rr24rr34rr23rr13rr24rr34三、实例分析以紫金港的一个食堂为例，根据我的统计r60（人/分钟），而每人一顿饭所花时间在15-20分钟，即r0.065（每分钟），一个人的打饭时间在4-6分钟,4所以r0.25（每分钟）。而r的给出较难，于是我采用统计拟合的方法。有如32下统计3结果:2从离开的人数208310312790117253125178378219297485390475511252163310作图拟合:500300如0200eooxoo3e8aJO斜率为：0.014即：r0.014（每分钟）。带入方程得：5

5、00300如0200eooxoo3e8aJO2X=60-0.014(X+Y)-0.25Xt稳定值为X=196（人），Y=756（人）。而食堂有将近稳定值为X=196（人），Y=756（人）。而食堂有将近800个座位，就餐区应该很充裕。但打饭区要容纳196人就有些拥挤了，这与我们平时的体验也是一致的。进一步考虑X,Y随时间t的变化，得以下图（其实解出方程（3）的解析解饭速度。同时(X+Y)的值也是有价值的，因为紫金港绝大多数人是骑自行车的，所以(X+Y)的值(952)可以用于确定自行车停放处的容量。而现在自行车停放处的确定大体是根据食堂的座位数，明显不够的。三、模型的不足与改进方向模型可以对R1，R，R，R四个流